2021-2022学年湖南省娄底市双峰县八年级上学期期末数学试题及答案

这是一份2021-2022学年湖南省娄底市双峰县八年级上学期期末数学试题及答案，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，证明题，应用题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．最小刻度为0.2nm（1nm＝10﹣9m）的钻石标尺，可以测量的距离小到不足头发丝直径的十万分之一，这也是目前世界上刻度最小的标尺，用科学记数法表示这一最小刻度为（ ）
A．2×10﹣8mB．2×10﹣11mC．2×10﹣9mD．2×10﹣10m
2．下列各数中：①，②3.1415926，③，④，⑤，⑥π﹣3.1415，⑦3.010010001…，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．根据分式的基本性质填空：，括号内应填（ ）
A．x2﹣1B．x﹣1
C．x+1D．2（x+1）（x﹣1）
4．下列运算：①（a2b）•（ab2）＝a4b3；②（﹣mn3）2＝m2n6；③a5÷a﹣2＝a3；④，其中结果正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．若代数式有意义，则x必须满足条件（ ）
A．x≥0B．x＞﹣1
C．x≥﹣1D．x为任意实数
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．有公共点的两个角是对顶角
D．两直线平行，同旁内角互补
7．若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（ ）
A．﹣6B．﹣9C．9D．6
8．已知a、b均为有理数，且a+b＝（﹣）2，则a、b的值为（ ）
A．2，﹣5B．5，2C．5，﹣2D．﹣2，5
9．方程的解是（ ）
A．B．x＝3C．D．无解
10．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．的算术平方根是 ．
12．在实数范围内分解因式3x2﹣16＝ ．
13．不等式组的解集为x＜3a+2，则a的取值范围是 ．
14．如果等腰三角形的两边长分别为3cm、6cm，那么这个等腰三角形的周长为 ．
15．若x表示的整数部分，y表示它的小数部分，则（+x）y的值为 ．
16．已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB、AC和CB的延长线于点D、E、F．则：∠F+∠FEC＝ ∠A．
17．已知，如图，∠C＝∠D，则再添加一个条件 （只添加一个条件）可证出△ABC≌△BAD．
18．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，则①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③∠AOB＝60°；④DN＝AM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有 ．
三、计算题（本大题共3个小题，每小题8分，共12分）
19．①计算：﹣14﹣|﹣1|+2×（﹣1.414）0+（﹣）﹣1+；
②先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a是整数，且﹣3＜a＜3．
20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
四、证明题（本大题共2个小题，每小题5分，共10分）
21．已知，如图，AB＝AC，点E、F分别是AC，AB的中点，求证：BE＝CF．
22．已知，如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．求证：
（1）AE∥FB；
（2）DE＝CF．
五、应用题（本大题7分）
23．“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？
六、解答题（本大题共2个小题，第24题7分，第25题10分，共17分）
24．在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还需要将其进一步化简：﹣1．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
也可以用如下方法化简：﹣1．
（1）请用两种不同的方法化简；
（2）化简：+++…+．
25．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD、CD．
（1）判断BD与AC的位置关系和数量关系，并证明；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明；
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填在下表中相应题号下的方框里）
