湖南省娄底市娄星区2023-2024学年九年级下学期期中数学试题

这是一份湖南省娄底市娄星区2023-2024学年九年级下学期期中数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题．，解答题．，解答题，综合题．等内容，欢迎下载使用。

（请把答案写在答题卡上 时量：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）
1. 下列四个实数中，最小的数是（ ）
A. B. 2C. D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查实数的大小比较，根据负数小于0，0小于正数，两个负数，绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵；
∴最小的数为；
故选A．
2. 在下列这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义，确定图形的对称轴即可得出答案．
【详解】解：选项A、B、D中的图形找不到这样的一条直线，对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，不符合题意；
选项C中的图形能够找到这样的一条直线，沿直线对折后，图形两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，符合题意；
故选 C．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的判定，如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分能够完全重合，这样的图形叫作轴对称图形．寻找对称轴是解题的关键．
3. 2024年3月27日清晨，在中国太原卫星发射中心使用长征六号改运载火箭，成功将云海三号02星发射来这里 全站资源一元不到！试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．长六改火箭总长约50米，起飞重量约530000千克．其中数据530000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．
【详解】解：530000；
故选C．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，涉及整式的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方等知识，解题的关键是掌握相关的计算法则．根据相关的计算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意；
B、，故该选项错误，不符合题意；
C、，该选项错误，不符合题意；
D、，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
5. “青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想的青年学习行动．某校为了解同学们某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取7位同学，经统计他们的学习时间（单位：分钟）分别为：78，80，85，80，90，80，85．则这组数据的众数为（ ）
A. 78B. 80C. 85D. 90
【答案】B
【解析】【分析】本题考查了众数的求解，根据众数的定义进行求解即可．
【详解】解：数据为78，80，85，80，90，80，85，数据中80这个数最多，
则这组数据的众数为80，
故选：B．
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示即可作答．
本题主要考查了求解不等式组的解集并在数轴上表示解集的知识，注意，含端点时用实心点，不含端点时，用空心点．
【详解】
解不等式①得，
解不等式②得，
∴数轴表示为：
故选：D．
7. 亮亮的妈妈在超市买了24个青团，其中豆沙馅的8个，芋泥馅的6个，蛋黄肉松馅的10个，它们的形状、大小和重量都是一样的，这些青团装在一个不透明的塑料袋中．小敏从中随机摸出一个，恰好是芋泥馅青团的概率是（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了概率公式，先确定总数为24个，芋泥馅的6个，再根据概率公式计算即可．
【详解】根据题意可知一共有24个青团，每种结果出现的可能性相同，芋泥馅有6个，所以小敏从中随机摸出一个，恰好是芋泥馅青团的概率是．故选：A．
8. 图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面平行，，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．根据题意可得，由推出，根据、都与地面平行，推出，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，
、都与地面平行，
，
，
故选：C．
9. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为，若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，求弧长，根据切线的性质，和四边形的内角和，求出的度数，再利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：∵是的两条切线，
∴，
∵，，
∴，
∴的长；
故选B．
10. 已知二次函数（a，b，c为常数，且）的图象如图所示，其对称轴为直线，且经过点，给出下列结论：①；②；③；④（m为任意实数），正确的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，根据开口方向，对称轴和与轴的交点位置，判断①②③，最值判断④即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴直线，与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误，②正确；
∵；故③正确；∵当时，最大为，
∴，
∴，故④错误；
故选B．
二、填空题．（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
∴．
故答案为：
12. 分式方程的解为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，将分式方程转化为整式方程，求解后，进行检验即可．
【详解】解：，
∴，
解得：；
经检验：是原方程的解，
故答案为：．
13. 关于x的一元二次方程的一个根为，则另一个根为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系，设另一根为，根据两根之和为，进行求解即可．
【详解】解：设另一根为，则：，
∴；
故答案为：．14. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
15. 如图是反比例函数的图象，点是反比例函数图象上任意一点，过点A作轴于点B，连接，则的面积是_______．

【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题考查反比例函数值的几何意义．根据值的几何意义，进行求解即可．
【详解】解：∵点是反比例函数图象上任意一点，轴于点B，
∴的面积为，
故答案为：．
