初中数学1.2.4 绝对值课时练习

这是一份初中数学1.2.4 绝对值课时练习，文件包含2024年数学七年级人教版-第3讲绝对值的化简知识讲练教师版docx、2024年数学七年级人教版-第3讲绝对值的化简知识讲练学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
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化简绝对值的核心是判断绝对值里面整体的正负，如果是正，直接去掉绝对值；如果是负，则需要变
为相反数。
利用取值范围化简绝对值本质还是利用未知数的取值范围，首先判断出绝对值里面代数式的正负，从 而去掉绝对值.对于有些难度比较大的题目，可以利用特值法，在取值范围内取一个合适的值，代入判断正负即可.
（2022秋•宜春期末）若有理数a，b满足ab≠0，则的值为 0或2或﹣2 ．
【思路点拨】分情况讨论a与b的正负，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【完整解答】解：当a＞0，b＞0时，m＝1+1＝2；
当a＞0，b＜0时，m＝1﹣1＝0；
当a＜0，b＞0时，m＝﹣1+1＝0；
当a＜0，b＜0时，m＝﹣1﹣1＝﹣2，
则m的值为0或2或﹣2．
故答案为：0或2或﹣2．
【考点提示】此题考查了有理数的除法，乘法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（2022秋•洛南县期中）根据绝对值的概念，我们在一些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：|6+7|＝6+7；|6﹣7|＝7﹣6；|7﹣6|＝7﹣6；|﹣6﹣7|＝6+7．请根据以上规律计算：．
【思路点拨】首先根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简即可．
【完整解答】解：
＝1﹣+…+﹣
＝1﹣
＝．
【考点提示】此题考查了绝对值，有理数的加减混合运算，做题时，要注意多观察各项之间的关系．
（2021秋•广丰区期末）对于式子|x﹣1|+|x﹣5|在下列范围内讨论它的结果．
（1）当x＜1时；
（2）当1≤x≤5时；
（3）当x＞5时．
【思路点拨】根据x的取值范围确定x﹣1，x﹣5的符号，再根据绝对值的意义进行化简即可．
【完整解答】解：（1）当x＜1时，x﹣1＜0，x﹣5＜0，
∴|x﹣1|+|x﹣5|
＝1﹣x+5﹣x
＝6﹣2x；
（2）当1≤x≤5时，x﹣1＞0，x﹣5＜0，
∴|x﹣1|+|x﹣5|
＝x﹣1+5﹣x
＝4；
（3）当x＞5时，x﹣1＞0，x﹣5＞0，
∴|x﹣1|+|x﹣5|
＝x﹣1+x﹣5
＝2x﹣6．
【考点提示】本题考查绝对值，理解绝对值的意义是正确解答的前提，根据x的取值范围确定x﹣1，x﹣5的符号是解决问题的关键．
（2022秋•南安市期中）已知|x|+4＝12，|y|+3＝5：
（1）求x，y的取值；
（2）当x﹣y＜0，求2x+y的值．
【思路点拨】（1）先变形得到|x|＝8，|y|＝2，然后根据绝对值的意义得到x和y的值；
（2）利用x﹣y＜0确定x、y的两组值，然后计算对应的2x+y的值．
【完整解答】解：（1）∵|x|+4＝12，|y|+3＝5，
∴|x|＝8，|y|＝2，
∴x＝±8；y＝±2；
（2）∵x﹣y＜0，
∴x＝﹣8，y＝2或x＝﹣8，y＝﹣2，
当x＝﹣8，y＝2时，2x+y＝2×（﹣8）+2＝﹣14；
当x＝﹣8，y＝﹣2时，2x+y＝2×（﹣8）+（﹣2）＝﹣18；
即2x+y的值为﹣14或﹣18．
