初中人教版1.1 正数和负数课时训练

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一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2022秋•广州期末）如图，点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，AC＝2，OA＝OB，若点C所表示的数为a，则点B所表示的数为（ ）
A．﹣a+2B．﹣a﹣2C．a+2D．a﹣2
【思路点拨】先根据图形得到A所表示的数，再根据相反数的位置关系求出结果．
【完整解答】解：∵AC＝2，点C所表示的数为a，
∴A点表示的数为：a﹣2，
∵OA＝OB，
∴点B所表示的数为：2﹣a，
故答案为：A．
【考点总结】本题考查了数轴，数形结合思想是解题的关键．
2．（2分）（2022春•昭通期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB＝6，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（ ）
①B对应的数是2；②点P到达点B时，t＝3；③BP＝2时，t＝2；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变．
A．①③④B．②③④C．②③D．②④
【思路点拨】利用数轴，结合方程及分类讨论思想求解．
【完整解答】解：∵已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为4，且AB＝6，
∴B对应的数为：4﹣6＝﹣2；故①是不符合题意的；
∵6÷2＝3，故②是符合题意的；
∵当BP＝2时，t＝2或t＝4，故③是不符合题意的；
∵在点P的运动过程中，MN＝3，故④是符合题意的；
故选：D．
【考点总结】本题考查了数轴，方程和分类讨论思想是解题的关键．
3．（2分）（2022秋•应城市期中）如图，在数轴上，点A，B分别表示a，b，且a+b＝0，若A、B两点的距离为8个单位长度，则点A表示的数为（ ）
A．0B．﹣8C．4D．﹣4
【思路点拨】根据相反数的性质，由a+b＝0，AB＝8得a＜0，b＞0，b＝﹣a，故AB＝b﹣a＝8进而推断出a＝﹣4．
【完整解答】解：∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，即a与互为相反数，
又∵AB＝8，
∴b﹣a＝8，
∴2b＝8，
∴b＝4，
∴a＝﹣4，
即点A表示的数为﹣4，
故选：D．
【考点总结】本题主要考查相反数的性质及数轴，熟练掌握相反数的性质是解题关键．
4．（2分）（2021秋•广饶县期末）等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别是0、﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，第一次翻转后点B所对应的数为1，则翻转2022次后点C所对应的数为（ ）
A．不对应任何数B．2020
C．2021D．2022
【思路点拨】此题是图形规律题，表示出前几次翻转，则能发现C点翻转是每三次向正方向移动3个单位的规律，据此可算出第2022次翻转点C移动的距离，则可算出此时点C对应的数．
【完整解答】解：由图可知，第一次翻转后点C不在数轴上，第二次翻转点C对应数字2，第三次翻转点C不动，
由此可知，每三次翻转点C沿数轴正方向移动3个单位，
∵2022刚好能被3整除，
∴在翻转2022次后，点C沿数轴正方向移动了2022个单位，即点C对应数为﹣1+2022＝2021．
故选：C．
【考点总结】本题考查了学生对于图形规律题的探索能力，表示出前几次翻转后点所对应的数，则能发现其中蕴含的规律是解决此题的关键．
5．（2分）（2022秋•南海区校级月考）数轴上A，B两点（不与原点O重合）分别表示有理数x1，x2，AB的中点为P，若x1﹣x2＜0，且|x1|＞|x2|，则关于原点O的位置，下列说法正确的是（ ）
A．点O在点A的左侧B．点O在点P的右侧
C．点O在B的右侧D．点O在点A和P之间
【思路点拨】根据中点坐标公式可得P表示的数是（x1+x2），再根据x1﹣x2＜0，且|x1|＞|x2|，可得A表示的数是负数，可得P表示的数是负数，从而求解．
【完整解答】解：∵AB的中点为P，
∴P表示的数是（x1+x2），
∵x1﹣x2＜0，且|x1|＞|x2|，
∴A表示的数是负数，
∴P表示的数是负数，
∴点O在点P的右侧．
故选：B．
【考点总结】本题考查了数轴，中点坐标公式，有理数的加减法的知识点，需要熟练掌握．
