湖北省武汉市青山区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份湖北省武汉市青山区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题，共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分共30分，下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑）
1. 若是最简二次根式，则可能是（ ）
A. 7B. 8C. 0.3D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．
【详解】解：是最简二次根式，
，且a为整数，中不含开的尽方的因数因式，
故选项中8，，都不合题意，
的值可能是7．
故选：A．
2. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数非负是解答此题的关键．
根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
解得：，
故选：D．
3. 在中，，则的度数为（ ）
A. B. C. D. 试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高来这里 全站资源一元不到！最新试卷。【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等即可得出结论，熟记平行四边形的对角相等是解题的关键．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，
故选：C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法运算对A选项进行判断；根据二次根式的减法运算和除法法则对B、D选项进行判断；根据二次根式的性质对C选项进行判断，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．
【详解】A． 与不能合并，所以A选项不符合题意；
B．，所以B选项不符合题意；
C．，所以C选项符合题意；
D．，所以D选项不符合题意．
故选：C．
5. 已知的三边分别为a，b，c，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义逐项判断即可．【详解】解：由A、，
∴，故选项A符合题意；
由B、，
∴，
∴是直角三角形，故选项B不符合题意；
由C、，设设a、b、c的边长分别为，
∵，
∴直角三角形，故选项C不符合题意；
由D、，则
∵，
∴，
∴是直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：A
6. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，添加下列条件不能判定矩形为正方形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法．
根据正方形的判定方法即可一一判断．
【详解】解：A、对角线垂直的矩形是正方形，不符合题意；
B、邻边相等的矩形是正方形，不符合题意；
C、由无法证明矩形为正方形，故符合题意；
D、∵在矩形中，，，∴，
∵
∴，
∴，
∴矩形是正方形，故不符合题意．
故选：C．
7. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了实数与数轴，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．先根据数轴判断出a、b和的符号，然后根据二次根式的性质化简求值即可．
详解】解：由数轴知：，
∴，
∴
=，
故选：B．
8. 如图，在中，，与的角平分线交于点E，若点E恰好在边上，则的值为（ ）

A. 12B. 16C. 24D. 36
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的性质和角平分线的性质，得到，，，然后利用勾股定理，即可求出答案．
【详解】∵在中，
∴，，，，
∴，，，
∵，与的角平分线交于点E
∴，，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确求出角之间的关系进行解题．
9. 如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（ ）个．
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
根据网格的特点和平行四边形的判定方法即可解决问题．
【详解】如图所示，
根据网格的特点可得，
四边形，，，，，为平行四边形，
所以这样的平行四边形最多可以画5个，
故选C．
10. 如图，在中，D为的中点，于点E，中垂线交于点F，若，，，则的面积为（ ）（用含t的式子表示）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取的中点M，连接并延长，交的延长线于点N，根据中位线性质得出，，证明，得出，求出，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可．
【详解】解：取的中点M，连接并延长，交的延长线于点N，如图所示：
∵，，
∴，
∵D、M分别为、的中点，∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵中垂线交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理，中位线性质，三角形全等的判定和性质，含30度的直角三角形的性质，三角形面积的计算，平行线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是作出法线，熟练掌握相关的判定和性质．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置）
11. 写出一个可以与合并的二次根式 _____．
【答案】（不唯一）
【解析】
【分析】可以合并的二次根式即为同类二次根式，据此解答．
【详解】解：以与合并的二次根式是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了同类二次根式：含有相同的被开方数的最简二次根式，正确掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
12. 如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理可直接求解．
【详解】由题意知，，，
在中，由勾股定理得，
，
即地面钢缆到电线杆底部的距离是，
故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．
13. 如图，在中，，，，则的面积______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质和勾股定理，正确求出的长是解题的关键．
根据平行四边形的性质可得，然后根据垂直的定义可得，再利用勾股定理即可求出，得到，最后利用三角形的面积公式求面积即可．
【详解】解：∵在中，
∴
∵
∴
在中，
∴
∴．
故答案为：12．
14. 已知，则的值为______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查二次根式化简求值，结合完全平方公式整体代入求值即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在矩形中，，，平分分别与，交于点H，E，连接，则以下结论：①；②；③；④；其中正确的是______．（填写序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得是等边三角形，则，证明，即可求出，从而判断①；证明，，则，从而，即可判断②；根据勾股定理求出，则，即可判断④；过点H作，则，求出即可判断③．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，，
∵平分，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
过点H作，
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，故③错误．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题关键．
16. 如图，正方形的边长为4，O为对角线的中点，E，F分别为边，上的动点，且，连接，，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】延长，却，连接，，，过点O作于点H，证明，得出，证明垂直平分，得出，证明，根据当、E、G三点共线时，最小，即最小，根据勾股定理求出最小值即可．
【详解】解：延长，使得，连接，，，过点O作于点H，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，
，
，
∴，
∵O为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴当、E、G三点共线时，最小，即最小，∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
三、解答题（共8小题，共72分，下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形）
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的加减运算法则，即可求解，
（2）根据二次根式的混合运算法则，即可求解，
本题考查二次根式的混合运算，解题的关进是：熟练掌握相关运算法则．
【小问1详解】
解：
，
【小问2详解】
解：
．
18. 如图，在中，是边上一点，，，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）14
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答；
（2）利用（1）的结论可得：，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【小问1详解】
证明：，，，
，，
，
是直角三角形，
，
；
【小问2详解】解：，
，
，，
，
，
，
的长为14．
19. 如图，在四边形中，，相交于点O，且，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由）
【答案】（1）见解析 （2）（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定：
（1）利用证得，进而可得，进而可求证结论；
（2）根据矩形的判定定理，增加一个条件即可；
熟练掌握平行四边形的判定定理和矩形的判定定理是解题的关键．
【小问1详解】
证明：，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
【小问2详解】添加的条件为：，
由（1）得：四边形是平行四边形，
是矩形．
20. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点O，于点H，交于点E．
（1）若，求的度数；
（2）若，点E是中点，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了菱形的性质，勾股定理，
（1）根据菱形的性质得到，，然后得到，进而利用三角形内角和定理求解即可；
（2）根据菱形的性质得到，然后求出，在中，设，利用勾股定理求出，，然后利用菱形的面积求解即可．
【小问1详解】
四边形为菱形，
，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；【小问2详解】
四边形为菱形，
，
，点是中点，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
设，则：，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，
，
又，
，
．
21. 如图，是由边长为小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点，点为上一点，点为与网格线的交点．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）先以，为边画平行四边形，再在边上画点，使；
（2）先在上画点，使，再在边上画点，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是灵活运用这些知识．
（1）根据平行四边形定义画出图形，连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求；
（2）连接交于点，连接，延长交于点，连接交于点，点即为所求（证明，推出、关于对称，再根据对称性解决问题）；取格点，，连接交于点，连接，点即为所求（利用直角三角形斜边上的中线定理解决问题）．
【小问1详解】
解：如图，平行四边形和点即为所求；
【小问2详解】
如图，点和点即为所求．
22. 《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式与古希腊几何学家海伦提出的公式本质上是同一个公式，我们称其为海伦－秦九韶公式．请依据公式解决下面的问题．（公式中记）

