2024年山东省济南市长清区中考数学二模试卷

这是一份2024年山东省济南市长清区中考数学二模试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）如图所示，该圆柱体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）2024年“热辣滚烫”的清明小长假落下帷幕，济南再次登上周边游热门目的地城市单，期间共接待旅客1420000人次，1420000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．1.42×106B．14.2×105C．0.142×105D．0.142×106
3．（4分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G．若∠FEG＝58°，则∠EGD的度数为（ ）
A．132°B．128°C．122°D．112°
4．（4分）有理数a，b在数轴上的表示如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣b＜aB．ab＞0C．|a|＜|b|D．b+a＜0
5．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）代数式化简的结果为（ ）
A．B．3x﹣3yC．3x+3yD．
7．（4分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，1），则该函数图象一定经过（ ）试卷来这里 全站资源一元不到！源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。A．（﹣1，1）B．（2，）C．（1，﹣2）D．（﹣，﹣4）
8．（4分）小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《京剧生角》特种邮票，上面分别绘有《将相和》中的蔺相如、《四进士》中的宋士杰、《群英会》中的周瑜、《白蛇传》中的许仙，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．元旦之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“蔺相如”和“周瑜”的概率是（ ）
A．B．C．D．
9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（ ）
A．直线PQ是AC的垂直平分线
B．CD＝AB
C．DE＝BC
D．S△ADE：S四边形DBCE＝1：4
10．（4分）已知函数y＝x2﹣4ax+5（a为常数），当x≥4时，y随x的增大而增大，P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上的两点，对任意的2a﹣2≤x1≤6和2a﹣2≤x2≤6，y1，y2总满足y1﹣y2≤5+4a2，则实数a的取值范围是（ ）
A．3≤a≤4B．C．1≤a≤2D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：a2+10a+25＝ ．12．（4分）一个袋子中装有4个黑球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数n为 ．
13．（4分）设n为正整数，且，则n的值为 ．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣6＝0的一个根是3，则m的值是 ．
15．（4分）如图，半径为8的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为 ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，O是BC的中点，P是边CD上一动点，将△OCP沿OP翻折得△OC′P，连接C′D，在C′D左侧有一点E，使得△C′DE为等腰直角三角形，且∠DC′E＝90°，连接CE．若正方形ABCD的边长为2，则CE的最小值为 ．
三.解答题（本大题共10小题，共86分）
17．（6分）．
18．（6分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD、BC上，且DE＝BF，连接EF交AC于点O．求证：OE＝OF．
20．（8分）速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知CD∥EG，滑台的高DG为6米，且坡面BC的坡度为1：1，为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面的坡度∠CAG＝37°．（参考数据：sin37，cs37，tan37）（1）求新坡面AC的长；
（2）原坡面底部BG的正前方10米处（EB＝10米）是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米，请问新的设计方案是否符合规定，试说明理由．
21．（8分）2024年3月5日上午，国务院总理李强代表国务院在十四届全国人大二次会议上作政府工作报告，提到“深化全民阅读活动”，某校为了解全校学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的a＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位数落在第 组；
（4）若该校共有1800名学生，试估计该校学生每周课外阅读时间不少于120min的学生人数．
22．（8分）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点 组别
每周阅读时间t/min
频数
频率
第一组
30≤t＜60
4
0.1
第二组
60≤t＜90
