高中数学5.2.1 等差数列第1课时导学案

这是一份高中数学5.2.1 等差数列第1课时导学案，共8页。


考察下面的问题：
第23届到第31届奥运会举行的年份依次为1984，1988，1992，1996，2000，2004，2008，2012，2016．如果1年期储蓄的月利率为1.65‰，那么将10 000元分别存1个月、2个月、3个月……12个月，所得的本利和依次为10 000＋16.5，10 000＋16.5×2，…，10 000＋16.5×12．上面这两个数列有什么共同的特点？
知识点1 等差数列的概念
一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差．
拓展：等差数列定义的理解
(1)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不是等差数列．
1．下列数列中不是等差数列的为( )
A．6，6，6，6，6 B．－2，－1，0，1，2
C．5，8，11，14D．0，1，3，6，10
D [A中给出的是常数列，是等差数列，公差为0；
B中给出的数列是等差数列，公差为1；
C中给出的数列是等差数列，公差为3；
D中给出的数列第2项减去第1项等于1，第3项减去第2项等于2，故此数列不是等差数列．]
知识点2 等差数列的通项公式及其推广
若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d．该式可推广为an＝am＋(n－m)d(其中n，m∈N＋)．
等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d是什么函数模型？
[提示] d≠0时，一次函数；d＝0时，常数函数．
拓展：等差数列与一次函数的异同点
2．已知等差数列{an}中，首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝________．
6－2n [∵a1＝4，d＝－2，
∴an＝4＋(n－1)×(－2)＝6－2n．]
知识点3 等差数列的单调性
等差数列{an}中，若公差d>0，则数列{an}为递增数列；若公差d<0，则数列{an}为递减数列；若公差d＝0，则数列{an}为常数列，不增也不减．
3．已知点(1，5)，(2，3)是等差数列{an}图像上的两点，则数列{an}为( )
A．递增数列 B．递减数列
C．常数列D．无法确定
B [等差数列{an}的图像所在直线的斜率k＝eq \f(5－3,1－2)＝－2<0，故数列{an}是递减数列．]
类型1 等差数列的判定
通项确定的判定
【例1】 已知数列{an}的通项公式如下，分别判断数列{an}是否为等差数列：
(1)an＝4－2n；
(2)an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1，n＝1，,n－1，n≥2；))
(3)an＝n2＋n．
[解] (1)∵an＝4－2n，∴an＋1＝4－2(n＋1)＝2－2n．
∴an＋1－an＝(2－2n)－(4－2n)＝－2．
故数列{an}是等差数列．
(2)由通项公式可知，当n≥3时，显然an－an－1＝1，即数列从第3项开始，每一项与前一项的差是同一个常数．但a2－a1＝0，a3－a2＝1，即a2－a1≠a3－a2，因此数列{an}不是等差数列．
(3)∵an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，故数列{an}不是等差数列．
已知递推关系的判定
【例2】 已知数列{an}满足a1＝4，an＝4－eq \f(4,an－1)(n＞1)，记bn＝eq \f(1,an－2)．求证：数列{bn}是等差数列．
[证明] 因为bn＋1＝eq \f(1,an＋1－2)＝eq \f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(4,an)))－2)＝eq \f(an,2an－2)，
所以bn＋1－bn＝eq \f(an,2an－2)－eq \f(1,an－2)＝eq \f(an－2,2an－2)＝eq \f(1,2)，为常数(n∈N*)．又b1＝eq \f(1,a1－2)＝eq \f(1,2)，
所以数列{bn}是首项为eq \f(1,2)，公差为eq \f(1,2)的等差数列．
等差数列的判定方法
(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列；
(2)通项公式法：an＝kn＋b(k，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．但证明一个数列是等差数列，要用定义法．
[跟进训练]
1．数列{an}的通项公式an＝4－3n，则此数列( )
A．是公差为4的等差数列
B．是公差为3的等差数列
C．是公差为－3的等差数列
D．是首项为4的等差数列
C [∵an＋1－an＝4－3(n＋1)－(4－3n)＝－3．
∴{an}是公差为－3的等差数列．]
2．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，试证明数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是等差数列．
[证明] ∵an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，
∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(an＋2,2an)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,2)，
即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝2，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首项为eq \f(1,2)，公差d＝2的等差数列．
类型2 等差数列的通项公式
1．若{an}是等差数列，试用am，an表示公差d，其中n≠m．
[提示] d＝eq \f(an－am,n－m)．
2．若数列{an}的通项公式an＝kn＋b，则该数列是等差数列吗？
[提示] 是．因为an＋1－an＝k(n＋1)－kn＝k，故{an}是等差数列．
【例3】 (对接教材)(1)在等差数列{an}中，已知a4＝7，a10＝25，求通项公式an；
(2)已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
[思路点拨] 设出基本量a1，d．利用方程组的思想求解，当然也可以利用等差数列的一般形式an＝am＋(n－m)d求解．
[解] (1)法一：∵a4＝7，a10＝25，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋3d＝7，,a1＋9d＝25，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－2，,d＝3.))
∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
∴通项公式an＝3n－5(n∈N＋)．
法二：∵a4＝7，a10＝25，
∴a10－a4＝6d＝18，∴d＝3，
∴an＝a4＋(n－4)d＝3n－5(n∈N＋)．
(2)法一：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋14d＝8，,a1＋59d＝20，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝\f(64,15)，,d＝\f(4,15)，))
故a75＝a1＋74d＝eq \f(64,15)＋74×eq \f(4,15)＝24．
法二：∵a60＝a15＋(60－15)d，∴d＝eq \f(20－8,60－15)＝eq \f(4,15)．
∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×eq \f(4,15)＝24．
法三：已知数列{an}是等差数列，可设an＝kn＋b，
由a15＝8，a60＝20得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(15k＋b＝8，,60k＋b＝20，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(4,15)，,b＝4，))
∴a75＝75×eq \f(4,15)＋4＝24．
法四：由题意可知A(15，8)，B(60，20)，C(75，a75)三点共线，则eq \f(20－8,60－15)＝eq \f(a75－20,75－60)，
解得a75＝24．
1．应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想．一般地，可由am＝a，an＝b，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋m－1d＝a，,a1＋n－1d＝b，))求出a1和d，从而确定通项公式．
2．通项公式an＝a1＋(n－1)d中有四个量a1，d，n，an，求解过程中体现了“知三求一”的方程思想．
3．若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用an＝am＋(n－m)d较为简捷．
[跟进训练]
3．在等差数列{an}中，若a2＝3＋m，a6＝15＋m，其中m为实数，则该等差数列的公差d＝( )
A．3 B．2 C．1 D．m
A [由等差数列的通项公式得a2＝a1＋d＝3＋m，a6＝a1＋5d＝15＋m，
两式相减得4d＝12，即d＝3．故选A．]
4．在等差数列{an}中，已知a4＝10，a14＝70，则an＝__________．
6n－14 [法一：设公差为d，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋3d＝10，,a1＋13d＝70，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－8，,d＝6，))所以an＝a1＋(n－1)d＝6n－14．
法二：设公差为d，则d＝eq \f(a14－a4,14－4)＝eq \f(60,10)＝6，
an＝a4＋(n－4)·d＝10＋6(n－4)＝6n－14．]
1．已知等差数列{an}中，an－an－1＝2(n≥2)，且a1＝1，则这个数列的通项公式为( )
A．an＝2n－1 B．an＝2n＋1
C．an＝n－1D．an＝n＋1
A [an＝a1＋(n－1)d＝1＋2(n－1)＝2n－1．]
2．已知等差数列{an}的通项公式an＝3－2n(n∈N＋)，则它的公差d为( )
A．2 B．3 C．－2 D．－3
C [d＝an＋1－an＝3－2(n＋1)－(3－2n)＝－2，故选C．]
3．若数列{an}满足a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则当am＝－2 021时，m的值是( )
A．679 B．680 C．681 D．690
C [∵a1＝19，an＋1－an＝－3(n∈N*)，∴{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n．∴当am＝－2 021时，m＝681．]
4．设数列{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为________．
an＝6n－3(n∈N*) [设等差数列{an}的公差为d，
则a2＋a5＝a1＋d＋a1＋4d＝36，
即6＋5d＝36，解得d＝6，
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋(n－1)×6＝6n－3(n∈N*)．
即{an}的通项公式为an＝6n－3(n∈N*)．]
5．{an}是首项a1＝2，公差d＝3的等差数列，若an＝2 021，则n＝________．
674 [∵a1＝2，d＝3，
∴an＝2＋(n－1)×3＝3n－1．
由3n－1＝2 021得n＝674．]
回顾本节知识，自我完成以下问题：
1．判断一个数列是不是等差数列的常用方法有哪些？
[提示] 判断一个数列是不是等差数列的常用方法有：
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列；
(2)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N＋)⇔{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．求等差数列通项公式的一般思路是什么？
[提示] 方程思想：设出基本量a1与d，利用条件构建方程组，求出a1与d，即可写出数列的通项公式．
事实上，已知等差数列中的两项时，可利用an＝am＋(n－m)d求出公差d，这样就可绕过求首项a1，直接写出等差数列的通项公式．
注意：对于等差数列的通项公式，最终结果一般写成关于n的一次函数的形式，不必保留a1＋(n－1)d的形式．
1．理解等差数列的概念．(难点)
2．掌握等差数列的通项公式，会用通项公式解决问题．(重点、难点)
3．掌握等差数列的判定方法．(重点)
1．借助等差数列概念的学习，培养数学抽象的素养．
2．通过等差数列通项公式的求解与运用，提高数学运算的素养．
等差数列
一次函数
不同点
解析式
an＝a1＋(n－1)d，n∈N＋
f(x)＝kx＋b(k≠0)，x∈R
公差、斜率
公差d＝eq \f(an－am,n－m)，n≠m
斜率k＝eq \f(fx2－fx1,x2－x1)，x1≠x2
定义域
N＋
R
图像
位于同一直线上的一系列孤立的点
一条直线
相同点
等差数列的通项公式(d≠0)与一次函数的解析式都是关于自变量的一次式