2021-2022学年河南省洛阳市嵩县八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2021-2022学年河南省洛阳市嵩县八年级上学期期末数学试题及答案，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列统计图中，最宜反映气温变化的是（ ）
A．折线统计图B．条形统计图
C．扇形统计图D．频数分布直方图
2．下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4
B．1的平方根是1
C．算术平方根等于它本身的数只有0
D．＝﹣
3．等腰三角形的一个内角是70°，则它底角的度数是（ ）
A．70°B．70°或40°C．70°或55°D．55°
4．下列计算中错误的是（ ）
A．4a5b3c2÷（﹣2a2bc）2＝ab
B．（a+1）（a﹣1）（a2+1）＝a4﹣1
C．4x2y•（﹣y）÷4x2y2＝﹣
D．25×（x2﹣x+1）＝x2﹣x+1
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为（ ）
A．1mB．2mC．3mD．4m
7．已知点P在△ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，△ABC中，∠BAC＝130°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，则∠EAF的度数为（ ）
A．65°B．60°C．70°D．80°
9．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，则下列结论错误的是（ ）
A．∠CED＝30°B．∠BDE＝120°C．DE＝BDD．DE＝AB
10．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）…如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1B．2020C．2021D．2022
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．用反证法证明“已知，a⊥b，c⊥b，求证：a∥c”，第一步应先假设 ．
12．若（a﹣3）2+|b﹣7|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 ．
13．（x2﹣mx+6）（4x﹣2）的积中不含x的二次项，则m的值是 ．
14．如图所示是小明一天24小时的作息时间分配的扇形统计图，那么他的阅读时间是 小时．
15．如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝8，CF＝2，连结DF，则图中阴影部分面积为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（1）若xm＝2，xn＝3．求xm+2n的值；
（2）先化简，再求值：[（x﹣3y）2﹣x（2x﹣4y）+x2]÷（﹣2y），其中x＝1，y＝2．
17．如图，AB∥CD，CD交BF于E．
（1）尺规作图：以点D为顶点，射线DC为一边，在DC的右侧作∠CDG，使∠CDG＝∠B．（要求：不写作法，但保留作图痕迹）
（2）证明：DG∥BF．
18．如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m，点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A'处时，若A'B⊥AB，求A'到BD的距离．
19．2021年10月10日是辛亥革命110周年纪念日．为进一步弘扬辛亥革命中体现的中华民族的伟大革命精神，社区开展了系列纪念活动．如图，有一块四边形空地，社区计划将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得AB＝AD＝26m，BC＝16m，CD＝12m，且BD＝20m．
（1）试说明∠BCD＝90°；
（2）求四边形展区（阴影部分）的面积．
20．阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）的形式，如x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．
材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3．
21．学校针对安阳市创建文明城市开展征文比赛（每位同学限一篇），每篇作品的成绩记为x分（60≤x≤100），学校从中随机抽取部分学生的成绩进行统计，并将统计结果绘制成不完整的统计图表．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共抽取 篇征文；
