福建省厦门外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

这是一份福建省厦门外国语学校2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（ ）
A．金额B．数量
C．单价D．金额和数量
2．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝140°，则∠C的度数为（ ）
A．70°B．40°C．110°D．140°
3．（4分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．7，8，9D．9，40，41
4．（4分）满足k＞0，b＝3的一次函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）如图，在2×3的正方形网格中，点A，B，M均在格点上，则∠AMB的度数是（ ）试来这里 全站资源一元不到！卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。
A．25°B．30°C．45°D．60°
6．（4分）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分
B．对顶角相等
C．同位角相等
D．若a＝b，则a2＝b2
7．（4分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD于点E，点F是BC的中点，若BD＝10，则EF的长为（ ）
A．8B．6C．5D．4
8．（4分）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若AB＝2，AC＝3，则矩形AEFC的面积为（ ）
A．3B．2C．4D．6
9．（4分）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．点E是AD上一点，且ED＝2AE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点F恰好落在MN上．若BC＝6，则FN的长是（ ）
A．B．C．3D．
10．（4分）定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x+y＝0，则把点A叫做“零点”，例如M（1，﹣1），N（2，﹣2）都是“零点”．当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上有“零点”，则m的取值范围是（ ）
A．﹣3≤m≤9B．﹣9≤m≤3C．﹣9≤m≤﹣3D．3≤m≤9
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）直线y＝2x﹣1与y轴的交点坐标是 ．
12．（4分）如图，菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，若EF＝6，则AC的长是 ．
14．（4分）如图，漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对数学思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）与时间t（min）满足某种确定的关系．下表是小明记录的部分数据，则当h为4.2cm时，对应的时间t为 min．
t（min）
…
1
2
3
4
5
…
h（cm）
…
1.4
1.8
2.2
2.6
3
…
15．（4分）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 （结果用含m的式子表示）．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA、将PA沿BC方向平移至CQ，连接AQ、PQ，则当PQ取得最小值时，BP的长为 ．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．（8分）如图，一架梯子AB长5m，斜靠在一面竖直的墙上．若要使梯子顶端离地面的竖直高度AC为4.8m，求此时梯子底端离墙的距离BC．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点．求证：AF＝CE．
19．（8分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，3）且平行于直线y＝﹣3x+2．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）画出这个一次函数的图象．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，连接BD，∠DBC＝90°，，DB＝4，AD＝8，BE∥CD交AD于E，EA＝EB．求四边形ABCD的面积．
21．（8分）秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，它制作轻巧、经典，使用便利．作为商品流通的主要度量工具，代代相传．其大致示意图如图所示．当秤钩上不挂重物，且秤杆处于水平位置时，秤砣到秤纽的水平距离为4cm，当秤杆处于水平位置时，秤钩所挂重物每增加1kg，秤砣到秤纽的水平距离就增加8cm．
（1）当秤杆处于水平位置时，写出秤砣到秤纽的水平距离y（cm）与秤钩所挂重物x（kg）之间的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数；
（2）当秤砣到秤纽的水平距离y为20cm时，求秤钩所挂重物x．
22．（10分）如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．
