陕西省榆林市榆阳区第五中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份陕西省榆林市榆阳区第五中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了答卷前将装订线内的项目填写清楚等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷；
2．答卷前将装订线内的项目填写清楚．
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 命题“如果，那么”的逆命题是假命题，可取下面哪组值反例说明（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】举反例说明即可.
【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是假命题，
可以取，说明．
故选：D．
【点睛】本题考查逆命题，假命题，反例等，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
2. 下面图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；来这里 全站资源一元不到！故选：B．试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。3. 若点向下平移2个单位长度得到对应点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点坐标的平移．熟练掌握点坐标上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减是解题的关键．
根据点坐标上下平移，横坐标不变，纵坐标上加下减求解作答即可．
【详解】解：由题意知，点向下平移2个单位长度得到对应点的坐标是，
故选：B．
4. 下列判断不正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到答案．
【详解】解：若，则，故选项A正确；
若，则，故选项B正确；
若，则，故选项C 不正确；
若，则，故选项D正确．
故选C．
5. 由于木质衣架没有柔性，所以在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可．如图1.衣架杆．若衣架收拢时，，如图2，则此时A，B两点之间的距离是（ ）
图1 图2
A. 9 cmB. 16 cmC. 18 cmD. 20 cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据有一个角是的等腰三角形的等边三角形进行解答即可．
【详解】解：解：∵，，
∴是等边三角形，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查等边三角形的判定和性质，关键是掌握有一个角是的等腰三角形是等边三角形．
6. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A. 的三条中线的交点B. 三边的中垂线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三条高所在直线的交点
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查角平分线的判定，由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上，可知凉亭选在三条角平分线的交点．
【详解】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭应在三条角平分线交点．
故选：C
7. 若关于x的不等式 的整数解共有4个，则m的取值范围是 （ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】分别求出和两个不等式的解集，解得，，根据判断出原不等式组的四个整数解为，，，，再来判断m的取值范围即可．
【详解】解：原不等式组为，
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组有四个整数解，
原不等式组的整数解为，，，，
，
．
故选：D．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据整数解的个数来判断m的取值范围是解题的关键．
8. 如图，将绕点逆时针旋转后得到，点，的对应点分别为，，点恰好在边上，且点在的延长线上，连接，若，则下列结论一定正确的是（ ）

A. B. C. 旋转角是D.
【答案】A
【解析】
【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求得，从而可得．
【详解】解：将绕点逆时针旋转后得到，
，，
，
，
，
，即旋转角为，，
，
，
与不平行，
，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 在中，，若，则的长为_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据含度角的直角三角形的性质直接可得结果．
【详解】解：如图所示，
∵中，，若，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了含度角的直角三角形的性质，熟练掌握含度角的直角三角形的性质是解题的关键．
10. 如图，直线（b为常数）与直线（k为常数且）交于点，则关于x的不等式的解集是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到当直线的图象在直线的图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，当直线的图象在直线的图象上方时自变量的取值范围为，
∴关于x的不等式的解集是，
故答案为：．
11. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件_____．
【答案】AB＝AC
【解析】
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等即可解答．
【详解】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．
故答案为：AB＝AC．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键．12. 现定义一种新的运算：，例如：，则不等式的解集为_____
【答案】
【解析】
【分析】根据新定义规定运算规则列出不等式，解不等式即可得．
【详解】根据题意知：（﹣2）2﹣2x≥0，
﹣2x≥﹣4，
解得：x≤2．
故答案为：x≤2．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式．
13. 如图，在等边三角形中，，，点E是线段上一动点，连接，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，连接，则长的最小值为________．
【答案】
【解析】
【分析】取的中点K，连接、，根据等边三角形的性质，得到，，再结合旋转的性质，证明，有，故当最小时，最小，此时，由是的中位线，可得，从而长的最小值为．
【详解】解：如图，取的中点K，连接、，
是等边三角形，，，
，，
将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，，，
，
，
在和中，
，
，
，
当最小时，最小，此时，
，
，
是的中位线，
长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14. 解不等式：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．按照解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
【详解】去分母得：，
移项得：，
合并得：，
解得：
15. 如图，在以边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上．以点A为旋转中心，将按顺时针方向旋转，画出旋转后的，点B，C的对应点分别为，．
【答案】见详解
【解析】
【分析】本题考查了网格内根据旋转要求作图等知识．根据旋转的性质分别做出点B，C的对应点，，即可做出．
【详解】解：如图，即为所求作的三角形：
．
16. 如图，点C为线段的中点，分别过点A、B作的垂线（点D、E在的同侧），连接，且．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】利用直接证明即可．
【详解】∵点C为线段的中点，
∴，
在与中，
，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用证明两个三角形全等”是解本题的关键．17. 如图，设三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要求三个村庄到学校的距离相等．请你通过尺规作图，在图中画出学校的位置．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故作出的垂直平分线相交于点P，则点P是所求的点．
本题主要考查了基本作图，关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【详解】解：如图，点P就是学校的位置．
18. 解不等式组：并把它的解集在如图所示的数轴上表示出来．