（2）填空：a＝ ，b＝ ；
（3）请补全频数分布直方图；
（4）若全校共2400名同学参赛，请估计不低于80分的学生人数．
22．如图，点D是等边△ABC内一点，E是△ABC外的一点，∠CDB＝130°，∠BDA＝α，△BDA≌△CEA．
（1）求证：△AED是等边三角形；
（2）若△CDE是直角三角形，求α的度数．
23．如图①，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AE、BD，连接DA并延长交BC于点F，AE＝CE．
（1）求证：△DBC≌△EAC；
（2）如图②，作△ADE的边AD上的高线EG，交BA的延长线于点P，求证：PB＝PE．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列统计图中，最宜反映气温变化的是（ ）
A．折线统计图B．条形统计图
C．扇形统计图D．频数分布直方图
【分析】根据统计图的特点进行分析可得：扇形统计图表示的是部分在总体中所占的百分比，但一般不能直接从图中得到具体的数据；折线统计图表示的是事物的变化情况；条形统计图能清楚地表示出每个项目的具体数目．
解：可以直观地反映出数据变化的趋势的统计图是折线统计图，
故选：A．
2．下列结论正确的是（ ）
A．64的立方根是±4
B．1的平方根是1
C．算术平方根等于它本身的数只有0
D．＝﹣
【分析】直接根据立方根，平方根，算术平方根的概念解答即可．
解：A.64的立方根是4，不正确，不符合题意；
B.1的平方根为±1，不正确，不符合题意；
C．算术平方根等于它本身的数只有1和0，不正确，不符合题意；
D．＝﹣3，﹣＝﹣3，故＝﹣，正确，符合题意．
故选：D．
3．等腰三角形的一个内角是70°，则它底角的度数是（ ）
A．70°B．70°或40°C．70°或55°D．55°
【分析】由等腰三角形的一个内角为70°，可分别从70°的角为底角与70°的角为顶角去分析求解，即可求得答案．
解：∵等腰三角形的一个内角为70°，
若这个角为顶角，则底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°；
若这个角为底角，则另一个底角也为70°，
∴其一个底角的度数是55°或70°．
故选：C．
4．下列计算中错误的是（ ）
A．4a5b3c2÷（﹣2a2bc）2＝ab
B．（a+1）（a﹣1）（a2+1）＝a4﹣1
C．4x2y•（﹣y）÷4x2y2＝﹣
D．25×（x2﹣x+1）＝x2﹣x+1
【分析】根据单项式除以单项式和积的乘方可以判断A，根据平方差公式可以判断B，根据单项式乘单项式和单项式除以单项式可以判断C，根据乘法分配律可以判断D．
解：4a5b3c2÷（﹣2a2bc）2＝4a5b3c2÷4a4b2c2＝ab，故选项A不符合题意；
（a+1）（a﹣1）（a2+1）＝（a2﹣1）（a2+1）＝a4﹣1，故选项B不符合题意；
4x2y•（﹣y）÷4x2y2＝﹣，故选项C不符合题意；
25×（x2﹣x+1）＝x2﹣x+25，故选项D错误；
故选：D．
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝9，DE＝2，AB＝5，则AC的长是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．
解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5，
∵△ABC的面积为9，
∴△ADC的面积为9﹣5＝4，
∴AC×DF＝4，
∴AC×2＝4，
∴AC＝4，
故选：C．
6．如图，已知钓鱼竿AC的长为10m，露在水面上的鱼线BC长为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'为8m，则BB'的长为（ ）
A．1mB．2mC．3mD．4m
【分析】根据勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′＝AB﹣AB′即可得出答案．
解：∵AC＝10m，BC＝6m，
∴AB＝（m），
∵AC′＝10m，B′C′＝8m，
∴AB′＝（m），
∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）；
故选：B．
7．已知点P在△ABC的边BC上，且满足PA＝PC，则下列确定点P位置的尺规作图，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
解：∵PA＝PC，
∴点P在线段AC的垂直平分线上，
故选：B．
8．如图，△ABC中，∠BAC＝130°，AB，AC的垂直平分线分别交BC于点E，F，与AB，AC分别交于点D，G，则∠EAF的度数为（ ）
A．65°B．60°C．70°D．80°
【分析】由DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，可得EB＝EA，FA＝FC，又由等腰三角形的性质与三角形内角和定理，可求得∠BAE+∠FAC度数，继而求得答案．