【考点提示】本题考查了绝对值：当a＞0，|a|＝a；当a＝0，|a|＝0；当a＜0，|a|＝﹣a．
（2021秋•浉河区校级期末）已知a，b有理数在数轴上的位置如图所示，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．a＞bB．|a|＜|b|C．ab＞0D．﹣a＞b
【思路点拨】根据数轴上的点表示的数以及大小关系、有理数的乘法法则、绝对值等知识逐一分析即可．
【完整解答】由数轴可知：a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
A．由a＜0，b＞0，得a＜b，所以A错误，不符合题意；
B．由数轴可知|a|＞|b|，所以B错误，不符合题意；
C．由a＜0，b＞0，得ab＜0，所以C错误，不符合题意；
D．由a＜﹣1，得﹣a＞1，又因为b＜1，所以﹣a＞b，所以D正确，符合题意．
故选：D．
【考点提示】本题主要数轴上的点表示的数以及大小关系、有理数的乘法和绝对值，熟练掌握数轴上的点表示的数以及大小关系、有理数的乘法法则、绝对值是解决本题的关键．
（2021秋•椒江区期末）如图，a，b是数轴上的两个有理数，下面说法中正确的是（ ）
A．a＞bB．b＞aC．|a|＞|b|D．|b|＞|a|
【思路点拨】根据数轴的性质，一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，即可得a＜b，即可判断A选项不符合题意，因为图中没有给出原点的位置，所以当a＜b＜0时，|a|＞|b|，即可判定C选项不符合题意，所以当为当0＜a＜b时，|a|＜|b|，即可判定D选项不符合题意．
【完整解答】解：根据题意可得，b＞a．
A．所以A选项不正确，故A选项不符合题意；
B．所以B选项正确，故B选项符合题意；
C．因为当a＜b＜0时，|a|＞|b|，所以C选项不正确，故C选项不符合题意；
D．因为当0＜a＜b时，|a|＜|b|，所以D选项不正确，故D选项不符合题意；
故选：B．
【考点提示】本题主要考查了数轴的应用，熟练掌握数轴的性质进行判定是解决本题的关键．
（2021秋•仁寿县期末）已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：|2a+b|﹣|2c﹣b|﹣|c﹣a|＝ ﹣a﹣3c ．
【思路点拨】根据a，b，c在数轴上的位置可得a＜0，b＜0，c＞0，且|2a|＜|b|，即可得出2a+b＜0，2c﹣b＞0，c﹣a＞0，再根据绝对值的性质|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0）进行化简即可得出答案．
【完整解答】解：由图可知，
∵a＜0，b＜0，c＞0，且|2a|＜|b|，
∴2a+b＜0，2c﹣b＞0，c﹣a＞0，
∴|2a+b|﹣|2c﹣b|﹣|c﹣a|
＝﹣（2a+b）﹣（2c﹣b）﹣（c﹣a）
＝﹣2a﹣b﹣2c+b﹣c+a
＝﹣a﹣3c．
故答案为：﹣a﹣3c．
【考点提示】本题主要考查数轴的应用及绝对值的性质，熟练掌握数轴的应用及绝对值的性质进行计算是解决本题的关键．
（2022秋•郫都区校级期末）有理数a、b、c在数轴上的位置如图：
（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c ＜ 0，a+b ＜ 0，c﹣a ＞ 0．
（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．
【思路点拨】（1）根据数轴判断出a、b、c的正负情况，然后分别判断即可；
（2）去掉绝对值号，然后合并同类项即可．
【完整解答】解：（1）由图可知，a＜0，b＞0，c＞0且|b|＜|a|＜|c|，