（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法．保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BC，连接AC，交BD于点O，取BC的中点E，连接OE．若，BD＝10，求点E到AD的距离．
23．（10分）
如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1
某包装公司承接到21600个旅行包的订单，策划部准备将其任务分配给甲、乙两个车间去完成．由于他们的设备与人数不同，甲车间每天生产的总数是乙车间每天生产总数的2倍，甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少18天．

素材2
经调查，甲车间每人每天生产60个旅行包，乙车间每人每天生产40个旅行包．为提高工作效率，人事部到甲、乙两车间抽走相等数量的工人．策划部为了使抽走后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变，余下的所有工人每天生产个数需要提高20%．因此，甲车间每天工资提高到3400元，乙车间每天工资提高到1560元．
问题解决
任务1
确定工作效率
求甲、乙车间原来每天分别生产多少个旅行包？
任务2
探究抽走人数
甲、乙每个车间被抽走了多少人？
任务3
拟定设计方案
甲、乙两车间抽走相等数量的工人后，按每人每天生产个数提高20%计算，如何安排甲、乙两车间工作的天数，使公司在完成该任务时支付的总工资最少？最少需要多少元？
24．（12分）如图，已知在正方形ABCD中，AB＝4，点P是边CD上一点（不与点C，D重合），联结AP交BD于点E，延长AP交∠BCD的外角角平分线于点F，联结DF．
（1）当CF＝2时，求△ADF的面积；
（2）求证：AE＝EF；
（3）联结CE，当CE∥DF时，求CF的长．
25．（14分）已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），点A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，设PC＝m，
（1）已知点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，设D点横坐标为n，则D点纵坐标可用含n的代数式表示为 ，此时若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；
（2）直线y＝2x+b过点（3，0），请问在该直线上，是否存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题有10小题，每小题4分，共40分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选项正确）1．（4分）小邢到单位附近的加油站加油，如图是小邢所用的加油机上的数据显示牌，则数据中的变量是（ ）
A．金额B．数量
C．单价D．金额和数量
【解答】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：D．
2．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，若∠A+∠C＝140°，则∠C的度数为（ ）
A．70°B．40°C．110°D．140°
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，
∵∠A+∠C＝140°，
∴∠A＝∠C＝70°，
故选：A．
3．（4分）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．7，8，9D．9，40，41
【解答】解：A、22+32≠42，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
B、42+52≠62，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
C、72+82≠92，不是“勾股数”，故本选项不符合题意；
D、92+402＝412，是“勾股数”，故本选项符合题意；
故选：D．4．（4分）满足k＞0，b＝3的一次函数y＝kx+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k＞0，b＝3＞0），
∴该函数图象经过第一、二、三象限，
故选：A．
5．（4分）如图，在2×3的正方形网格中，点A，B，M均在格点上，则∠AMB的度数是（ ）
A．25°B．30°C．45°D．60°
【解答】解：如图所示，连接AB，
由题意得，，，，
∴AM2+AB2＝BM2，AM＝AB，
∴△ABM是等腰直角三角形，且∠BAM＝90°，
∴∠AMB＝45°，
故选：C．
6．（4分）下列命题中，其逆命题是真命题的是（ ）
A．平行四边形的对角线互相平分B．对顶角相等
C．同位角相等
D．若a＝b，则a2＝b2
【解答】解：A、逆命题为对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，是真命题，本选项符合题意；
B、逆命题为相等的角为对顶角，错误，是假命题，不符合题意；
C、逆命题是相等的角是同位角，错误，是假命题，不符合题意；
D、逆命题为如果a2＝b2，那么a＝b，错误，是假命题，不符合题意．
故选：A．
7．（4分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD于点E，点F是BC的中点，若BD＝10，则EF的长为（ ）
A．8B．6C．5D．4
【解答】解：∵AD＝AC，AE⊥CD，
∴CE＝ED，
∵CE＝ED，CF＝FB，
∴EF＝BD＝×10＝5，