1．最小刻度为0.2nm（1nm＝10﹣9m）的钻石标尺，可以测量的距离小到不足头发丝直径的十万分之一，这也是目前世界上刻度最小的标尺，用科学记数法表示这一最小刻度为（ ）
A．2×10﹣8mB．2×10﹣11mC．2×10﹣9mD．2×10﹣10m
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：0.2nm＝0.2×10﹣9m＝2×10﹣10m．
故选：D．
2．下列各数中：①，②3.1415926，③，④，⑤，⑥π﹣3.1415，⑦3.010010001…，无理数的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】根据无理数的定义逐个判断即可．
解：无理数有，π﹣3.1415，3.010010001…，共3个，
故选：B．
3．根据分式的基本性质填空：，括号内应填（ ）
A．x2﹣1B．x﹣1
C．x+1D．2（x+1）（x﹣1）
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
解：＝＝，
故选：B．
4．下列运算：①（a2b）•（ab2）＝a4b3；②（﹣mn3）2＝m2n6；③a5÷a﹣2＝a3；④，其中结果正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用单项式乘以单项式、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项计算法则分别进行计算即可．
解：①（a2b）•（ab2）＝a3b3，故原题计算错误；
②（﹣mn3）2＝m2n6，故原题计算正确；
③a5÷a﹣2＝a7，故原题计算错误；
④﹣xy2＝﹣xy2，故原题计算错误；
计算正确的有1个，
故选：A．
5．若代数式有意义，则x必须满足条件（ ）
A．x≥0B．x＞﹣1
C．x≥﹣1D．x为任意实数
【分析】根据二次根式（a≥0）进行计算即可．
解：当x为任意实数，x2+1≥0，
∴若代数式有意义，则x必须满足条件：x为任意实数，
故选：D．
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．有公共点的两个角是对顶角
D．两直线平行，同旁内角互补
【分析】根据有理数的乘法法则、平行线的性质、对顶角的概念判断即可．
解：A、如果数a，b的积ab＞0，那么a，b都是正数或a，b都是负数，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、有公共点的两个角不一定是对顶角，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同旁内角互补，故本选项说法是真命题，符合题意；
故选：D．
7．若|a+3|+（b﹣2）2＝0，则ab的值为（ ）
A．﹣6B．﹣9C．9D．6
【分析】根据非负数的性质列式求出ab的值，然后再代入代数式进行计算．
解：根据题意得，a+3＝0，b﹣2＝0，
解得a＝﹣3，b＝2，
∴ab＝（﹣3）2＝9．
故选：C．
8．已知a、b均为有理数，且a+b＝（﹣）2，则a、b的值为（ ）
A．2，﹣5B．5，2C．5，﹣2D．﹣2，5
【分析】直接利用完全平方公式计算，进而得出a，b的值．
解：∵a+b＝（﹣）2＝5﹣2，
∴a＝5，b＝﹣2，
故选：C．
9．方程的解是（ ）
A．B．x＝3C．D．无解
【分析】按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．
解：，
﹣＝，
3（3x﹣1）﹣2＝1，
解得：x＝，
检验：当x＝时，2（3x﹣1）≠0，
∴x＝是原方程的根，
故选：C．
10．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故选：C．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．的算术平方根是 2 ．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后再利用算术平方根的定义即可求出结果．
解：∵＝4，
∴的算术平方根是＝2．
故答案为：2．
12．在实数范围内分解因式3x2﹣16＝ （x+4）（x﹣4） ．
【分析】先变形，再用平方差公式分解．
解：原式＝﹣42
＝
故答案为：（x+4）（x﹣4）．
13．不等式组的解集为x＜3a+2，则a的取值范围是 a≤﹣3 ．
【分析】根据口诀“同小取小”可知不等式组的解集，解这个不等式即可．
解：解这个不等式组为x＜3a+2，
则3a+2≤a﹣4，
解这个不等式得a≤﹣3
故答案a≤﹣3．
14．如果等腰三角形的两边长分别为3cm、6cm，那么这个等腰三角形的周长为 15cm ．
【分析】分3cm是腰长与底边长两种情况讨论求解．
解：①3cm是腰长时，三角形的三边分别为3cm、3cm、6cm，
∵3+3＝6，
∴不能组成三角形，
②3cm是底边时，三角形的三边分别为3cm、6cm、6cm，
能组成三角形，
周长＝3+6+6＝15cm．
