江西省宜春市上高二中2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题

这是一份江西省宜春市上高二中2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．若随机变量的概率分布如下：
则当时，实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知的展开式的二项式系数和为64，则其展开式的常数项为（ ）
A．240B．C．729D．3840
3．已知在空间直角坐标系中，直线经过，两点，则点到直线的距离是（ ）
A．B．C．D．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过点F且倾斜角为120°的直线与抛物线C交于A，B两点，其中点A在第一象限，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．长时间玩手机可能影响视力，据调查，某学校学生中，大约有的学生每天玩手机超过，这些人近视率约为，其余学生的近视率约为，现从该校任意调查一名学生，他近视的概率大约是（ ）
A．B．C．D．
6．某校1000名学生参加数学期末考试，每名学生的成绩服从，成绩不低于120分为优秀，依此估计优秀的学生人数约为（ ）
附：若，则．
A．23B．46C．159D．317
7．已知点是直线上的一点，过点P作圆的两条切线，切点分别是点A，B，则四边形PACB的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，经过的直线交双曲线的左支于，，来这里 全站资源一元不到！试卷源自 每日更新，汇集全国各地小初高最新试卷。的内切圆的圆心为，的角平分线为交于M，且，若，则该双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．2
二、多选题
9．为调研加工零件效率，调研员通过试验获得加工零件个数与所用时间（单位：）的5组数据为：，根据以上数据可得经验回归方程为：，则（ ）
A．
B．回归直线必过点
C．加工60个零件的时间大约为
D．若去掉，剩下4组数据的经验回归方程会有变化
10．甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有3个红球，3个白球和3个黑球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，再从乙箱中随机取出一球；分别以和表示从甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件，以B表示从乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．事件B与事件相互独立D．
11．已知椭圆上有一点P，分别为左､右焦点，，的面积为S，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则B．使得为直角三角形的点共6个
C．若为钝角三角形，则D．的最大值是9
三、填空题
12．已知离散型随机变量服从两点分布，且，则随机变量的期望为______．
13．2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”．某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是______．14．如图是一块高尔顿板的示意图．在一块木板上钉着若干排相互平行但错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将小球从顶端放入，小球下落过程中，每次碰到小木钉后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率为，向右下落的概率为，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为，，，，，则小球落入______号格子的概率最大．图片仅供参考
四、解答题
15．甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸X（单位：cm）及个数Y如下表：
由表中数据得Y关于X的线性回归方程为，其中合格零件尺寸为．
（1）求的值；
（2）是否有的把握认为加工零件的质量与甲、乙机床有关？
附：，．
16．某校举行知识竞赛，规则如下：选手每两人一组，同一组的两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，比赛进行到一方比另一方多2分为止，且多得2分的一方胜出．现甲乙两人分在同一组，两人都参与每一次抢题，每次抢到的概率都为．若甲、乙正确回答每道题的概率分别为和，每道题回答是否正确相互独立．
（1）求第1题答完甲得1分的概率；
（2）求第2题答完比赛结束的概率；
（3）假设准备的问题数足够多，求甲最终胜出的概率．
17．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，PC＝CD＝2，E为AB的中点，底面四边形ABCD满足∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3．零件尺寸X
1.01
1.02
1.03
1.04
1.05
零件个数Y
甲
6
14
17
17
6
乙
m
8
8
8
22
0.10
0.05
0.01
k
2.706
3.841
6.635
（1）证明：DE⊥平面PAC；
（2）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值；
（3）求平面PED与平面PEB夹角的余弦值．
18．2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作、9:40~10:00记作，10:00~10:20记作，10:20~10:40记作，例如：10点04分，记作时刻64．
（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；
（3）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．
附：若随机变量T服从正态分布，则，，．
19．动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：，试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，切点分别为．（i）证明：直线过定点；
（ii）点关于轴的对称点为，连接交轴于点，设的面积分别为，求的最大值．
2025届高二年级第六次数学月考试卷参考答案
一、单选题
1．C 2．D 3．C 4．B 5．C 6．C 7．B 8．A
二、多选题
9．BC 10．ABD 11．AC
三、填空题
12．1 13．36 14．7
四、解答题
15．解：（1）依题意，得，，
由，得，解得，所以的值为14；
（2）由于合格零件尺寸为，
所以甲、乙机床加工的合格与不合格零件的2×2列联表为：
，
因为，所以有的把握认为加工零件的质量与甲、乙机床有关．
16．解：（1）记“答完1题甲得1分”为事件A，则，第1题答完甲得1分的概率为．
（2）第2题答完比赛结束，甲得了2分，或乙得了2分．
记“答完1题乙得1分为事件B，”则．
记“第2题答完比赛结束”为事件C，．
（3）记甲最终胜出的概率为．答完2题，
有四种情况：甲得2分，乙得2分，甲先得1分乙后得1分，乙先得1分甲后得1分，机床加工零件的质量
合格零件数
不合格零件数
合计
甲
48
12
60
乙
24
36
60
合计
72
48
120
其中甲乙各得1分，与初始状态（即比赛前）的情况相同，
从而，
即，解得，即甲最终胜出的概率为．
17．解：（1）证明：因为平面，且平面，，
所以，
以为坐标原点，以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
可得，
则，所以，
又因为，且平面，所以平面．
（2）解：设是平面的一个法向量，
由，则，
取，可得，所以，
设直线与平面所成的角为，且，
所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
（3）解：设平面的法向量为，
由，则，
取，可得，所以，
由（2）得平面的法向量为，
所以，
由图形可得二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．
18．解：（1）解：这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：
，即10∶04；
（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20，60这一区间内的车辆数，
即，
所以X的可能的取值为0，1，2，3，4．
所以，，，
，．
所以X的分布列为：
（3）由（1）得，
所以，
估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在46，100通过的车辆数，
由，得
，
所以估计在之间通过的车辆数为．
19．解：（1）设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为，，
因为与，都内切，
所以，，
所以，X
0
1
2
3
4
P
又，，故，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设的方程为：，
则，，所以，
故的方程为：．
（2）（i）证明：设，，，
由题意中的性质可得，切线方程为，
切线方程为，
因为两条切线都经过点，所以，，
故直线的方程为：，显然当时，，
故直线经过定点．
（ii）设直线的方程为：，
联立，整理得，
由韦达定理得，
又，所以直线的方程为，
令得，
，
所以直线经过定点，又，
所以，
所以，当且仅当时，即时取等号．