故选：C．
8．（4分）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若AB＝2，AC＝3，则矩形AEFC的面积为（ ）
A．3B．2C．4D．6
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，AC＝3，∴BC＝＝，
过B作BG⊥AC于G，则BG＝AE，
∵S矩形ABCD＝AB•BC＝2＝2S△ABC，
而S△ABC＝AC•BG＝AC•AE＝S矩形AEFC，
即S矩形ABCD＝S矩形AEFC＝2，
故选：B．
9．（4分）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．点E是AD上一点，且ED＝2AE，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点F恰好落在MN上．若BC＝6，则FN的长是（ ）
A．B．C．3D．
【解答】解：连接AF，
∵四边形ABCD是矩形，BC＝6，
∴AD＝BC＝6，∠BAD＝∠D＝90°，
∵点E是AD上一点，且ED＝2AE，
∴AE+2AE＝6，
∴AE＝2，
由折叠得FB＝AB，点A与点B关于直线MN对称，
∴MN垂直平分AB，
∴∠AMN＝90°，FB＝FA，
∴FB＝AB＝FA，四边形ADNM是矩形，
∴△ABF是等边三角形，MN＝AD＝6，∴∠ABF＝∠BAF＝60°，
∴∠ABE＝∠FBE＝∠ABF＝30°，
∴BE＝2AE＝4，
∴FA＝AB＝＝＝2，
∴AM＝BM＝AB＝，
∵＝tan60°＝，
∴MF＝AM＝×＝3，
∴FN＝MN﹣MF＝6﹣3＝3，
故选：C．
10．（4分）定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x+y＝0，则把点A叫做“零点”，例如M（1，﹣1），N（2，﹣2）都是“零点”．当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上有“零点”，则m的取值范围是（ ）
A．﹣3≤m≤9B．﹣9≤m≤3C．﹣9≤m≤﹣3D．3≤m≤9
【解答】解：由题意得：直线y＝2x+m与线段AB有交点，其中A（﹣1，1），B（3，﹣3），
当直线y＝2x+m经过A（﹣1，1）时，m＝3，
当直线y＝2x+m经过B（3，﹣3）时，m＝﹣9，
∴m的取值范围为：﹣9≤m≤3，
故选：B．
二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）直线y＝2x﹣1与y轴的交点坐标是 （0，﹣1） ．
【解答】解：∵直线y＝2x﹣1，
∴当x＝0时，y＝﹣1，
∴直线y＝2x﹣1与y轴的交点坐标是（0，﹣1），
故答案为：（0，﹣1）．
12．（4分）如图，菱形ABCD中，AB＝5，∠BCD＝120°，则对角线AC的长是 5 ．
【解答】解：∵AB＝BC，∠B+∠BCD＝180°，∠BCD＝120°，
∴∠B＝60°
∴△ABC为等边三角形
∴AC＝AB＝5
故答案为：5．
13．（4分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB＝AD，E，F分别是AC，BD的中点，若EF＝6，则AC的长是 12 ．
【解答】解：如图，连结AF，

∵AB＝AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD，
又∵在Rt△ACF中，E是AC的中点，EF＝6，
∴AC＝2EF＝12，
故答案为：12．
14．（4分）如图，漏刻是我国古代的一种计时工具．据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对数学思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位h（cm）与时间t（min）满足某种确定的关系．下表是小明记录的部分数据，则当h为4.2cm时，对应的时间t为 8 min．
t（min）
…
1
2
3
4
5
…
【解答】解：设水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式为h＝kt+b，
代入表中数据得，
解得，
∴水位h（cm）与时间t（min）的一次函数关系式为h＝0.4t+1；
当h＝4.2时，4.2＝0.4t+1，
解得t＝8．
故答案为：8．
15．（4分）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，径隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m为正整数），则其弦是 m2+1 （结果用含m的式子表示）．
【解答】解：∵m为正整数，
∴2m为偶数，设其股是a，则弦为a+2，
根据勾股定理得，（2m）2+a2＝（a+2）2，
解得a＝m2﹣1，
∴弦是a+2＝m2﹣1+2＝m2+1，
故答案为：m2+1．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，点P为BC边上任意一点，连接PA、将PA沿BC方向平移至CQ，连接AQ、PQ，则当PQ取得最小值时，BP的长为 2.4 ．h（cm）
…
1.4
1.8
2.2
2.6
3
…
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，
∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，连接BO，
∵∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∵S△ABO＝S△BOC即，
∵CO＝AO＝2，BC＝5，AB＝3，
∴，
∴则PQ的最小值为＝2.4，