综上所述，这个等腰三角形的周长为15cm．
故答案为：15cm．
15．若x表示的整数部分，y表示它的小数部分，则（+x）y的值为 1 ．
【分析】对值的范围初步估算，由3＜＜4，可知的整数部分为3，小数部分为﹣3，代值运算即可．
解：∵3＜＜4，
∴的整数部分是3，小数部分为﹣3，
即x＝3，y＝，
∴（+x）y＝（+3）×（﹣3）＝1．
故答案为：1．
16．已知：如图，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB、AC和CB的延长线于点D、E、F．则：∠F+∠FEC＝ 2 ∠A．
【分析】利用三角形外角的性质可得∠F+∠FEC＝∠F+∠A+∠ADE，∠BDF+∠F＝∠ABC，可得∠F+∠FEC＝∠A+∠ABC，从而得出答案．
解：∵∠FEC＝∠A+∠ADE，∠F+∠BDF＝∠ABC，
∴∠F+∠FEC＝∠F+∠A+∠ADE，
∵∠ADE＝∠BDF，∠BDF+∠F＝∠ABC，
∴∠F+∠FEC＝∠A+∠ABC，
∵∠A＝∠ABC，
∴∠F+∠FEC＝2∠A，
故答案为：2．
17．已知，如图，∠C＝∠D，则再添加一个条件 ∠ABC＝∠BAD（或∠ABC＝∠ABD或AE＝BE） （只添加一个条件）可证出△ABC≌△BAD．
【分析】由于∠C＝∠D，加上AB为公共边，则可根据全等三角形的判定方法添加条件．
解：∵∠C＝∠D，
而AB＝BA，
∴当添加∠ABC＝∠BAD（或∠ABC＝∠ABD）时，根据“AAS”可判定△ABC≌△BAD；
当添加AE＝BE时，根据“AAS”可判定△ABC≌△BAD．
故答案为：∠ABC＝∠BAD（或∠ABC＝∠ABD或AE＝BE）．
18．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于M，BD交CE于N，交AE于O，则①DB＝AE；②∠AMC＝∠DNC；③∠AOB＝60°；④DN＝AM；⑤△CMN是等边三角形．其中，正确的有 ①②④⑤ ．
【分析】易证△ACE≌△DCB，可得①正确；即可求得∠AOB＝120°，可得③错误；再证明△ACM≌△DCN，可得②④正确和CM＝CN，即可证明⑤正确；即可解题．
解：∵∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠DCE＝60°，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴∠BDC＝∠EAC，DB＝AE，①正确；
∠CBD＝∠AEC，
∵∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠DBC，
∴∠AOB＝180°﹣∠AEC﹣∠OAB＝120°，③错误；
在△ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴AM＝DN，④正确；
∠AMC＝∠DNC，②正确；
CM＝CN，
∵∠MCN＝60°，
∴△CMN是等边三角形，⑤正确；
故答案为：①②④⑤．
三、计算题（本大题共3个小题，每小题8分，共12分）
19．①计算：﹣14﹣|﹣1|+2×（﹣1.414）0+（﹣）﹣1+；
②先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a是整数，且﹣3＜a＜3．
【分析】①化简有理数的乘方，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，分母有理化计算，然后先算乘法，再算加减，有小括号先算小括号里面的；
②将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，然后根据分式有意义的条件选取合适的a的值，从而代入求值．
解：①原式＝﹣1﹣（﹣1）+2×1+（﹣2）+
＝﹣1﹣+1+2﹣2+
＝﹣；
②原式＝（﹣）•
＝•
＝•
＝，
∵a﹣1≠0，（a+2）（a﹣2）≠0，a≠0，
∴a≠1且a≠±2且a≠0，
又∵a是整数，且﹣3＜a＜3，
∴a＝﹣1，
∴原式＝＝﹣1．
20．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：解不等式2x+5＞﹣1，得：x＞﹣3，
解不等式x﹣≥，得：x≤﹣1，
则不等式组的解集为﹣3＜x≤﹣1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
四、证明题（本大题共2个小题，每小题5分，共10分）
21．已知，如图，AB＝AC，点E、F分别是AC，AB的中点，求证：BE＝CF．
【分析】由“SAS”可证△AEB≌△AFC，可得BE＝CF．
【解答】证明：∵点E，F分别为AC，AB的中点，
∴AE＝AC，AF＝AB，
∵AB＝AC，
∴AF＝AE，
在△AEB和△AFC中，
，
∴△AEB≌△AFC（SAS），
∴BE＝CF．
22．已知，如图，点A、D、C、B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，CE＝DF．求证：
（1）AE∥FB；
（2）DE＝CF．
