福建省南平市2024届高三下学期第三次质量检测数学试题

这是一份福建省南平市2024届高三下学期第三次质量检测数学试题，共12页。试卷主要包含了对任意非零实数，当充分小时，，已知，则，六位评委给某选手的评分分别为，已知圆等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则（ ）
A.1B.C.D.2
2.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.已知向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
4.对任意非零实数，当充分小时，.如：，用这个方法计算的近似值为（ ）
5.已知，则（ ）
A.B.C.D.
6.关于的实系数二次不等式的解集为，若，，则的最小值为（ ）
A.B.C.2D.
7.在正四面体中，为棱的中点，过点的平面与平面平行，平面平面试卷源自 来这里 全站资源一元不到！ 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。，平面平面，则，所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
8.已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（ ）
A.B.
C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.六位评委给某选手的评分分别为：16，18，20，20，22，24.去掉最高分和最低分，所得新数据与原数据相比不变的是（ ）
A.极差B.众数C.平均数D.第25百分位数
10.已知圆：，直线：，则（ ）
A.直线过定点
B.圆被轴截得的弦长为
C.当时，圆上恰有2个点到直线距离等于4
D.直线被圆截得的弦长最短时，的方程为
11.已知函数及其导函数的定义域均为，记.满足，的图象关于直线对称，则（ ）
A.B.
C.为奇函数D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，则的子集个数为______.13.函数在区间上单调递增，且在区间上恰有两个极值点，则的取值范围是______.
14.在正四棱台中，，，且该正四棱台的每个顶点均在表面积为的球上，则平面截球所得截面的面积为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知函数，且图象在处的切线斜率为0.
（1）求的值；
（2）令，求的最小值.
16.（本小题满分15分）
建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低.假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏10个，其中5个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，2个由工匠丙烧制，甲、乙、丙三人烧制建盏的成品率依次为0.2，0.1，0.3.
（1）从这10个建盋中任取1个，求取出的建或是成品的概率；
（2）每件建蓋成品的收入为1000元，每件废品的收入为0元.乙烧制的这3件建盋的总收入为元，求的分布列及数学期望.
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，平面，，，.，分别为棱，上的动点（与端点不重合），且.
（1）求证：平面；
（2）若，设平面与平面所成的角为，求的最大值.
18.（本小题满分17分）
已知，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是4，记点的轨迹为曲线（1）求的方程；
（2）不过，的直线与交于，两点，直线与交于点，点在直线上，证明：直线过定点.
19.（本小题满分17分）
若数列共有项，对任意都有（为常数，且），则称数列是关于的一个积对称数列.已知数列是关于的一个积对称数列.
（1）若，，，求的值；
（2）已知数列是公差为的等差数列，，若，，求和的值；
（3）若数列是各项均为正整数的单调递增数列，求证：.
南平市2024届高中毕业班第三次质量检测
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.A 2.A 3.D 4.C 5.A 6.C 7.B 8.D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.BC 10.ACD 11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.413.14.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
【解析】（1），
依题意得，
所以.
（2）由（1）知函数，
的定义域为，
，则，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上递减，在上递增，
.
16.（本小题满分15分）
【解析】（1）设事件为“取得的建盏是成品”，事件，，分别表示“取得的建盏是由甲、乙、丙烧制的”.
则，，.
又，，，
所以
（2）设这3件中成品的件数为.由题可知.
因为，的可能取值为0，1000，2000，3000
所以，
，
，
，
所以的分布列为
所以元.
17.（本小题满分15分）
【解法一】0
1000
2000
3000
（1）因，，，
所以，，即
又平面所以
因
所以平面
（2）设，如图所示，建立空间直角坐标系.
令，，设，
则有，
即，解得
同理可得
设平面的法向量为，
由
令，则，.
得平面的一个法向量为
又由（1）可知是平面的一个法向量，则有
当且仅当，即时取“=”
又，所以的最大值
【解法二】
（1）同解法一
（2）不妨设，由，，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，
则根据题意可得：
设平面的一个法向量为，
取，，
于是，
当且仅当，即时取“=”
又，所以的最大值.
18.（本小题满分17分）
【解法一】
（1）设，则，
由已知，有，
故的方程为
（2）设，
若直线的斜率为0，则直线与的交点在轴上，与已知矛盾，
故设直线的方程为：
由得，，
，则，
由点在直线上，设，则，
所以，又，则，
即，
，
，
，
，，所以（舍去），或，
所以的方程为，过定点
【解法二】
（1）同解法一；
（2）设，，
若直线的斜率为0，则直线与的交点在轴上，与已知矛盾，
故设直线的方程为：
由得，，
，则，，
所以，
即，
又直线的方程为，
直线的方程为，
联立直线与直线的方程，可得，
又点在直线上，故，
所以
，故，直线的方程为，过定点
19.（本小题满分17分）
【解法一】（1）依题意，所以
（2）由知对任意都有
即，
所以，
所以
所以
因，所以
即
（3）由已知，，…，，
所以
所以
即
【解法二】
（1）同解法一；（2）当时由得
所以.
令，
则，
因，所以，
即，
当时都有
所以，成立.
（3）同解法一.