故答案为：2.4．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．（8分）如图，一架梯子AB长5m，斜靠在一面竖直的墙上．若要使梯子顶端离地面的竖直高度AC为4.8m，求此时梯子底端离墙的距离BC．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，
∴BC＝＝＝1.4（m）．
答：梯子底端离墙的距离BC为1.4m．
18．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、BC的中点．求证：AF＝CE．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC；
又∵点E、F分别是AD、BC的中点，
∴AE∥CF，AE＝CF＝AD，
∴四边形AECF为平行四边形（对边平行且相等的四边形为平行四边形），
∴AF＝CE（平行四边形的对边相等）．
19．（8分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点A（1，3）且平行于直线y＝﹣3x+2．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）画出这个一次函数的图象．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b平行于直线y＝﹣3x+2，
∴k＝﹣3．
又∵一次函数y＝﹣3x+b经过点A（1，3），
∴3＝﹣3×1+b，
解得b＝6，
∴一次函数的关系式为y＝﹣3x+6；
当x＝0时，y＝6，
∴这个一次函数的图象经过点（1，3），（0，6），
经过两点作直线，图象如图所示．
20．（8分）如图，在四边形ABCD中，连接BD，∠DBC＝90°，，DB＝4，AD＝8，BE∥CD交AD于E，EA＝EB．求四边形ABCD的面积．
【解答】解：∵，DB＝4，AD＝8，
∴AB2＝80，DB2+AD2＝16+64＝80，
∴AB2＝DB2+AD2，
∴△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
又∵∠DBC＝90°，
∴AD∥BC，
∵BE∥CD，
∴四边形EDCB是平行四边形，
∴BC＝DE，
设DE＝x，则AE＝AD﹣x＝8﹣x，
∵EA＝EB，
∴BE＝8﹣x，
在Rt△BDE中，BD2+ED2＝BE2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴BC＝DE＝3，
∴四边形ABCD的面积为．21．（8分）秤是人类发明的各种衡器中历史最悠久的一种，它制作轻巧、经典，使用便利．作为商品流通的主要度量工具，代代相传．其大致示意图如图所示．当秤钩上不挂重物，且秤杆处于水平位置时，秤砣到秤纽的水平距离为4cm，当秤杆处于水平位置时，秤钩所挂重物每增加1kg，秤砣到秤纽的水平距离就增加8cm．
（1）当秤杆处于水平位置时，写出秤砣到秤纽的水平距离y（cm）与秤钩所挂重物x（kg）之间的函数关系式，并判断y是否为x的一次函数；
（2）当秤砣到秤纽的水平距离y为20cm时，求秤钩所挂重物x．
【解答】解：（1）当秤钩上不挂重物，且秤杆处于水平位置时，秤砣到秤纽的水平距离为4cm，当秤杆处于水平位置时，秤钩所挂重物每增加1kg，秤砣到秤纽的水平距离就增加8cm，
∴y与x之间的函数关系式为：y＝8x+4，
y是x的一次函数；
（2）当秤砣到秤纽的水平距离y为20cm时，
将y＝20代入得：
20＝8x+4，
解得：x＝2，
∴当秤砣到秤纽的水平距离y为20cm时，秤钩所挂重物为2kg．
22．（10分）如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．
（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法．保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BC，连接AC，交BD于点O，取BC的中点E，连接OE．若，BD＝10，求点E到AD的距离．
【解答】解：（1）如图所示：点C即为所求；
（2）过B点作BF⊥AD于F，
∵∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵C是点A关于BD的对称点，
∴CB＝AB，CD＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴，
∵E是BC的中点，OA＝OC，
∴BC＝2OE＝13，
∴，
∴OA＝12，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝13，
∵，
∴10×12＝13×BF，
∴，
∵BE∥AD，
故点E到AD的距离是．
23．（10分）如何分配工作，使公司支付的总工资最少
素材1
某包装公司承接到21600个旅行包的订单，策划部准备将其任务分配给甲、乙两个车间去完成．由于他们的设备与人数不同，甲车间每天生产的总数是乙车间每天生产总数的2倍，甲车间单独完成这项工作所需的时间比乙车间单独完成少18天．

素材2
经调查，甲车间每人每天生产60个旅行包，乙车间每人每天生产40个旅行包．为提高工作效率，人事部到甲、乙两车间抽走相等数量的工人．策划部为了使抽走后甲、乙两车间每天生产的总数之和保持不变，余下的所有工人每天生产个数需要提高20%．因此，甲车间每天工资提高到3400元，乙车间每天工资提高到1560元．
问题解决
任务1
确定工作效率
求甲、乙车间原来每天分别生产多少个旅行包？
任务2
探究抽走人数
甲、乙每个车间被抽走了多少人？
任务3
拟定设计方案
甲、乙两车间抽走相等数量的工人后，按每人每天生产个数提高20%计算，如何安排甲、乙两车间工作的天数，使公司在完成该任务时支付的总工资最少？最少需要多少元？