所以，b﹣c＜0，a+b＜0，c﹣a＞0；
故答案为：＜，＜，＞；
（2）|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|
＝（c﹣b）+（﹣a﹣b）﹣（c﹣a）
＝c﹣b﹣a﹣b﹣c+a
＝﹣2b．
【考点提示】本题考查了绝对值的性质，数轴，熟记性质并准确识图观察出a、b、c的正负情况是解题的关键．
（2021秋•萧山区期中）已知﹣2≤x≤1，则化简代数式|x+2|﹣2|x﹣1|+|3﹣x|的结果是（ ）
A．4x﹣3B．2x+3C．﹣2x+7D．﹣2x+3
【思路点拨】根据x的取值范围，利用绝对值的性质化简即可解答．
【完整解答】解：∵﹣2≤x≤1，
∴x+2≥0，x﹣1≤0，3﹣x＞0，
∴|x+2|﹣2|x﹣1|+2|3﹣x|＝x+2+2x﹣2+3﹣x＝2x+3，
故选：B．
【考点提示】本题考查了绝对值，解决本题的关键是熟记绝对值的性质．
（2020秋•九龙坡区校级期末）已知﹣1≤x≤2，则化简代数式3|x﹣2|﹣|x+1|的结果是（ ）
A．﹣4x+5B．4x+5C．4x﹣5D．﹣4x﹣5
【思路点拨】由于﹣1≤x≤2，根据不等式性质可得：x﹣2≤0，x+1≥0，再依据绝对值性质化简即可．
【完整解答】解：∵﹣1≤x≤2，
∴x﹣2≤0，x+1≥0，
∴3|x﹣2|﹣|x+1|＝3（2﹣x）﹣（x+1）＝﹣4x+5；
故选：A．
【考点提示】本题考查了不等式性质，绝对值定义和性质，整数加减运算等，熟练掌握并运用绝对值性质化简是解题关键．
（2022秋•电白区期中）已知x＞3，化简：|3﹣x|＝ x﹣3 ．
【思路点拨】根据绝对值的定义即可得到结论．
【完整解答】解：∵x＞3，
∴3﹣x＜0，
∴|3﹣x|＝x﹣3，
故答案为：x﹣3．
【考点提示】本题考查了绝对值的定义，熟记绝对值的定义是解题的关键．
（2022秋•晋江市期末）若abcd≠0，则＝ 5或1
或﹣3 ．
【思路点拨】对a、b、c、d中正数的个数进行讨论，即可求解．
【完整解答】解：当a、b、c、d中没有负数时，都是正数，则原式＝1+1+1+1+1＝5；
当a、b、c、d中只有一个负数时，不妨设a是负数，则原式＝﹣1+1+1+1﹣1＝1；
当a、b、c、d中有2个负数时，不妨设a，b是负数，则原式＝﹣1﹣1+1+1+1＝1；
当a、b、c、d中有3个负数时，不妨a，b，c是负数，则原式＝﹣1﹣1﹣1+1﹣1＝﹣3；
当a、b、c、d都是负数时，则原式＝﹣1﹣1﹣1﹣1+1＝﹣3，
综上所述：代数式的值是5或1或﹣3．
故答案为：5或1或﹣3．
【考点提示】本题考查了有理数的除法法则和乘法法则，正确进行讨论是关键．
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将无条件化简转变成有条件化简
常见变形如下：
（2022秋•东海县期中）式子|x﹣1|+2取最小值时，x等于（ ）
A．0B．1C．2D．3
【思路点拨】根据绝对值非负数的性质解答即可．
【完整解答】解：∵|x﹣1|≥0，
∴当|x﹣1|＝0时，|x﹣1|+2取最小值，
∴x﹣1＝0，
解得x＝1．
故选：B．
【考点提示】本题考查了绝对值非负数的性质，是基础题，比较简单．
（2021秋•裕华区校级期末）当x＝ 2 时，|x﹣2|+3最小，最小值是 3 ．
【思路点拨】根据绝对值非负数的性质解答即可．
【完整解答】解：x﹣2＝0，即x＝2时，
|x﹣2|+3最小，最小值是3．
故答案为：2；3．
【考点提示】本题考查了绝对值非负数的性质，掌握绝对值非负数的性质是关键．
（2021秋•富拉尔基区校级期中）若|a﹣4|+|b+5|＝0，则a﹣b＝ 9 ．