解：∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴EB＝EA，FA＝FC，
∴∠BAE＝∠B，∠FAC＝∠C，
∵△ABC中，∠BAC＝130°，
∴∠B+∠C＝50°，
∴∠BAE+∠FAC＝50°，
∴∠EAF＝∠BAC﹣（∠BAE+∠FAC）＝80°；
故选：D．
9．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，则下列结论错误的是（ ）
A．∠CED＝30°B．∠BDE＝120°C．DE＝BDD．DE＝AB
【分析】由等边三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，再根据角之间的关系求得∠DBC＝∠CED＝30°，可得DB＝DE，∠BDE＝120°．
【解答】证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠CED．
又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，
∴∠CDE＝∠CED＝∠BCD＝30°，
∴∠DBC＝∠DEC＝30°，故选项A不符合题意，
∴DB＝DE，∠BDE＝120°，故选项B，C都不符合题意，
故选：D．
10．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”（如图1）；再分别以这两个正方形的边为斜边，向外各自作一个直角三角形，然后分别以这两个直角三角形的直角边为边，向外各作一个正方形，称为第二次“生长”（如图2）…如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1B．2020C．2021D．2022
【分析】利用勾股定理得SB+SC＝1，则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，找到规律即可解答．
解：如图，
由题意得：SA＝1，
由勾股定理得：SB+SC＝1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4，
∴“生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．用反证法证明“已知，a⊥b，c⊥b，求证：a∥c”，第一步应先假设 a与c不平行（或a与c相交） ．
【分析】根据反证法的第一步是假设结论不成立进而解答即可．
解：原命题“已知，a⊥b，c⊥b，求证：a∥c”，
用反证法时应假设结论不成立，
即假设a与c不平行（或a与c相交）．
故答案为：a与c不平行（或a与c相交）．
12．若（a﹣3）2+|b﹣7|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为 17 ．
【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a、b的值，根据等腰三角形的判定，可得三角形的腰，根据三角形的周长公式，可得答案．
解：由（a﹣3）2+|7﹣b|＝0，得
a﹣3＝0，7﹣b＝0，
解得a＝3，b＝7，
则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为7，底边长为3．
周长为7+7+3＝17，
故答案为17．
13．（x2﹣mx+6）（4x﹣2）的积中不含x的二次项，则m的值是 ．
【分析】将原式进行展开，然后将含x的二次项的系数之和为零即可求出答案．
解：原式＝4x3﹣2x2﹣4mx2+2mx+24x﹣12
＝4x3﹣（2+4m）x2+2mx+24x﹣12，
令2+4m＝0，
∴m＝﹣，
故答案为：．
14．如图所示是小明一天24小时的作息时间分配的扇形统计图，那么他的阅读时间是 1 小时．
【分析】先求“阅读”所占的圆心角，再用×24，即可得出结果．
解：360﹣（60+30+120+135）＝15，
×24＝1（小时），
故答案为：1．
15．如图，已知CB⊥AD，AE⊥CD，垂足分别为B，E，AE、BC相交于点F，若AB＝BC＝8，CF＝2，连结DF，则图中阴影部分面积为 6 ．
【分析】先利用等角的余角相等得到∠A＝∠C，则可根据“ASA”判断△ABF≌△CBD，所以BF＝BD＝6，然后根据三角形面积公式计算图中阴影部分面积．
解：∵CB⊥AD，AE⊥CD，
∴∠ABF＝∠CBD＝90°，∠FEC＝90°，
∵∠AFB＝∠EFC，
∴∠A＝∠C，
在△ABF和△CBD中，
，
∴△ABF≌△CBD（ASA），
∴BF＝BD，
∵BF＝BC﹣CF＝8﹣2＝6，
∴BD＝6，
∴图中阴影部分面积＝•FC•BD＝×2×6＝6．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（1）若xm＝2，xn＝3．求xm+2n的值；