（1）如图1，在中，，，．
①求的面积；
②设边上的高为，边上的高为，求的值．
（2）如图2，某校有一块形如四边形的空地，其中，，，，．为美化校园，学校计划在空地上种植花卉，在四边形内种植红色花卉，剩余空地种植黄色花卉，若，，红色花卉的单价为40元，黄色花卉的单价为60元，请直接写出购买花卉的总费用．
【答案】（1）①；②
（2）元
【解析】
【分析】本题考查了二次根式在三角形面积计算中的应用，读懂题中所列的海伦公式并正确运用，是解题的关键．
（1）①根据题意先求p，由海伦－秦九韶公式计算三角形面积即可；②由①分别利用三角形面积公式求出再求和即可；
（2）连，过点A作于点F，分别求出， 利用面积公式求出和四边形的面积，再利用由海伦－秦九韶公式求出的面积，最后计算购买花卉的总费用即可．
【小问1详解】
①解：由已知，，，，
，
∴
；
②∵，
∴，
∴解得，，
∴；
【小问2详解】
连，过点A作于点F，

∵， ，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，∵
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由海伦－秦九韶公式，得
，
∴
；
∴植红色花卉的面积为：
，
∴四边形的面积为：
，
∴种植红色花卉的面积为：
，
∴购买花卉的总费用
，
∴出购买花卉的总费用．
23. 已知，为正方形内一点，连接，且，连接并延长与的角平分线交于点．
（1）如图，求的度数；
（2）如图，连接，探索，，三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图，为边上一点，若，，则的最大值为______．
【答案】（1）；
（2），见解析；
（3）．
【解析】
【分析】（）设，则，利用角平分线的定义，正方形的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可得出结论；
（）过点作，交于点，利用全等三角形的判定与性质得到 ，，利用正方形的性质和等腰直角三角形的性质得到 再利用全等三角形的判定与性质得到，则结论可得；
（）连接，交于点，过作于点，连接，由四边形为正方形得，，证明，得到，求出，，根据勾股定理，当，，在一条直线上时，则的最大值为．
【小问1详解】
∵为的平分线，
∴，
设，则，
∵四边形为正方形，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
，，三条线段之间的数量关系：，理由：
过点作，交于点，如图，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
在和中，，
∴
∴，
∴；
【小问3详解】
由（）知：，
∴，
如图，连接，交于点，过作于点，连接、，
∵四边形为正方形，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
由勾股定理得：，
由（）知：，
∴，
∴，
∵，∴，，在一条直线上时取等号，
∴的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
24. 已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿翻折，得到．
（1）直接写出正方形的边长；
（2）如图1，若点D为中点，延长交于点H．
①求的长；
②连并延长交于点F，求的长；
（3）如图2，若点G为上一点，且，点M为中点，连接．当点D从点O开始沿y轴负半轴运动，到取得最大值时停止，请直接写出点D运动的路径长．
【答案】（1）6 （2）①2；②
（3）
【解析】
【分析】（1）根据根据二次根式被开方数的非负性即可作答；
（2）①由翻折得，，进而推出，设，根据勾股定理即可求得；
②同角的余有相等，进而推出，，作答即可；
（3）由翻折，由，当、、共线时，最大，，，即可作答．
【小问1详解】
解：，
，，
，
，
，即，
正方形的边长为6；
【小问2详解】
由（1）知正方形达长为6，
∵是的中点，∴，
①由翻折得，，
，
连接，
则，
，
，
，
设，则，
在中，
由，
即，
解得，
的长为2；
②由，，
得垂直平分，
，
又，
（同角的余有相等），
又，，
，
，
，
即的长为；
【小问3详解】
由翻折知，
又是的中点，
，
由，
当、、共线时，最大，
如图所示，
，
，
，
，
，
，
，
点运动的路径长为．
【点睛】本题考查四边形综合题，涉及正方形的性质，三角形全等的判定与性质，折叠性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握折叠的性质，全等三角形的判定和性质．