【思路点拨】本题可根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0”解出a、b的值，再代入所求代数式即可．
【完整解答】解：依题意得：a﹣4＝0，b+5＝0，
∴a＝4，b＝﹣5．
a﹣b＝4+5＝9．
【考点提示】本题考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：
（1）绝对值；
（2）偶次方；
（3）二次根式（算术平方根）．
当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
（2022秋•彭山区校级月考）（1）已知|a+2|+|b﹣1|＝0，则a+b的值是 ﹣1 ．
（2）当a＝ 1 时，|1﹣a|+2会有最小值，且最小值是 2 ．
（3）当x＝ 时，5﹣|2x﹣3|有最大值．
【思路点拨】（1）根据绝对值的非负性解决此题．
（2）根据绝对值的非负性解决此题．
（3）根据绝对值的非负性解决此题．
【完整解答】解：（1）∵|a+2|≥0，|b﹣1|≥0，
∴当|a+2|+|b﹣1|＝0，则a+2＝0，b﹣1＝0．
∴a＝﹣2，b＝1．
∴a+b＝﹣2+1＝﹣1．
故答案为：﹣1．
（2）∵|1﹣a|≥0，
∴|1﹣a|+2≥2．
∴当1﹣a＝0，即a＝1，此时|1﹣a|+2取得最小值2．
故答案为：1，2．
（3）∵|2x﹣3|≥0，
∴﹣|2x﹣3|≤0．
∴5+（﹣|2x﹣3|）＝5﹣|2x﹣3|≤5．
∴当2x﹣3＝0，即x＝时，5﹣|2x﹣3|取得最大值5．
故答案为：．
【考点提示】本题主要考查绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解决本题的关键．
一．选择题
1．（2022秋•平桥区期中）若|m|＝m，则m的值不可能是（ ）
A．2022B．1C．0D．﹣1
解：∵|m|＝m，
∴m≥0，
∴m的值不可能是﹣1．
故选：D．
2．（2021秋•八步区期末）如果|x﹣3|+|y+1|＝0，那么x﹣y等于（ ）
A．﹣4B．4C．2D．﹣2
解：由题意得，x﹣3＝0，y+1＝0，
解得x＝3，y＝﹣1，
所以，x﹣y＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4．
故选：B．
3．（2022秋•方城县月考）设实数a、b、c满足a＜b＜c（ac＜0），且|c|＜|b|＜|a|，则|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|的最小值是（ ）
A．B．c﹣aC．c+aD．﹣c﹣a
解：∵ac＜0，
∴a，c异号，
∵a＜b＜c，
∴a＜0，c＞0，
∵|c|＜|b|＜|a|，
∴a＜b＜﹣c＜0＜c．
∵|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|是表示数x的点到a，b，﹣c三点的距离之和，
∴当x在a与﹣c之间时，这个距离之和最小，
即a≤x≤﹣c时，|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|取得最小值，最小值为a与﹣c之间的距离，
∴|x﹣a|+|x﹣b|+|x+c|的最小值是﹣c﹣a，
故选：D．
4．（2020秋•仁寿县校级期末）下列说法正确的是（ ）
①已知a＞0，b＜0，则；
②若|a+4|＝﹣4﹣a，则化简|b+3|﹣|a﹣4|＝a﹣b﹣7；
③如果定义{a，b}＝，当ab＜0，a+b＞0，|a|＞|b|时，则{a，b}的值为a+b．
A．①②B．①③C．②③D．①②③
解：①∵a＞0，b＜0，
∴|a|＝a，|b|＝﹣b，ab＜0，