（2）先化简，再求值：[（x﹣3y）2﹣x（2x﹣4y）+x2]÷（﹣2y），其中x＝1，y＝2．
【分析】（1）利用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则将原式进行变形，然后代入求值；
（2）利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算括号内的乘方和乘法，然后合并同类项进行化简，最后算括号外面的除法，再代入求值即可．
解：（1）原式＝xm⋅x2n＝xm⋅（xn）2，
∵xm＝2，xn＝3，
∴原式＝2×32＝2×9＝18，
即xm+2n的值为18；
（2）原式＝（x2﹣6xy+9y2﹣2x2+4xy+x2）÷（﹣2y）
＝（﹣2xy+9y2）÷（﹣2y）
＝﹣2xy÷（﹣2y）+9y2÷（﹣2y）
＝，
当x＝1，y＝2时，
原式＝＝1﹣9＝﹣8．
17．如图，AB∥CD，CD交BF于E．
（1）尺规作图：以点D为顶点，射线DC为一边，在DC的右侧作∠CDG，使∠CDG＝∠B．（要求：不写作法，但保留作图痕迹）
（2）证明：DG∥BF．
【分析】（1）直接利用作一角等于已知角的方法作∠CDG＝∠B，进而得出答案；
（2）利用平行线的性质得出∠B＝∠CEF，进而得出答案．
【解答】（1）解：如图所示，∠CDG即为所求；
（2）证明：∵AB//CD
∴∠B＝∠CEF，
∵∠B＝∠D，
∴∠CEF＝∠D，
∴DG//BF．
18．如图②，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝2.5m．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝1.5m，点A到地面的距离AE＝1.5m，当他从A处摆动到A'处时，若A'B⊥AB，求A'到BD的距离．
【分析】作A'F⊥BD，垂足为F，根据全等三角形的判定和性质解答即可．
解：如图2，作A'F⊥BD，垂足为F．
∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠A'FB＝90°；
在Rt△A'FB中，∠1+∠3＝90°；
又∵A'B⊥AB，
∴∠1+∠2＝90°，
∴∠2＝∠3；
在△ACB和△BFA'中，
，
∴△ACB≌△BFA'（AAS）；
∴A'F＝BC
∵AC∥DE且CD⊥AC，AE⊥DE，
∴CD＝AE＝1.5；
∴BC＝BD﹣CD＝2.5﹣1.5＝1（m），
∴A'F＝1（m），
即A'到BD的距离是1m．
19．2021年10月10日是辛亥革命110周年纪念日．为进一步弘扬辛亥革命中体现的中华民族的伟大革命精神，社区开展了系列纪念活动．如图，有一块四边形空地，社区计划将其布置成展区，陈列有关辛亥革命的历史图片．现测得AB＝AD＝26m，BC＝16m，CD＝12m，且BD＝20m．
（1）试说明∠BCD＝90°；
（2）求四边形展区（阴影部分）的面积．
【分析】（1）连接BD，由勾股定理的逆定理证得△BCD是直角三角形，即可求得∠BCD＝90°；
（2）过A作AE⊥BD于E，由等腰三角形的性质求得BE，再由勾股定理求得AE，由三角形的面积公式可求得S△ABD和S△BCD，即可求得结论．
解：（1）∵△BCD中，BC＝16m，CD＝12m，BD＝20m，
∴BC2+CD2＝162+122＝400，BD2＝202＝400，
∴BC2+CD2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形，∠BCD＝90°；
（2）过点A作AE⊥BD于点E，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AD，
∴BE＝DE＝BD＝10（m），
在Rt△ABE中，AB＝26m，
∴AE＝（m），
∴，
∵，
∴．
20．阅读下列材料：
材料1：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）的形式，如x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．
材料2：因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2．
上述解题方法用到“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常见的一种思想方法．请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2﹣6x+8分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题：分解因式：（x﹣y）2+4（x﹣y）+3．
【分析】（1）根据材料1解答；
（2）将“x﹣y”看成一个整体，令x﹣y＝A，分解因式，然后再还原即可．
解：（1）∵8＝（﹣2）×（﹣4），﹣6＝（﹣2）+（﹣4），