7
0.175
第三组
90≤t＜120
a
0.35
第四组
120≤t＜150
9
0.225
第五组
150≤t＜180
6
0.15
D．求证：
（1）∠AOC＝2∠ACD；
（2）若⊙O的半径为3，AD＝2，求tan∠ACD．
23．（10分）长清某学校为备战体育中考，计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）已知篮球进价为每个90元，足球进价为每个70元，若商场售出足球的数量比篮球数量的2倍少10个，且获利超过1300元，问篮球最少要卖多少个？
24．（10分）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P（x，y）是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B线为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”，即2（x+y）＝x•y．
【尝试初探】：
（1）点C（2，3） “美好点”（填“是”或“不是”）；
【深入探究】：
（2）若“美好点”E（m，6）（m＞0）在双曲线，且k为常数）上，求k的值；
【拓展延伸】：（3）在（2）的条件下，F（2，n）在双曲线上，求S△EOF的值．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P是第一象限内抛物线上一动点，连接PC、PB、BC，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PBC是以点C为直角顶点的直角三角形；
（3）如图2，过抛物线顶点E作EF⊥x轴于F，若M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC＝90°，请求出实数m的取值范围．
26．（12分）如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，当点B在线段AD上，点C在线段AE上时，我们很容易得到BD＝CE，不需证明．
（1）如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连结BD和CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；
（2）如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D恰好落在BC的延长线上，连结CE．若AB＝AC＝2，CD＝，求线段DE的长；
（3）若P为DE中点，连接BP，AB＝AC＝2，AD＝AE＝4，当△ADE绕点A逆时针旋转时，BP最大值为m，最小值为n，则mn的值为 ．
2024年山东省济南市长清区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）如图所示，该圆柱体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先细心观察原立体图形，是一个圆柱，所以它的左视图是矩形．
【解答】解：该圆柱体的左视图是：
故选：C．
2．（4分）2024年“热辣滚烫”的清明小长假落下帷幕，济南再次登上周边游热门目的地城市单，期间共接待旅客1420000人次，1420000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．1.42×106B．14.2×105C．0.142×105D．0.142×106
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：1420000＝1.42×106．
故选：A．3．（4分）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G．若∠FEG＝58°，则∠EGD的度数为（ ）
A．132°B．128°C．122°D．112°
【答案】C
【分析】由角平分线定义得到∠BEG＝∠FEG＝58°，由平行线的性质推出∠EGD+∠BEG＝180°，即可求出∠EGD的度数．
【解答】解：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝∠FEG＝58°，
∵AB∥CD，
∴∠EGD+∠BEG＝180°，
∴∠EGD＝180°﹣58°＝122°．
故选：C．
4．（4分）有理数a，b在数轴上的表示如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．﹣b＜aB．ab＞0C．|a|＜|b|D．b+a＜0
【答案】A
【分析】由数轴得，b＜0，a＞0，|a|＞|b|，进一步得出﹣b＜a，ab＜0，b+a＞0，从而作出判断．
【解答】解：由数轴得，b＜0，a＞0，|a|＞|b|，
∴﹣b＜a，ab＜0，b+a＞0，
故选：A．
5．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形．故不符合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形．故不符合题意；
C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形．故不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故符合题意．
故选：D．
6．（4分）代数式化简的结果为（ ）
A．B．3x﹣3yC．3x+3yD．
【答案】B
【分析】先把分式的分子、分母分解因式，然后约分即可．
【解答】解：
＝
＝3（x﹣y）
＝3x﹣3y，
故选：B．
7．（4分）若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，1），则该函数图象一定经过（ ）