∴|ab|＝﹣ab，
∴，，，
∴，故①正确，符合题意；
②∵|a+4|＝﹣4﹣a，|b﹣3|＝b﹣3，
∴a+4≤0，b﹣3≥0，
∴a≤﹣4，b≥3，
∴b+3＞0，a﹣4＜0，
∴|b+3|﹣|a﹣4|＝b+3﹣（4﹣a）＝a+b﹣1，故②错误，不符合题意；
③∵ab＜0，a+b＞0，|a|＞|b|，
∴a＞0＞b，
∴{a，b}＝a+b，故③正确，符合题意；
∴①③正确，
故选：B．
5．（2022秋•巴东县校级月考）设abc≠0，且a+b+c＝0，则+++的值可能是（ ）
A．0B．±1C．±2D．0或±2
解：∵abc≠0，且a+b+c＝0，
∴a、b与c中可能有1个字母小于0，也可能有2个字母小于0．
当a、b与c中有1个字母小于0，如a＜0，则b＞0，c＞0，
∴+++＝﹣1+1+1﹣1＝0．
当a、b与c中有2个字母小于0，如a＜0，b＜0，则c＞0，
∴+++＝﹣1﹣1+1+1＝0．
综上：+++＝0．
故选：A．
6．（2021秋•城厢区期末）若a＜0，则2a+5|a|等于（ ）
A．3aB．﹣3aC．7aD．﹣7a
解：∵a＜0，
∴|a|＝﹣a，
∴原式＝2a﹣5a＝﹣3a，
故选：B．
二．填空题
7．（2023春•道里区期末）如果|x﹣3|＝3﹣x，则x的范围是 x≤3 ．
解：∵|x﹣3|＝3﹣x，
∴x﹣3≤0，
解得x≤3，
故答案为：x≤3．
8．（2022秋•金东区期中）已知有理数a，b，c满足+，则＝ ﹣1 ．
解：根据绝对值的意义，知：一个非零数的绝对值除以这个数，等于1或﹣1．
又+，则其中必有两个1和一个﹣1，即a，b，c中两正一负．
则＝﹣1．
9．（2022秋•辉县市期中）若|a﹣|+|b+1|＝0，则a+b＝ ．
解：∵，
∴a﹣＝0，a＝，
b+1＝0，b＝﹣1，
∴a+b＝﹣1＝﹣．
故答案为：﹣．
10．（2021秋•绵竹市期末）代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是 2021 ．
解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|，
由绝对值的定义可知：|x+1009|代表x到﹣1009的距离；|x+506|代表x到﹣506的距离；|x﹣1012|代表x到1012的距离；
结合数轴可知：当x在﹣1009与1012之间，且x＝﹣506时，距离之和最小，
∴最小值＝1012﹣（﹣1009）＝2021，
故答案为：2021．
11．（2022春•杜尔伯特县期中）若|x﹣3|与|2y+3|互为相反数，则x+y＝ ．
解：∵|x﹣3|与|2y+3|互为相反数，
∴|x﹣3|+|2y+3|＝0，
∴x﹣3＝0，2y+3＝0，
解得x＝3，y＝﹣，
所以，x+y＝3+（﹣）＝．
故答案为：．
12．（2020秋•饶平县校级期中）当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ﹣1≤x≤2 ，最小值是 3 ．
解：由数形结合得，
若|x+1|+|x﹣2|取最小值，那么表示x的点在﹣1和2之间的线段上，
所以﹣1≤x≤2，最小值是3．
故答案为：﹣1≤x≤2，3．
13．（2014秋•巴南区期末）已知a、b、c的位置如图：则化简|﹣a|﹣|c﹣b|﹣|a﹣c|＝ b﹣2c ．
解：|﹣a|﹣|c﹣b|﹣|a﹣c|
＝﹣a﹣（c﹣b）+a﹣c
＝b﹣2c
故答案为：b﹣2c．
三．解答题
14．（2022秋•冷水滩区月考）已知|x﹣3|+|y+2|＝0，求x，y，3x﹣y的值．
解：∵|x﹣3|+|y+2|＝0，|x﹣3|≥0，|y+2|≥0，
∴x﹣3＝0，y+2＝0，
解得x＝3，y＝﹣2，
∴3x﹣y＝9﹣（﹣2）＝11，
