湖北省孝感市孝南区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份湖北省孝感市孝南区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，专心解一解等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念判断．
【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
B、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、是最简二次根式；
故选：D．
【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，掌握被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式是最简二次根式是解题的关键．
2. 以下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A. 6，8，10B. ，，C. 1，，D. 5，12，13
【答案】B
【解析】
【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．
【详解】解：A、∵，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、，∴不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
C、，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、，∴能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选B．试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。【点睛】本题考来这里 全站资源一元不到！查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
3. 平行四边形中，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质计算选择即可．
【详解】∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的运算法则即可得到答案．
【详解】解：A、，计算错误，不符合题意，选项错误；
B、，计算错误，不符合题意，选项错误；
C、，计算错误，不符合题意，选项错误；
D、，计算正确，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了二次根式的加、减、乘、除、四则运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
5. 等式成立的条件是（ ）
A. B. C. D. 【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质：．由已知等式左边可化简为，右边应该大于或等于0，列不等式求解．
【详解】解：由题意得：
∴，
解得，
故选：．
6. 如图，平行四边形ABCD的周长为20cm，AC与BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△CDE的周长为（ ）
A. 6cmB. 8cmC. 10cmD. 12cm
【答案】C
【解析】
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，OA=OC，
∵▱ABCD的周长为20cm，
∴AD+DC=10cm，
又∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=10cm，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质以及三角形周长的计算；熟练掌握平行四边形的性质，运用线段垂直平分线的性质得出AE=CE是解决问题的关键．
7. 如图，是内部一点，，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，若，，则四边形的面积为（ ）
A. 24B. 18C. 12D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质与判定，先根据三角形中位线定理可得，，，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得．
【详解】解：点分别是，的中点，且，
，
同理可得：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
平行四边形是矩形，
∴四边形的面积是，
故选：D．
8. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为．若，大正方形的面积为，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个三角形的面积即可解答．
【详解】解：∵三角形较长直角边长为，较短直角边长为，
∴四个三角形的面积为，
∵，大正方形的面积为，
∴小正方形的面积为，
∴小正方形的边长为，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了正方形的面积，直角三角形的面积，勾股定理，掌握小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个三角形的面积是解题的关键．
9. 如图，直线l上有三个正方形a、b、c，若a、b的面积分别为5和11，则c的面积为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 5.5
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到c的面积的面积的面积．
【详解】解：如图，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴b的面积的面积的面积，
∴c的面积的面积的面积．
故选：C．
【点睛】本题考查了对勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
10. 如图，是正方形的对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；② ；③；④．其中结论正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据正方形的对角线平分对角的性质，得是等腰直角三角形，在中由勾股定理求得，由题意可知，四边形为矩形，则通过正方形的轴对称性可得，证明∠，则．
【详解】解：如图，延长交与G，连，延长交与H，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
故①错误，不符合题意；
∵正方形为轴对称图形，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故③正确，符合题意；
∵，∴，
∵，
∴，
∴，
故④正确，符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11. 要使二次根式有意义，则整数的值可以为______（填写一个整数值即可）．
【答案】2（大于等于2的整数即可）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于求出a的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵要使二次根式有意义，
∴，
∴，
∴符合题意的整数的值可以为2，
故答案为：2（大于等于2整数即可）．
12. 如图，在数轴上表示1的点为A，以为边构造正方形，以O为圆心，为半径画圆弧交数轴于点D，则D点表示的数为___．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据勾股定理求出，得出，即可求出点D表示的数．
【详解】解：连接，如图所示：
∵为正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴D点表示的数为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用数轴上点表示无理数，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理求出．
13. 如图，每个小正方形的边长都为，、、是小正方形的顶点，则______
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角，且，则．
【详解】解：如图所示，连接，
由网格的特点和勾股定理得，，
∴，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
故答案为：．
14. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB，垂足为E，如果AC＝8，BD＝6，那么DE的长为______．
【答案】4.8
【解析】
【分析】菱形的对角线互相垂直平分，面积等于对角线积的一半，也等于边长乘以高；