【分析】（1）可证明△ACE≌△BDF，得出∠A＝∠B，即可得出AE∥BF；
（2）根据SAS求证△ADE≌△BCF，再得出DE＝CF即可．
【解答】证明：（1）∵AD＝BC，∴AC＝BD，
在△ACE和△BDF中，，
∴△ACE≌△BDF（SSS）
∴∠A＝∠B，
∴AE∥BF；
（2）在△ADE和△BCF中，
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴DE＝CF．
五、应用题（本大题7分）
23．“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？
（2）若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？
【分析】（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需（x+50）元，根据数量＝总价÷单价结合购买A品牌垃圾桶数量是购买B品牌垃圾桶数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买（50﹣m）个A品牌垃圾桶，根据总价＝单价×数量结合总费用不超过6000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
解：（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需（x+50）元，
依题意，得：＝2×，
解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，且符合题意，
∴x+50＝150．
答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元．
（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买（50﹣m）个A品牌垃圾桶，
依题意，得：100×0.9（50﹣m）+150×（1+20%）m≤6000，
解得：m≤16．
因为m是正整数，所以m最大值是16．
答：该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶．
六、解答题（本大题共2个小题，第24题7分，第25题10分，共17分）
24．在进行二次根式的化简时，我们有时会碰上如这样的式子，其实我们还需要将其进一步化简：﹣1．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
也可以用如下方法化简：﹣1．
（1）请用两种不同的方法化简；
（2）化简：+++…+．
【分析】（1）①把分子分母都乘以（﹣），再利用平方差公式计算；
②利用平方差公式和二次根式的性质把2化为（+）（﹣），然后约分即可；
（2）先分母有理化，然后合并即可．
解：（1）①；
②；
（2）解：原式＝
＝
＝．
25．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一点，且DE＝CE，连接BD、CD．
（1）判断BD与AC的位置关系和数量关系，并证明；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明；
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数
【分析】（1）先判断出∠BED＝∠AEC＝90°，再判定△DBE≌△CAE，再判断∠ADF+∠CAE＝90°，
（2）先判断出△BED≌△AEC，再得到∠BFC＝∠ACD+∠CDE+∠BDE＝∠ACD+∠CDE+∠ACE＝90°，
（3）先判断出∠BED＝∠AEC，再判断出△BED≌△AEC，最后计算即可．
解：（1）BD与AC的位置关系是：BD⊥AC，数量关系是BD＝AC．
理由如下：
延长BD交AC于点F．
∵AE⊥BC于E，
∴∠BED＝∠AEC＝90°．
∵AE＝BE，DE＝CE，
∴△DBE≌△CAE，
∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，∠BDE＝∠ACE．
∵∠BDE＝∠ADF，
∴∠ADF＝∠ACE．
∵∠ACE+∠CAE＝90°，
∴∠ADF+∠CAE＝90°，
∴BD⊥AC．
（2）∵∠AEB＝∠DEC＝90°，
∴∠AEB+∠AED＝∠DEC+∠AED，
即∠BED＝∠AEC．
∵AE＝BE，DE＝CE，
∴△BED≌△AEC，
∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，∠DBE＝∠CAE．
∵∠BFC＝∠ACD+∠CDE+∠BDE＝∠ACD+∠CDE+∠ACE＝90°，
∴BD⊥AC．
（3）∵△ABE和△DEC是等边三角形，
∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
∴△BED≌△AEC，
∴∠BED＝∠ACE，
∴∠DFC＝180°﹣（∠BDE+∠EDC+∠DCF）＝60°
∴BD与AC的夹角度数为60°．