16. 如图，矩形中，，．在边上取一点E，使，过点B作，垂足为点F，则的长为________．
【答案】【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，根据矩形性质先证明，从而得出的长，在中，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】解：四边形为矩形，
，，，
，
，
，
又，
，
，
在中，
，
故答案为：．
17. 如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器—蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为________cm．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由题意，，进而得到，勾股定理求出的长，进而即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：，，
∴，
∴；
∴故答案为：．
18. 古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆长米，它的影长是3米，同一时测得是274米，则金字塔的高度是________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行投影，根据同一时刻，物高与影长对应成比例，列出比例式进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
即：，
∴；
故答案为：137．
三、解答题．（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19. 计算：
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查特殊角的三角函数值的运算，实数的混合运算，先去绝对值，进行零指数幂，负整数指数幂和特殊角的三角函数值的运算，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式的混合运算法则，进行化简，再利用整体思想代入求值即可．
【详解】解：原式
；
∵，
∴原式．
四、解答题．（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21. 学校计划利用课后服务时间开设校本选修课．为了解同学们的需求和喜好，在确定课程前，该校随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从器乐、书法、编程、围棋、棕编五门课程中选择自己最喜欢的一门课程．根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图：
（1）请补全条形统计图；
（2）若该校共有名学生，请估计该校最喜欢“编程”课的学生人数；
（3）调查结果显示，“棕编”课最不受欢迎，所以学校最终确定开设器乐、书法、编程和围棋四门校本选修课，陈田和他的好朋友王涵对这四门课程的喜欢程度一样，便都随机选择了一门课程参加．请用树状图或列表法分析他们未经商量选中同一门课程的概率．
【答案】（1）见解析 （2）该校最喜欢“编程”课的学生人数为人
（3）
【解析】
【分析】本题考查条形统计图与扇形统计图综合，树状图或列表法求概率，数形结合是解题的关键．
（1）先求出调查的总人数，再求出其中选择器乐的人数，最后画图即可；（2）利用样本中“编程”的占比乘以该校总人数即可求解；
（3）列表得出所有等可能的结果数和所求的结果数，再利用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：调查的总人数：（人），
其中选择器乐的人数：（人），
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
（人）
答：该校最喜欢“编程”课的学生人数为人；
【小问3详解】
将器乐、书法、编程、围棋分别记作、、、，列表如下：
由表可知，共有种等可能得结果，他们未经商量选中同一门课程的结果数有种，
他们未经商量选中同一门课程的概率为．
22. 如图，在中，，，，是的中点，分别以点、为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点，连接，．
（1）请根据以上尺规作图的过程，判断四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）四边形为菱形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了作图，菱形的判定与性质，直角三角形的斜边中线定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识．
（1）根据直角三角形的斜边中线定理和作图，可证明，即可解答；
（2）由（1）知四边形为菱形，得到，根据题意可求出、，进而求出，根据题意得，即可求解．
小问1详解】
解：四边形为菱形，理由如下：
，，是的中点，
，
由圆的性质可知：，，
，
四边形菱形；
【小问2详解】
由（1）知四边形为菱形，
，
，，，
，
，
在中，是的中点，
，=，
四边形的面积为．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23. 高尔基说：“书籍是人类进步阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元．
（1）求这两种图书的单价分别是多少元？
（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案，并计算每种方案的总费用．
【答案】（1）“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元
（2）三种方案：购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本，总费用为元；购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本，总费用为元；购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本，总费用为元
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及不等式的应用，找准数量关系，正确列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键．
（1）设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，根据共花费1240元，即可得出关于x的方程，解之即可得出结论；
（2）设“文学类”书购a本，根据总价＝单价×数量，结合总费用超过1790元且不超过1800元，列出不等式，即可求解．
【小问1详解】
解：设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，
由题意得：，
解得：，
则，
答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元；
【小问2详解】
设“文学类”书购买a本，则“科普类”书购买本，依题意得：，
解之得：．
因为a是正整数，所以．
学校有3种购买方案：
①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；
总费用为：元.
