2024届东北三省四市教研联合体高考模拟（二）数学试题

这是一份2024届东北三省四市教研联合体高考模拟（二）数学试题，共21页。
注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案.非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题解出一元二次不等式，再取解集范围内的自然数，从而求得B集合的解集， 再求其与集合A的交集即可得出结果.
【详解】，
又，.
故选：B
2. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由复数运算和共轭复数的概念求出复数，再由复数的几何意义即可.
【详解】设，则．因为，所以，所以．
所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。3. 已知角的来这里 全站资源一元不到！终边与单位圆的交点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知，利用诱导公式运算求解.
【详解】因为角的终边与单位圆的交点，可知，
所以.
故选：B.
4. 根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得，依据的独立性检验，结论为（ ）参考值：
A. x与y不独立
B. x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C. x与y独立
D. x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
【答案】C
【解析】
【分析】利用独立性检验的基本思想即可得解.
【详解】零假设为：x与y独立，
由，依据的独立性检验，可得成立，
故可以认为x与y独立.
故选：C.0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6635
5. 函数在处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当时，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程.
【详解】因为，则，
当时，则，所以，
所以切点为，切线的斜率为，
所以切线方程，即.
故选：D
6. 等差数列中，，前项和为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，根据等差数列求和公式得到，由求出，即可得到通项公式，再由通项公式计算可得.
【详解】设等差数列的公差为，则，
所以，因为，
即，解得，
所以，
所以.
故选：B7. 已知函数的图象经过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得且，求出a，即可求解.
【详解】因为函数图象过原点，所以，
得，又该函数图象无限接近直线，且不与该直线相交，
所以，则，
所以.
故选：C
8. 已知正四棱锥的侧棱长为，且二面角的正切值为，则它的外接球表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设正方形中心为，取中点，连接、、，由正四棱锥的性质可知，，平面，则为二面角的平面角，设正方形的边长为，利用锐角三角函数求出，即可求出，，再设球心为，则球心在直线上，设球的半径为，利用勾股定理求出，最后再由球的表面积公式计算可得.
【详解】设正方形中心为，取中点，连接、、，
则，，平面，
所以为二面角的平面角，即，
设正方形的边长为，则，
又，，所以，即，解得（负值已舍去），
则，，设球心为，则球心在直线上，设球的半径为，
则，解得，
所以外接球的表面积.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是确定二面角的平面角，利用锐角三角函数求出底面边长与高，再由正四棱锥的性质确定球心在上.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 四名同学各投掷骰子次，分别记录骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可能出现点数的是（ ）
A. 平均数为，中位数为B. 众数为，中位数为
C. 平均数为，方差为D. 平均数为，方差为
【答案】BD
【解析】
【分析】推出A、C数据矛盾，利用特例说明B、D.
【详解】对于A，若平均数为，则点数和为，又中位数为，
则从小到大排列的前3个数不能大于2，即和不超过6，后2个数的和最大为12，显然不满足条件，
故不可能出现平均数为且中位数为的数据，故A错误；
对于B，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B正确；
对于C，若平均数为2，且出现点数6，则方差，所以当平均数为2，方差为时，一定不会出现点数6，所以C错误；
对于D，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为，
方差为，
所以可以出现点，所以D正确，
故选：BD
10. 抛物线的焦点到准线的距离为，过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，与抛物线分别交于点，和点，，则（ ）
A. 抛物线的准线方程是
B. 过抛物线的焦点的最短弦长为
C. 若弦的中点为，则直线的方程为
D. 四边形面积的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先表示出焦点坐标与准线方程，依题意求出，即可得到抛物线方程，从而判断A，根据焦点弦的性质判断B，利用点差法求出，即可判断C，设直线为，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，由焦点弦公式表示出，，再由及基本不等式计算面积最小值，即可判断D.
【详解】抛物线焦点，准线方程为，
依题意可得，则抛物线方程为，所以准线方程为，故A错误；
过抛物线的焦点且与轴垂直时弦长最短，最短弦长为，故B正确；
设，，则，，
所以，即，
又弦的中点为，所以，
所以，即，又弦过焦点，所以弦的方程为，即，故C正确；
依题意直线的斜率存在且不为，设直线为，
由，消去整理得，显然，
所以，所以，
同理可得，
所以
，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：BCD
11. 阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，截角四面体是阿基米德多面体其中的一种．如图所示，将棱长为3a的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a的截角四面体，则下列说法中正确的是（ ）
A. 点E到平面ABC的距离为
B. 直线DE与平面ABC所成角的正切值为2
C. 该截角四面体的表面积为
D. 该截角四面体存在内切球
【答案】AC
【解析】
【分析】如图，将该截角四面体补成正四面体.对于A：由平面∥平面可知点E到平面ABC的距离即为点S到平面ABC的距离，运算求解即可；对于B：由∥，可知直线DE与平面ABC所成角即为与平面所成角，运算求解即可；对于C：根据正三角的面积结合比例关系运算求解；对于D：假设存在内切球根据对称性可知该球心为正四面体的中心O，求点O到平面的距离即可判断.
【详解】如图，将该截角四面体补成正四面体，取底面的中心，连接，
可知平面，则，可得，
对于选项A：由题意可知：平面∥平面，
则点E到平面ABC的距离即为点S到平面ABC的距离，故A正确；
对于选项B：由题意可知：∥，
则直线DE与平面ABC所成角即为与平面所成角，
可得，
所以直线DE与平面ABC所成角的正切值为，故B错误；对于选项C：由题意可知：，
则，
所以该截角四面体的表面积为，故C正确；
对于选项D：若该截角四面体存在内切球，根据对称性可知该球心为正四面体的中心O，
可知，
因为，即，解得，
由选项A可知：点S到平面ABC的距离，
则点O到平面ABC的距离为，
所以该截角四面体不存在内切球，故D错误；
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将该截角四面体补成正四面体，结合正四面体的性质分析求解.
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分．
12 已知向量，，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量共线的坐标表示求出和，再利用向量数量积的坐标表示求解即可.
【详解】，即，，，
，，.
故答案为：.
13. 以双曲线上一点为圆心的圆与轴恰好相切于双曲线的右焦点，且与轴交于，两点．若为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是______．【答案】
【解析】
【分析】由题设可得，根据圆与坐标轴的位置关系及为等腰直角三角形得到关于和的齐次方程，即可求离心率.
【详解】
为双曲线上一点，不妨设在第一象限，，
与轴相切于双曲线的焦点，的横坐标为，
将代入得，，又，解得，
，的半径为，点到轴的距离为,
为等腰直角三角形，所以，
所以，即，
所以，解得，
，，即双曲线的离心率为.
故答案为：.
14. 已知函数满足：，则______．【答案】
【解析】
【分析】借助三角恒等变换公式可得，即可得解.
【详解】，
则，
则
.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，M是BC的中点，N是的中点，P是的中点．