A．（﹣1，1）B．（2，）C．（1，﹣2）D．（﹣，﹣4）
【答案】D
【分析】先根据反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，1）求出k的值，再根据k＝xy对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点（2，1），
∴k＝2×1＝2，
A、∵（﹣1）×1＝﹣1≠2，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
B、∵2×＝1≠2，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
C、∵1×（﹣2）＝﹣2≠2，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；D、∵﹣×（﹣4）＝2，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意．
故选：D．
8．（4分）小明珍藏了四枚由国家邮政局发行的《京剧生角》特种邮票，上面分别绘有《将相和》中的蔺相如、《四进士》中的宋士杰、《群英会》中的周瑜、《白蛇传》中的许仙，这些邮票除图案外，质地、规格完全相同．元旦之际，他想把心爱的邮票送给好朋友小亮两枚，于是将这些邮票背面朝上，让小亮随机抽取，小亮抽到的邮票正好是“蔺相如”和“周瑜”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中小亮抽到的邮票正好是“蔺相如”和“周瑜”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：把分别绘有《将相和》中的蔺相如、《四进士》中的宋士杰、《群英会》中的周瑜、《白蛇传》中的许仙的4张邮票分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小亮抽到的邮票正好是“蔺相如”和“周瑜”的结果有2种，即AC、CA，
∴小亮抽到的邮票正好是“蔺相如”和“周瑜”的概率是＝，
故选：A．
9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线PQ交AB，AC于点D，E，连接CD．下列说法错误的是（ ）
A．直线PQ是AC的垂直平分线
B．CD＝AB
C．DE＝BC
D．S△ADE：S四边形DBCE＝1：4
【答案】D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理一一判断即可．
【解答】解：由作图可知PQ垂直平分线段AC，故选项A正确，
∴DA＝DC，AE＝EC，
∴∠A＝∠DCA，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠DCB+∠DCA＝90°，
∴∠B＝∠DCB，
∴DB＝DC，
∴AD＝DB，
∴CD＝AB，故选项B正确，
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝BC，故选项C正确，
据三角形中位线的性质得到DE∥BC，
进而证明△ADE∽△ABC，
根据相似三角形的性质得到面积比S△ADE：S△ABC＝1：4；
故选：D．
10．（4分）已知函数y＝x2﹣4ax+5（a为常数），当x≥4时，y随x的增大而增大，P（x1，y1），Q（x2，y2）是该函数图象上的两点，对任意的2a﹣2≤x1≤6和2a﹣2≤x2≤6，y1，y2总满足y1﹣y2≤5+4a2，则实数a的取值范围是（ ）
A．3≤a≤4B．C．1≤a≤2D．
【答案】C
【分析】依据题意，由x≥4时，y随x的增大而增大，可得2a≤4，即a≤2；又由二次函数的增减性可知，x＝2a时，ymin＝5﹣4a2；x＝5时，ymax＝30﹣20a；根据y1﹣y2≤5+4a2，建立不等式，并求出a的取值范围，即可得出结论．
【解答】解：由题意，抛物线开口向上，
∵当x≥4时，y随x的增大而增大，
∴对称轴直线x＝2a≤4，即a≤2．
∵抛物线上的点离对称轴越远就越大，
又6﹣2a≥2，2a﹣（2a﹣2）＝2，
∴当x＝2a时，ymin＝5﹣4a2，
当x＝5时，ymax＝30﹣20a．
∴30﹣20a﹣（5﹣4a2）≤5+4a2，
解得，a≥1，
∴1≤a≤2．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）分解因式：a2+10a+25＝ （a+5）2 ．
【答案】（a+5）2．
【分析】根据完全平方公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，原式化成二项式平方．
【解答】解：a2+10a+25＝（a+5）2；
故答案为：（a+5）2．
12．（4分）一个袋子中装有4个黑球和n个白球，这些球除颜色外其余完全相同，摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，则白球的个数n为 6 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据白球概率求出黑球概率，黑球共有4个，就可以求出球的总数，再减去黑球个数即可解答．
【解答】解：∵摇匀后随机摸出一个，摸到白球的概率为，∴摸到黑球的概率为，
∵袋子中有4个黑球和n个白球，
∴由简单概率公式可得，解得n＝6，
∴白球有6个，
故答案为：6．
13．（4分）设n为正整数，且，则n的值为 3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先得出，进而求出的取值范围，即可得出n的值．
【解答】解：∵，
∴，
∴n＝3．
故答案为：3．
14．（4分）已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣6＝0的一个根是3，则m的值是 ﹣4 ．