∴原式＝（x﹣2）（x﹣4）；
（2）将“x﹣y”看成一个整体，令x﹣y＝A，
则原式＝A2+4A+3
＝（A+3）（A+1），
再将“A”还原，得：
原式＝（x﹣y+3）（x﹣y+1）．
21．学校针对安阳市创建文明城市开展征文比赛（每位同学限一篇），每篇作品的成绩记为x分（60≤x≤100），学校从中随机抽取部分学生的成绩进行统计，并将统计结果绘制成不完整的统计图表．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次共抽取 100 篇征文；
（2）填空：a＝ 40 ，b＝ 0.3 ；
（3）请补全频数分布直方图；
（4）若全校共2400名同学参赛，请估计不低于80分的学生人数．
【分析】（1）根据成绩60≤x＜70的频数和频率，可以求得这次随机抽取的部分学生人数；
（2）根据（1）中的结果和频数分布表中的数据，可以计算出a、b的值；
（3）根据a的值可以将频数分布直方图补充完整；
（4）根据题意和频数分布直方图中的数据，可以估计不低于80分的学生人数．
解：（1）这次随机抽取的部分学生有8÷0.08＝100（人），
故答案为：100；
（2）a＝100×0.4＝40，b＝30÷100＝0.3，
故答案为：40，0.3；
（3）由（2）知，a＝40，成绩80≤x＜90的频数为40，
补全的频数分布直方图如图所示；
（4）2400×（0.22+0.4）＝1488（名），
答：估计不低于80分的学生有1488名．
22．如图，点D是等边△ABC内一点，E是△ABC外的一点，∠CDB＝130°，∠BDA＝α，△BDA≌△CEA．
（1）求证：△AED是等边三角形；
（2）若△CDE是直角三角形，求α的度数．
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到AE＝AD，∠CAE＝∠BAD，根据等边三角形的概念证明结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠CEA＝∠BDA＝α，用α表示出∠CED，∠CDE，根据直角三角形的概念列式计算即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∵△BDA≌△CEA，
∴AE＝AD，∠CAE＝∠BAD，
∴∠CAE+∠DAC＝∠BAD+∠DAC＝60°，
∴△AED是等边三角形；
（2）解：∵△BDA≌△CEA，
∴∠CEA＝∠BDA＝α，
∵△AED是等边三角形，
∴∠AED＝∠ADE＝60°，
∴∠CED＝α﹣60°，∠CDE＝360°﹣130°﹣α﹣60°＝170°﹣α，
∴∠DCE＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝180°﹣（α﹣60°）﹣（170°﹣α）＝70°，
当∠CED＝90°时，α﹣60°＝90°，
解得：α＝150°，
当∠CDE＝90°时，170°﹣α＝90°，
解得：α＝80°，
综上所述：△CDE是直角三角形时，α的度数为150°或80°．
23．如图①，△ABC和△CDE是等边三角形，连接AE、BD，连接DA并延长交BC于点F，AE＝CE．
（1）求证：△DBC≌△EAC；
（2）如图②，作△ADE的边AD上的高线EG，交BA的延长线于点P，求证：PB＝PE．
【分析】（1）由等边三角形的性质得AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，则∠BCD＝∠ACE，然后由SAS证明△DBC≌△EAC即可；
（2）连接BE，证AD垂直平分BC，再证EG∥BC，则∠PEB＝∠CBE，然后证△ABE≌△CBE（SSS），得∠ABE＝∠CBE，则∠PEB＝∠ABE，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，
即∠BCD＝∠ACE，
在△DBC和△EAC中，
，
∴△DBC≌△EAC（SAS）；
（2）连接BE，如图②所示：
∵△DBC≌△EAC，
∴BD＝AE，
∵AE＝CE，CE＝CD，
∴BD＝CD，
又∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，AD平分BC，
∵EG⊥AD，
∴EG∥BC，
∴∠PEB＝∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SSS），
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠PEB＝∠ABE，
∴PB＝PE．
组别
分数段
频数
频率
甲
90≤x≤100
22
0.22
乙
80≤x＜90
a
0.4
丙
70≤x＜80
30
b
丁
60≤x＜70
8
0.08
组别
分数段
频数
频率
甲
90≤x≤100
22
0.22
乙
80≤x＜90
a
0.4
丙
70≤x＜80
30
b
丁
60≤x＜70
8
0.08