（1）证明：平面；
（2）求点P到直线MN的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）建立如图空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，利用空间向量法证明即可；
（2）利用空间向量法即可求解点线距.
【小问1详解】
由题意知，平面，，而平面，
所以，在平面内过点A作y轴，使得 y轴，
建立如图空间直角坐标系，
则，得，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，所以，
所以，又不在平面内
即平面；
【小问2详解】
如图，连接，由（1）得，
则，，
所以点到直线的距离为.

16. 近日，市流感频发，主要以型流感为主，据疾控中心调查，全市患病率为5%．某单位为加强防治，通过验血筛查患型流感的员工．已知该单位共有5000名员工，专家建议随机地按（且为5000的正因数）人一组分组，然后将各组个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这个人全部阴性，其中每个人记作化验次；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就要对该组每个人再分别化验一次．设每个人平均化验次．
（1）若，求和均值；
（2）若按全市患病率估计，试比较与时哪一种情况下化验总次数更少.
（参考数据：，，）
【答案】（1）分布列见解析，
（2）时化验总次数更少
【解析】
【分析】（1）根据独立重复试验的概率计算公式、对立事件的概率计算公式求出的分布列即可；
（2）根据独立重复试验的概率计算公式、对立事件的概率计算公式求出的分布列和均值，比较当与时的大小即可.
小问1详解】
，如果混管血样呈阴性，则；
如果混管血样呈阳性，则，
的所有可能取值为，，
，，
的分布列为
；
【小问2详解】
如果混管血样呈阴性，则；如果混管血样呈阳性，则，
的所有可能取值为，，
，，
的分布列为
，
当时，，
当时，，
，
当时化验总次数更少.
17. 某校为激发学生对冰雪运动的兴趣，丰富学生体育课活动项目，设计在操场的一块扇形区域内浇筑矩形冰场.如图，矩形内接于扇形，且矩形一边落在扇形半径上，该扇形半径米，圆心角．矩形的一个顶点在扇形弧上运动，记.

（1）当时，求的面积；
（2）求当角取何值时，矩形冰场面积最大？并求出这个最大面积．
【答案】（1）
（2）当时，矩形的面积最大为
【解析】【分析】（1）先在中求出，再在中求出，根据差角的正弦公式求出，利用面积公式求解即可.
（2）在中用表示和，在中求出，则，将矩形的面积写成关于的三角函数的形式，转化为三角函数求最值即可求解.
【小问1详解】
在中，，，
，，
在中，，即，解得，
，
，
；
【小问2详解】
在中，，，
在中，，
所以，
所以，
设矩形的面积为，则
，
由，得，
所以当，即时，，
因此，当时，矩形的面积，最大面积为.
18. 如图，圆I的半径为4，圆心，G是圆I上任意一点，定点，线段GK的垂直平分线和半径IG相交于点H，当点G在圆上运动时，动点H运动轨迹为．
（1）求点H的轨迹的方程；
（2）设动直线与轨迹有且只有一个公共点P，且与直线相交于点Q，试探究：在x轴上是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）存在，且
【解析】
【分析】（1）借助垂直平分线的性质、圆的半径与椭圆定义即可得；
（2）联立曲线，消去y，借助可得与的关系，借助与可表示点坐标，结合圆上的点的性质可得，代入数据计算即可得.
【小问1详解】
连接，由题意可得，又，
故，即点到定点、的距离之和为，即点的轨迹为以、为焦点，为长轴长的椭圆，
即有，，则，即；
【小问2详解】
由，消去y并整理，得，
因为直线l：与椭圆有且只有一个公共点P，
所以，即，
所以，
此时，，
所以，由，得，
假设存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点，则，
又，，
所以，
整理，得，
所以，解得，
故存在定点，使得以PQ为直径的圆恒过点.
【点睛】方法点睛：求解直线或曲线过定点问题的方法指导：
（1）把直线或曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．
（2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式，则直线必过定点；若得到了直线方程的斜截式，则直线必过定点．
19. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数是第n层球数与的和，设各层球数构成一个数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：当时，
（3）若数列满足，对于，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）依题意可得，利用累加法计算可得；
（2）设，利用导数说明函数的单调性，即可得证；（3）由（2）令即可得到，从而得到，再利用错位相减法计算可得.
【小问1详解】
根据题意，，
则有，
当时，
，
又也满足，所以.
【小问2详解】
设，，
则，
所以在上单调递增，则，
即，即当时，.
【小问3详解】
由（2）可知当时，，
令，则，
所以，
所以，
令，
则，所以
，
所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是结合（2）的结论，令得到，从而得到.