【答案】﹣4．
【分析】能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．将x＝3代入方程即可求解．
【解答】解：将x＝3代入方程2x2+mx﹣6＝0得：2×32+3m﹣6＝0，
解得：m＝﹣4．
故答案为：﹣4．
15．（4分）如图，半径为8的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为 8π ．
【答案】8π．
【分析】先连接OC，然后根据正方形的性质和图形，可以得到阴影部分的面积等于扇形BOC的面积，然后代入数据计算即可．
【解答】解：连接OC，如图所示，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠AOB＝∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴四边形OECD是矩形，
∵CD＝CE，
∴四边形OECD是正方形，
∴∠DCE＝90°，△DCE和△OEC全等，
∴S阴影＝S△DCE+S半弓形BCE
＝S△OCE+S半弓形BCE
＝S扇形COB
＝
＝8π，
故答案为：8π．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，O是BC的中点，P是边CD上一动点，将△OCP沿OP翻折得△OC′P，连接C′D，在C′D左侧有一点E，使得△C′DE为等腰直角三角形，且∠DC′E＝90°，连接CE．若正方形ABCD的边长为2，则CE的最小值为 ﹣ ．
【答案】﹣．
【分析】构造等腰直角△DOM，即可证明△MDE∽△ODC′，得到，ME＝再证明△MON≌△ODC，得到MN＝OC＝1，ON＝CD＝3，求出CM＝，最后根据CE≥CM﹣AE得到CE的最小值．
【解答】解：连接OD，过O作OD⊥OM，取OD＝OM，连接MD，ME，过M作MN⊥CN，
∵OD⊥OM，OD＝OM，
∴，∠MDO＝45°，
∵△C′DE为等腰直角三角形，
∴，∠EDC′＝45°，
∴，∠ODC′＝∠MDE＝45°﹣∠ODE，
∴△MDE∽△ODC′，
∴，
∵正方形ABCD中，O是BC的中点，正方形ABCD的边长为6，
∴OC＝1，CD＝BC＝2，
∵将△OCP沿OP翻折得△OC′P，
∴OC＝OC′＝1，
∴ME＝，
∵MN⊥CN，
∴∠MNO＝∠DCO＝90°，
∵∠MON＝∠ODC＝90°﹣∠COD，OD＝OM，
∴△MON≌△ODC（ASA），
∴MN＝OC＝1，ON＝CD＝2，
∴CN＝3，
∴＝＝，
∴CE≥CM﹣ME＝﹣．
∴当C、M、E三点共线时CE有最小值，最小值为﹣，
故答案为：﹣．
三.解答题（本大题共10小题，共86分）17．（6分）．
【答案】11﹣2．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
＝1+9+﹣3+1
＝11﹣2．
18．（6分）解不等式组，并写出它的所有整数解．
【答案】3＜x≤6，所有整数解为4，5，6．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，即可求得整数解．
【解答】解：解不等式①，得x≤6，
解不等式②，得x＞3，
∴不等式组的解集为3＜x≤6，
∴原不等式所有整数解为4，5，6．
19．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD、BC上，且DE＝BF，连接EF交AC于点O．求证：OE＝OF．
【答案】见解答．
【分析】根据平行四边形的性质结合已知得出AE＝FC，由AD∥BC，推出∠AEO＝∠CFO，证出△AEO≌△CFO即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEO＝∠CFO，
∵DE＝BF，
∴AE＝AD﹣ED，FC＝BC﹣BF，
即AE＝FC，
在△AEO和△CFO中，，
∴△AEO≌△CFO（AAS），
∴OE＝OF．
20．（8分）速滑运动受到许多年轻人的喜爱，如图，四边形BCDG是某速滑场馆建造的滑台，已知CD∥EG，滑台的高DG为6米，且坡面BC的坡度为1：1，为了提高安全性，决定降低坡度，改造后的新坡面的坡度∠CAG＝37°．（参考数据：sin37，cs37，tan37）
（1）求新坡面AC的长；
（2）原坡面底部BG的正前方10米处（EB＝10米）是护墙EF，为保证安全，体育管理部门规定，坡面底部至少距护墙7米，请问新的设计方案是否符合规定，试说明理由．
【答案】（1）10米；
（2）新的设计方案符合规定，理由见解答．
【分析】（1）过点C作CH⊥BG，垂足为H，根据坡度的概念求出∠CAH，根据直角三角形的性质求出AC；
（2）根据坡度的概念求出BH，根据正切的定义求出AH，得到AB，结合图形求出EB，计算得到答案．
【解答】解：（1）如图，过点C作CH⊥BG，垂足为H，
∵新坡面AC的坡度为∠CAG＝37°，
∴tan∠CAH＝＝，
∵CH＝DG＝6米，
∴AH＝＝8（米），∴AC＝＝＝10（米），
答：新坡面AC的长为10米；
（2）新的设计方案不符合规定．
理由如下：∵坡面BC的坡度为1：1，
∴BH＝CH＝6米，
∴AB＝AH﹣BH＝8﹣6＝2（米），
∴AE＝EB﹣AB＝10﹣2＝8（米）＞7（米），
∴新的设计方案符合规定．
21．（8分）2024年3月5日上午，国务院总理李强代表国务院在十四届全国人大二次会议上作政府工作报告，提到“深化全民阅读活动”，某校为了解全校学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
请根据图表中的信息解答下列问题：
（1）频数分布表中的a＝ 14 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位数落在第 三 组；
（4）若该校共有1800名学生，试估计该校学生每周课外阅读时间不少于120min的学生人数．组别
每周阅读时间t/min