②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；
总费用为：元
③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本．
总费用为：元
24. 如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测它到皮肤的距离（图1）．为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量．某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离，方案如下：
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离．（结果精确到）（参考数据：，，、，，）
【答案】新生物A处到皮肤的距离约为7cm
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点A作，垂足为，在中，得到课题
检测新生物到皮肤的距离
工具
医疗仪器等
示意图
说明
如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为；再在皮肤上选择距离B处的C处照射新生物，检测射线与皮肤的夹角为．
测量数据
，，
，在中，得到，根据，进行求解即可．
【详解】解：过点A作，垂足为．
由题意得，，，
在中，．
在中，．
∵，
∴
∴．
答：新生物A处到皮肤的距离约为7cm．
六、综合题．（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25. 如图，在等腰中，，点是上一点，以为直径的过点，连接，且，的平分线交于点，交于点，连接．
（1）求证：与相切．
（2）求证：．
（3）已知，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的基本性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
（1）连接，由得，根据得到，结合题意可推出，由是的直径，得，即可证明；
（2）根据圆周角定理得，由角平分线的定义得，推出，即可证明；
（3）连接，由得，根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质可推出，进而求出，由得到，根据勾股定理求出，最后根据相似三角形的性质即可求解．
小问1详解】
证明：连接，
，
，
，
，
，
.
是的直径，
，
，
，
，
与相切；
【小问2详解】
证明：与所对的弧相同，
，
平分，
，，
，
；
【小问3详解】
，
，
，，，
，
，
在中，，
连接，
，
，
，
在中，，
，
，
，
.
26. 定义：在平面直角坐标系中，图形上点的纵坐标与其横坐标的差称为点的“坐标差”，而图形上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形的“特征值”．
（1）①点的“坐标差”为 ；
②抛物线的“特征值”为 ；
（2）某二次函数的“特征值”为，且，求此二次函数的解析式；
（3）二次函数的图像的顶点在“坐标差”为的一次函数的图像上，四边形是矩形，点的坐标为，点为坐标原点，点在轴上，点在轴上，当二次函数的图像与矩形的边只有三个交点时，求此二次函数的解析式及特征值．
【答案】（1）①；②；
（2）
（3）二次函数的解析式为或，“特征值”
均为
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合，“坐标差”，“特征值”的定义，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质，理解题意．
（1）根据题中“坐标差”，“特征值”的定义求解即可；
（2）由得，进而得到，结合特征值的定义求出值，进而求出值，即可求解；
（3）先求出“坐标差”为的一次函数为，由二次函数的图像的顶点在直线上，可设二次函数的解析式为，分两种情况讨论：抛物线顶点在直线与的交点上时；抛物线右侧部分经过点时；分别把、代入，解得的值，即可求解．【小问1详解】
解：①点的“坐标差”为：；
②，，
顶点坐标的“坐标差”为抛物线的特征值，
抛物线的“特征值”为；
故答案为：①；②；
【小问2详解】
，
，
，
二次函数的“特征值”为，
，
，
，
，
二次函数的解析式为；
【小问3详解】
“坐标差”为的一次函数为，
二次函数的图像的顶点在直线上，
设二次函数为，
二次函数的图像与矩形有三个交点，如图、，
抛物线顶点在直线与的交点上时如图，
在中，令，则，得交点为，
把代入，得，
解得：，舍去，
二次函数的解新式为，
，特征值是；
抛物线右侧部分经过点时如图，
把代入，得，
解得，舍去，
二次函数的解析或为，
，特征值是．
综上，二次函数的解析式为或，“特征值”均为．