【解答】解：（1）设乙车间每天能生成x个旅行包，则甲车间每天能生成2x个旅行包，
由题意得：，
解得x＝600，
经检验，x＝600是原方程的解，也符合题意，
∴2x＝1200，
∴甲车间每天能生成1200个，乙车间每天能生成600个；
（2）由题意知：甲车间共有1200÷60＝20（人），乙车间共有600÷40＝15（人），
设甲乙车间各被抽走a人，
根据题意得：（20﹣a）×60×（1+20%）+（15﹣a）×40×（1+20%）＝1200+600，
解得a＝3，
∴甲、乙每个车间各被抽走了3人；
（3）设甲车间工作m天，乙车间工作n天，
根据题意得：60×（1+20%）×（20﹣3）m+40×（1+20%）×（15﹣3）n＝21600，
整理得：17m+8n＝300，
∴m＝﹣n+，
设总费用为W元，则W＝3400m+1560n＝3400×（﹣n+）+1560n＝﹣40n+60000，
∵﹣40＜0，
∴W随n的增大而减少，
∵17m+8n＝300，
∴m为4的倍数，即m最小为4，
∴n最大值为29，
∴当n＝29时，总费用W最小值为﹣40×29+60000＝58840（元），
∴甲车间安排4天，乙车间安排29天，公司在完成该任务时支付的总工资最少，最少需要58840元．
24．（12分）如图，已知在正方形ABCD中，AB＝4，点P是边CD上一点（不与点C，D重合），联结AP交BD于点E，延长AP交∠BCD的外角角平分线于点F，联结DF．
（1）当CF＝2时，求△ADF的面积；（2）求证：AE＝EF；
（3）联结CE，当CE∥DF时，求CF的长．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD＝4，∠ADC＝∠DCB＝90°，
如图1，作FG⊥BC于点G，延长AD，GF延长线交于点H，
∴∠CGH＝∠DCG＝∠HDC＝90°，
∴四边形DCGH是矩形，
∴GH＝CD＝4，
∵CF是∠BCD的外角∠DCG的平分线，
∴∠GCF＝DCG＝45°，
∴△FCG是等腰直角三角形，
∵CF＝2，
∴CG＝FG＝CF＝2，
∴HF＝GH﹣FG＝2，
∴△ADF的面积＝AD•FH＝4×2＝4；
（2）证明：如图2，延长CF，AD交于点R，
∵CF是∠BCD的外角∠DCG的平分线，
∴∠DCR＝DCG＝45°，
∴△DCR是等腰直角三角形，
∴DC＝DR＝AD，
∴D是AR的中点，
∵∠ADB＝∠DCR＝45°，∴CR∥BD，
∴AE＝EF；
（3）解：如图3，
由（2）知：CR∥BD，
∵CE∥DF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴EP＝FP，DP＝CP＝2，EC＝DF，
∴AP＝＝＝2，
∵AE＝EF，EP＝FP，
∴AP＝3EP＝2，
∴EP＝，
∴AE＝EF＝2EP＝，
∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
∴AE＝CE＝DF＝，
设CG＝FG＝x，则CF＝x，
∴DH＝CG＝x，FH＝GH﹣FG＝4﹣x，
在Rt△DFH中，根据勾股定理得：
DH2+FH2＝DF2，
∴x2+（4﹣x）2＝（）2，
整理得9x2﹣36x+32＝0，
∴x1＝，x2＝，
∴CF＝x＝（不合题意舍去）或．
∴CF的长为．
25．（14分）已知长方形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），点A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上的动点，设PC＝m，
（1）已知点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，设D点横坐标为n，则D点纵坐标可用含n的代数式表示为 2n+6 ，此时若△APD是等腰直角三角形，求点D的坐标；
（2）直线y＝2x+b过点（3，0），请问在该直线上，是否存在第一象限的点D使△APD是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥y轴于F点，可得∠DEA＝∠AFP＝90°，
∴DE∥PF∥OC，
∵四边形ABCO是矩形，
∴AB∥OC，
∴AB∥PF，
∵△DAP为等腰直角三角形，
∴AD＝AP，∠DAP＝90°，
∴∠EAD+∠DAB＝90°，∠DAB+∠BAP＝90°，
∴∠EAD＝∠BAP，
∵AB∥PF，
∴∠BAP＝∠FPA，
∴∠EAD＝∠FPA，
∵在△ADE和△PAF中，
，
∴△ADE≌△PAF（AAS），
∴AE＝PF＝8，OE＝OA+AE＝14，
设点D的横坐标为n，∵点D在第一象限且是直线y＝2x+6上的一点，
∴D点纵坐标可用含n的代数式表示为2n+6，
∴14＝2n+6，得n＝4，
∴点D的坐标是（4，14）；
故答案为：2n+6，点D的坐标是（4，14）；
（2）存在点D，使△APD是等腰直角三角形，理由为：
∵直线y＝2x+b过点（3，0），
∴0＝2×3+b，解得：b＝﹣6，
∴直线解析式为y＝2x﹣6，
当∠ADP＝90°，AD＝PD时，如图，作DE⊥AB于E点，作DF⊥y轴于F点，
∴DE＝AE＝BE＝AB＝4，AF＝DE，
∵B的坐标为（8，6），
∴OF＝OA﹣AF＝6﹣4＝2，
∴D点坐标（4，2）；
当∠APD＝90°，AP＝PD时，如图，作PE⊥y轴于E点，作DF⊥EP于F点，
∵PC＝m，
同（1）可得△ADE≌△PAF（AAS），∴AE＝PF＝6﹣m，PE＝DF＝AB＝8，
则D点坐标为（8+6﹣m，m+8），
∵点D在直线y＝2x﹣6上，
∴m+8＝2（8+6﹣m）﹣6，解得m＝，
∴D点坐标（，）；
当∠ADP＝90°，AD＝PD时，如图，作DE⊥y轴于E点，作PF⊥ED于F点，
同理可求得D点坐标（，），
综上，符合条件的点D存在，坐标为（4，2）或（，）或（，）．