频数
频率
第一组
30≤t＜60
4
0.1
第二组
60≤t＜90
7
0.175
第三组
90≤t＜120
a
0.35
第四组
120≤t＜150
9
0.225
第五组
150≤t＜180
6
0.15
【答案】（1）14；
（2）见解答；
（3）三；
（4）估计该校学生每周课外阅读时间不少于120min的学生有675人．
【分析】（1）根据A组的频数和频率，可以求得本次调查的人数，可得a的值；
（2）根据（1）以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据中位数以及加权平均数的计算公式解答即可；
（4）根据直方图中的数据，可以计算出该校1800名学生中每周的课外阅读时间不小于120min的学生人数．
【解答】解：（1）本次共随机调查了学生：4÷0.1＝40（人），
a＝40×0.35＝14，
故答案为：14；
（2）补全频数分布直方图：
（3）被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位数落在第三组，
被调查的这些学生每周课外阅读时间的平均数为：×（45×4+75×7+105×14+135×9+165×6）＝109.5，
故答案为：三；
（3）1800×（0.225+0.15）＝675（人），
答：估计该校学生每周课外阅读时间不少于120min的学生有675人．
22．（8分）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD于点 D．求证：
（1）∠AOC＝2∠ACD；
（2）若⊙O的半径为3，AD＝2，求tan∠ACD．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【分析】（1）连接BC，由切线的性质及圆周角定理得出∠ABC＝∠ACD，则可得出结论；
（2）证明△ABC∽△ACD，得出，由勾股定理求出CD，则可得出答案．
【解答】（1）证明：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC+∠OAC＝90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD＝90°，
即∠OCA+∠DCA＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，∴∠ABC＝∠ACD，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2∠ACD；
（2）解：∵AD⊥CD，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
又∵∠ABC＝∠ACD，
∴△ABC∽△ACD，
∴，
∴，
解得，
在Rt△ACD中，CD＝＝2，
∴在Rt△ACD中，．
23．（10分）长清某学校为备战体育中考，计划购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多30元，已知用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等．
（1）篮球和足球的单价各是多少元？
（2）已知篮球进价为每个90元，足球进价为每个70元，若商场售出足球的数量比篮球数量的2倍少10个，且获利超过1300元，问篮球最少要卖多少个？
【答案】（1）篮球的单价是120元，足球的单价是90元；
（2）篮球最少要卖22个．
【分析】（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（x+30）元，利用数量＝总价÷单价，结合用360元购进的足球和用480元购进的篮球数量相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出足球的单价，再将其代入（x+30）中，即可求出篮球的单价；
（2）设篮球要卖y个，则足球要卖（2y﹣10）个，利用总利润＝每个篮球的销售利润×篮球的销售数量+每个足球的销售利润×足球的销售数量，结合总利润超过1300元，可列出关于y的一元一次不等式，解之可得出y的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（x+30）元，
根据题意得：＝，
解得：x＝90，
经检验，x＝90是所列方程的解，且符合题意，∴x+30＝90+30＝120（元）．
答：篮球的单价是120元，足球的单价是90元；
（2）设篮球要卖y个，则足球要卖（2y﹣10）个，
根据题意得：（120﹣90）y+（90﹣70）（2y﹣10）＞1300，
解得：y＞，
又∵y为正整数，
∴y的最小值为22．
答：篮球最少要卖22个．
24．（10分）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点P（x，y）是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点P分别作x轴、y轴的垂线，若由点P、原点O、两个垂足A、B线为顶点的矩形OAPB的周长与面积的数值相等时，则称点P是平面直角坐标系中的“美好点”，即2（x+y）＝x•y．
【尝试初探】：
（1）点C（2，3） 不是 “美好点”（填“是”或“不是”）；
【深入探究】：
（2）若“美好点”E（m，6）（m＞0）在双曲线，且k为常数）上，求k的值；
【拓展延伸】：
（3）在（2）的条件下，F（2，n）在双曲线上，求S△EOF的值．
【答案】（1）不是；
（2）k＝18；（3）．
【分析】（1）验证矩形的周长与面积的数值是否相等，即验证横纵坐标的绝对值之和是否等于横纵坐标的绝对值的乘积；
（2）根据E是“美好点”，求出m，再将点E代入双曲线方程就可求出k；
（3）根据“F（2，n）在双曲线上”求出n，再用待定系数法求出直线EF的方程，从而求出它与x轴的交点，最后利用S△EOF＝S△FOG﹣S△EOG求S△EOF即可．