【答案】，见解析
【解析】
【分析】分别将两个不等式的解集表示出来，再数轴上表示即可．
【详解】解：由①得，，
由②得，，
故不等式组的解集为：．
在数轴上表示为： 【点睛】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，熟记数轴表示解集的步骤是解题关键．
19. 如图所示，在等腰ABC中，AB＝AC，AF为BC的中线，D为AF上的一点，且BD的垂直平分线过点C并交BD于E，求证：BCD是等边三角形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得出AF⊥BC，根据线段垂直平分线性质求出BD＝DC，BC＝CD，推出BD＝DC＝BC，根据等边三角形的性质得出即可．
【详解】证明：∵AB＝AC，AF为BC的中线，
∴AF⊥BC，
∴BD＝DC，
∵CE是BD的垂直平分线，
∴BC＝CD，
∴BD＝DC＝BC，
∴△BCD是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定，准确分析证明是解题的关键．
20. 如图，在中，的外角平分线与的外角平分线相交于点P．求证：点P在的平分线上．
【答案】见解析
【解析】
【分析】作于点F，于点G，于点H，根据角平分线的性质可得出，即可得出结论．
【详解】证明：如图，作于点F，于点G，于点H，
∵的外角平分线与的外角平分线相交于点P，
∴，
∴，
又∵，
∴点P在的平分线上．
【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质，熟知角平分线的判定定理以及性质是解题的关键．
21. 某超市销售茶壶茶杯，茶壶每只定价25元，茶杯每只定价5元，超市在开展促销活动时，向顾客提供了两种优惠方案：①买一只茶壶赠一只茶杯；②茶壶和茶杯都按定价的九折付款．现某顾客要到该超市购买茶壶6只，茶杯x只（茶杯数多于6只）．求当该顾客购买多少只茶杯，选择方案①比较划算．
【答案】当顾客购买的茶杯数多于6只小于30只时，选择方案一比较划算
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据“选择方案①比较划算”列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得．
答：当顾客购买的茶杯数多于6只小于30只时，选择方案一比较划算．22. 如图，在中，，，平分交于点D．

（1）求证：点D在的垂直平分线上；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查角平分线的定义、线段垂直平分线的判定、角所对的直角边与斜边的关系．
（1）根据题意和角平分线的定义，可以得到，然后即可得到，再根据线段垂直平分线的判定，即可证明结论成立；
（2）根据角所对的直角边和斜边的关系，可以得到，再根据即可．
【小问1详解】
证明：在中，，，
，
平分，
，
，
，
点D在的垂直平分线上；
【小问2详解】
解：在中，，
，
．
23. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题：
（1）作出向左平移4个单位长度后得到的，点A，B，C的对应点分别为点，，；
（2）作出关于原点O对称的，点A，B，C的对应点分别为点，，，并写出点的坐标．
【答案】（1）见详解 （2）见详解，
【解析】
【分析】本题考查作图-平移和作图和关于原点对称作图．掌握平移和关于原点对称图形的性质是解答本题的关键．
（1）直接利用平移的性质即可知点A、B、C的对应点、、的坐标，再在坐标系中标出各点，顺次连接即得到；
（2）分别连接并延长至，，，再顺次连接点即得到，即可求出的坐标．
【小问1详解】
解：由直角坐标系可得知：，，，
向左平移4个单位长度后，，，
如图，即为所求， 【小问2详解】
如图，即为所求，．
24. 如图，是的角平分线，，交于点．
（1）求证：；
（2）当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质，可以得到，然后即可得到；
（2）根据和等腰三角形的性质、平行线的性质，可得到与的关系．【小问1详解】
证明：是的角平分线，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
理由：，
，
，
，
，
，
，
由（1）知：，
．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25. 小聪用元钱去购买笔记本和钢笔．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元．
（1）若小聪已经购买了支钢笔，问最多还能买几本笔记本？
（2）若小聪想购买笔记本和钢笔共件，问最多能买几支钢笔？
【答案】（1）小聪最多还能买本笔记本
（2）最多能买支钢笔
【解析】
【分析】（1）本题考查不等式应用，根据题意利用费用不超元列不等式求解即可得到答案；
（2）本题考查不等式应用，根据题意利用费用不超元列不等式求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：设小聪还能买x本笔记本，由题意得，
，解得：，
∴小聪最多还能买本笔记本，
答：小聪最多还能买本笔记本；
【小问2详解】
解：设小聪想购买钢笔m支，则购买笔记本本，
由题意得：，
解得：，
答：最多能买支钢笔．
26. 【问题情境】如图，已知是等边三角形，点E是上一动点，点D在的延长线上，连接，，且，将绕点C顺时针旋转至，连接．
【探索求证】（1）如图1，点E在上，求证：．
【问题延伸】（2）如图2，如果点E在的延长线上，线段，，之间又有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、旋转的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键；
（1）由题意易得，则可知为等边三角形，然后可得，进而可证，最后根据全等三角形的性质可进行求证；
（2）由题意易得，，，，，则有为等边三角形，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵绕点C顺时针旋转至，∴，，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，即，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：．
理由如下：∵，
∴，
∵绕点C顺时针旋转至，
∴，，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，∴，
∴，即．