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，
∴AC⊥OD，，，
∴由勾股定理得到：．
又∵．
∴DE＝4.8．
故答案为：4.8
【点睛】本题考查菱形性质和勾股定理运用，掌握菱形的面积计算方法是解题关键．
15. 如图，在平行四边形中，，，，点、分别是边、上的动点，连接、，点为的中点，点为的中点，连接，则的最小值为______
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，连接，过A作，根据点为的中点，点为的中点得到，即可得到当G与K重合时，有最小值，即此时取得最小值，据此求解即可．【详解】解：连接，过A作，
∵，
∴，
∵在平行四边形中，
∴，
∴，
∴，
∴
∵点为的中点，点为的中点，
∴，
∴最小时，取得最小值，
∴当G与K重合时，有最小值，即此时取得最小值，
∴的最小值为，
故答案为：3．
三、专心解一解（本大题共9小题，满分75分）
16. 计算：；
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式乘除法，再计算二次根式加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
17. 先化简，再求值：，其中
【答案】；
【解析】
【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：
，
把代入得：
原式．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
18. 已知，，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值：
（1）先求出，，再根据进行求解即可；（2）先求出，再根据进行求解即可．
【小问1详解】
解；∵，，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴
．
19. 如图，在中，．

（1）如图（1），把沿直线折叠，使点A与点B重合，求的长；
（2）如图（2），把沿直线折叠，使点C落在边上G点处，请直接写出的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设x，则，在中用勾股定理求解即可；（2）设x，则，先根据勾股定理求出，再在中，用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：∵直线是对称轴，
∴，
∵，设，则
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴
【小问2详解】
解：∵直线是对称轴，
∴，，
∵，设，则，
∴在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了折叠与三角形的问题，勾股定理，掌握折叠性质以及勾股定理是解题的关键．
20. 在的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形的顶点坐标分别为，，，．仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
（1）四边形是______．（请从中选择填空：平行四边形，矩形，菱形）
（2）线段，且，请在图1网格中画出对应线段，并写出点的坐标为______；
（3）在图2网格中找一点，使，，并写出点的坐标为______．
【答案】（1）菱形 （2）画图见解析，
（3）画图见解析，
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、菱形的判定，坐标与图形，全等三角形的性质与判定：
（1）先通过计算得到，于是可判断四边形是菱形；
（2）如图所示，即为所求；
（3）如图所示，即为所求．
【小问1详解】
解：∵，，，，
，，，，
，
四边形是菱形；
故答案为：菱形；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
根据网格的特点易证明； 【小问3详解】
解：如图所示，即为所求．
根据勾股定理易得，．

21. 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，当满足什么条件时，四边形是矩形？并说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）当满足时，四边形是矩形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得，，由中点的定义，得到，证明，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）当满足时，四边形是矩形，理由：先证明四边形为平行四边形，再利用等腰三角形三线合一得到，即可得证．
【小问1详解】
证明：∵，∴，，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：当满足：时，四边形是矩形，
理由如下：
∵，即，
∴四边形是平行四边形，
由（1）知：，
∴，
又∵，
∴，即，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，平行四边形的判定，矩形的判定，等腰三角形的三线合一性质等知识点．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22. 阅读材料，回答下列问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如：因为，，所以与，与互为有理化因式．
（1）的有理化因式是______．
这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
①，②，
③，
④，…，
（2）用上述方法判断：若，，则，的关系是______．
（3）计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可，二次根式的分母有理化是解题的关键．
（1）根据有理化因式求解；
（2）利用分母有理化把进行化简可得到与的关系；
（3）先分母有理化，然后利用平方差公式计算．
【详解】解：（1）的有理化因式为；
（2）与互为相反数．
理由如下：，
，
故答案为：；
（3）
．
23. 如图，和都是等腰直角三角形，．
（1）【猜想】如图1，点在上，点在上，线段与的数量关系是____________，位置关系是____________；
（2）【探究】把绕点旋转到如图2的位置，连接，，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）【拓展】把绕点在平面内自由旋转，若，，当，，三点在同一直线上时，则的长是____________．
【答案】（1），
（2）成立．理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出，，得出，再用，即可得出结论；
（2）先由旋转的性质得出，进而判断出，得出，，与交于，与交于，利用全等的性质和对顶角相等进而得出，即可得出结论；
（3）分两种情况，①当点在线段上时，过点作于，求出，再用勾股定理求出，利用线段的加减即可得出结论；
②当点在线段上时，过点作于，求出，再由勾股定理求出根据勾股定理得，利用线段的加减即可得出结论．
【小问1详解】
解：和都是等腰直角三角形，
，，
，，
点在上，点在上，且，
，
故答案为：，；
【小问2详解】
成立．理由如下：
如图2，与交于，与交于，
由题意可知：，
，
，
在与中，
，
，
，，
又，，
在中，
，
，
，
所以结论成立；
【小问3详解】
当点在线段上时，如图3，过点作于，
是等腰直角三角形，且，
，
，
，
在中，，
，
；
②当点在线段上时，如图4，过点作于，
是等腰直角三角形，且，
，
，
，
在中，，
，
，综上，的长为或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了旋转变换，考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键．
24. 如图，点为平面直角坐标系内一点，且，满足，过点分别作轴于点，轴于点．
（1）点的坐标为______．
（2）点从原点开始沿方向运动，速度为每秒1个单位长度，点以相同的速度同时从点开始沿方向运动，当点运动到点处后，、两点运动停止．设运动的时间为（秒）：
①当点在线段上运动过程中，若，求的值．
②当点在线段上运动过程中，当______时，是以为腰的等腰三角形．
【答案】（1）
（2）①；②或
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的定义：
（1）根据算术平方根的非负性直接求解即可得到答案；
（2）①根据题意表示出，，与时间的关系，利用长方形面积减去、的面积表示四边形面积列式求解即可得到答案；②分当时，当时，两种情况利用勾股定理求解即可．
小问1详解】
解：∵，
∴，，
∴，∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：①∵，轴于点，轴于点，
∴，
由题意可得，当点在线段上运动时，，，，，
∴
，
∵，
∴，
解得，
∴时，，
②当点在线段上运动时，，，
∴，，
∴，，
当时，则，
解得，
当时，则，
解得或（舍去），
综上所述：或．
【点睛】本题考查矩形上动点问题，算术平方根的非负性，解题的关键是根据非负性求出点B的坐标，分类讨论动点问题根据线段相等列式．