【解答】解：（1）∵（2+3）×2＝10≠2×3＝6，
∴点C（2，3）不是“美好点”，
故答案为：不是；
（2）①∵E（m，6）（m＞0）是“美好点”，
∴2×（m+6）＝6m，
解得：m＝3，
∴E（3，6），
将E（3，6）代入双曲线，且k为常数），
得k＝18；
（3）∵k＝18，
∴双曲线的解析式是：y＝．
∵F（2，n）在双曲线y＝上，
∴2n＝18，
∴n＝9，
∴F（2，9），
设直线EF的解析式为：y＝ax+b，代入得：
，
解得：，
∴直线EF的解析式为：y＝﹣3x+15，
令直线EF与x轴交于点G，
当y＝0时，﹣3x+15＝0，解得：x＝5，
∴G（5，0），
画出图如图所示：
∴S△EOF＝S△FOG﹣S△EOG＝＝．
25．（12分）如图，已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点P是第一象限内抛物线上一动点，连接PC、PB、BC，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PBC是以点C为直角顶点的直角三角形；
（3）如图2，过抛物线顶点E作EF⊥x轴于F，若M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC＝90°，请求出实数m的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）t＝1；
（3）m的变化范围为：﹣≤m≤5．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）求出直线PC的解析式为y＝x+3，联立上式和抛物线的表达式得：x+3＝﹣x2+2x+3，即可求解；
（3）当M在EF左侧时，证明△MNF∽△NCH，得到，即n2﹣3n﹣m+1＝0，即可求解；当M在EF右侧时，同理可解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0），与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），代入得：
，解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）当∠PCB＝90°时，
设直线PC的解析式为：y＝kx+b，
∵CP⊥BC，
∴k＝1，
∴直线PC的解析式为y＝x+3，
联立上式和抛物线的表达式得：x+3＝﹣x2+2x+3，
解得：x＝1（不合题意的值已舍去），
∴t＝1；
（3）由（1）知，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴OF＝1，EF＝4，OC＝3，
过C作CH⊥EF于H点，则CH＝EH＝1，
如图2.1，当M在EF左侧时，
∵∠MNC＝90°，
则△MNF∽△NCH，
∴，
设FN＝n，则NH＝3﹣n，
∴，
即n2﹣3n﹣m+1＝0，
关于n的方程有解，Δ＝（﹣3）2﹣4（﹣m+1）≥0，
得m≥﹣且m≠1；
当M与F重合时，m＝1；
如图2.2，当M在EF右侧时，Rt△CHE中，CH＝EH＝1，∠CEH＝45°，即∠CEF＝45°，
作EM⊥CE交x轴于点M，则∠FEM＝45°，
∵FM＝EF＝4，
∴OM＝5，
即N为点E时，OM＝5，
∴m≤5，
综上，m的变化范围为：﹣≤m≤5．
26．（12分）如图①，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，当点B在线段AD上，点C在线段AE上时，我们很容易得到BD＝CE，不需证明．
（1）如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连结BD和CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由；
（2）如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D恰好落在BC的延长线上，连结CE．若AB＝AC＝2，CD＝，求线段DE的长；（3）若P为DE中点，连接BP，AB＝AC＝2，AD＝AE＝4，当△ADE绕点A逆时针旋转时，BP最大值为m，最小值为n，则mn的值为 8 ．
【答案】（1）BD＝CE依然成立，理由见解答过程；
（2）2；
（3）8．
【分析】（1）利用SAS证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE；
（2）由SAS证明△ACE≌△ABD，可得∠ACE＝∠ABD＝45°，则∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，再利用勾股定理可得答案；
（3）由等腰直角三角形的性质可得AP＝4，则点P在以A为圆心，AP为半径的圆上运动，即当点P在BA的延长线上时，BP有最大值与最小值，即可求解．
【解答】解：（1）BD＝CE依然成立，理由如下：
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∵将△ADE绕点A逆时针旋转α，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE；
（2）∵AB＝AC＝2，
∴BC＝＝＝2，
∴BC+CD＝BD＝CE＝2+＝3，
∵AB＝AC，∠BAD＝CAE，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴DE＝＝＝2；
（3）如图3，连接AP，
∵AD＝AE＝4，
∴DE＝8，
∵点P是DE的中点，
∴AP＝4，
∴点P在以A为圆心，AP为半径的圆上运动，
∴当点P在BA的延长线上时，BP有最大值，
∴BP的最大值为m＝AB+AP＝2+4，最小值为n＝AP﹣AB＝4﹣2，
∴mn＝（4+2）（4﹣2）＝8，
故答案为：8．