答：x＝3，y＝﹣2，3x﹣y＝11．
15．（2022秋•泗水县校级月考）已知m，n满足|m﹣2|+|n﹣3|＝0，求2m+n的值．
解：∵|m﹣2|+|n﹣3|＝0，而|m﹣2|≥0，|n﹣3|≥0，
∴|m﹣2|＝0，|n﹣3|＝0
∴m﹣2＝0，n﹣3＝0，
解得m＝2，n＝3，
∴2m+n＝4+3＝7，
答：2m+n的值为7．
16．（2021秋•宁远县校级月考）若|x﹣2|+|y+2|＝0，求x+y的值．
解：由题意，得：x﹣2＝0，y+2＝0，
∴x＝2，y＝﹣2．
∴x+y＝2﹣2＝0．
17．（2017秋•兴庆区校级期中）a、b所表示的有理数如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣b|
解：∵从数轴可知：b＜0＜a，
∴a﹣b＞0，a+b＜0，
∴|a+b|﹣|a﹣b|＝﹣a﹣b﹣a+b＝﹣2a．
18．（2016秋•青羊区校级期中）a、b所表示的有理数如图所示，化简|a+b|﹣|a﹣b|﹣2（b﹣a）．
解：∵从数轴可知：b＜0＜a，|b|＞|a|，
∴a﹣b＞0，a+b＜0，
∴|a+b|﹣|a﹣b|﹣2（b﹣a）＝﹣a﹣b﹣a+b﹣2b+2a＝﹣2b．
19．（2021秋•南昌县期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题：
（1）当a＝5时，求的值．
（2）当a＝﹣2时，求的值．
（3）若有理数a不等于零，求的值．
（4）若有理数a、b均不等于零，试求的值．
解：（1）当a＝5时，＝1；
（2）当a＝﹣2时，＝﹣1；
（3）若有理数a不等于零，当a＞0时，＝1，当a＜0时，＝﹣1；
（4）若有理数a、b均不等于零，当a，b是同正数，＝2，
当a，b是同负数，＝﹣2，
当a，b是异号，＝0．
20．（2017秋•宛城区期中）（1）【问题发现】
数学小组遇到这样一个问题：若a，b均不为零，求x＝的值．
小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b的正负作出讨论，又注意到a，b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．”
解：①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x＝+＝1+1＝2；
②当两个字母a，b中有1个正，1个负时，无论谁正谁负，x都等于0；
③当两个字母a，b中有0个正，2个负时，x＝+＝﹣1﹣1＝﹣2；
综上，当a，b均不为零，求x的值为﹣2，0，2．
（2）【拓展探究】
若a，b，c均不为零，求x＝+﹣的值．
（3）【问题解决】
若a，b，c均不为零，且a+b+c＝0，直接写出代数式++的值．
解：（2）①当a，b，c都为正数时：x＝+﹣＝1+1﹣1＝1．
②当a，b为正，c为负时：x＝+﹣＝1+1+1＝3．
当a，c为正，b为负时：x＝+﹣＝1﹣1﹣1＝﹣1．
当b，c为正，a为负时：x＝+﹣＝﹣1+1﹣1＝﹣1．
③当a，b为负，c为正时：x＝+﹣＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．
当a，c为负，b为正时：x＝+﹣＝﹣1+1+1＝1．
当b，c为负，a为正时：x＝+﹣＝1﹣1+1＝1．
④当a，b，c都为负数时：x＝+﹣＝﹣1﹣1+1＝﹣1．
综上所述x＝+﹣的值为1或3或﹣3或﹣1．
（3）∵a，b，c均不为零，且a+b+c＝0，
∴a，b，c为两正一负或两负一正．
∴①当a，b，c为两正一负时：++＝﹣﹣﹣＝﹣1﹣1+1＝﹣1．
②当a，b，c为两负一正时：++＝﹣﹣﹣＝1+1﹣1＝1．