6．（2分）（2021秋•临邑县期末）小明利用Arduin程序设计了一辆小车，最初在数轴上原点处，第一次向右运动了1个单位，紧接着又向左运动了2个单位，第三次向右运动了3个单位，第四次向左运动了4个单位……按以上规律，小车共运动了101次，你能确定小车在数轴上的最后落点表示的数是（ ）
A．50B．51C．52D．﹣50
【思路点拨】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．
【完整解答】解：1+（﹣2）+3+（﹣4）+5+…+（﹣100）+101
＝（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）+…+（﹣1）+101
＝（﹣1）×50+101
＝51．
故选：B．
【考点总结】本题考查了数轴，此题要求学生会用正负数来表示一对具有相反意义的量．同时在计算的过程中，能正确找到规律．
7．（2分）（2023春•锦江区期末）如图，数轴上点A，B表示的数为a，b，且OA＞OB，则下列结论不正确的是（ ）
A．2a＜2bB．a+b＞0C．b﹣a＞0D．ab＜0
【思路点拨】根据数轴判断出a＜0，b＞0，并且|a|＞|b|，然后对各选项分析判断后利用排除法求解．
【完整解答】解：由图可知，a＜0，b＞0，|a|＞|b|，
A、2a＜2b，故本选项不符合题意；
B、a+b＜0，故本选项符合题意；
C、b﹣a＞0，故本选项不符合题意；
D、ab＜0，故本选项不符合题意．
故选：B．
【考点总结】本题考查了数轴的知识，此类题目的难点在于根据 数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小．
8．（2分）（2023•晋安区校级模拟）如图，数轴的单位长度是1，若点A表示的数是﹣1，则点B表示的数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【思路点拨】直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．
【完整解答】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，
∴点B表示的数是：﹣1+5＝4，故D正确．
故选：D．
【考点总结】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，正确应用数形结合分析是解题关键．
9．（2分）（2022秋•凤山县期末）点A、B在同一数轴上，其中点A表示的数为﹣4，若AB＝3，则点B表示的数为（ ）
A．﹣7B．﹣7或﹣1C．﹣1D．1或7
【思路点拨】与A点距离为3的点有两个，分别在A点左侧3个单位长度和A点右侧3个单位长度．
【完整解答】解：∵﹣4﹣3＝﹣7，﹣4+3＝﹣1，
∴点B表示的数是﹣7或﹣1，
故选：B．
【考点总结】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题的关键．
10．（2分）（2022秋•定州市期末）如图，数轴的单位长度为1，数轴上有A，B，C三个点．若点A，B到原点的距离相等，则点C表示的数是（ ）
A．2B．1C．﹣1D．﹣2
【思路点拨】根据题意确定原点在距离A点3个单位长度处，再求C点表示的数即可．
【完整解答】解：∵A、B之间的距离是6个单位长度，点A，B到原点的距离相等，
∴原点在距离A点3个单位长度处，
∴C点在原点左侧1个单位长度处，
∴C点表示的数是﹣1，
故选：C．
【考点总结】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，能够通过题意确定数轴的原点是解题的关键．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023春•闽清县期末）如图，把半径为1的圆从数轴上表示﹣1的点A开始沿数轴向右滚动一周，圆上的点A到达点A′，则点A′表示的数为 2π﹣1 ．
【思路点拨】首先利用圆的周长公式求得AA′的长度，然后再由点A表示的数字可得到点A′表示的数字．
【完整解答】解：∵圆的半径为1，
∴AA′＝2πr＝2π×1＝2π，
又∵点A对应的数是﹣1，
∴点A′对应的数是2π﹣1．
故答案为：2π﹣1．
【考点总结】本题主要考查了实数和数轴，能够正确求得AA′的长是解题的关键．
12．（2分）（2021•芦淞区模拟）如图，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为 1﹣ ．
【思路点拨】如图所示：先求出BC的长，再表示AO长，进而求出a的值．
【完整解答】解：如图所示：
∵BC＝＝，BC＝BA，
∴AO＝﹣1，
∵点A在原点左边，
∴a的值为1﹣．
故答案为：1﹣．
【考点总结】本题考查数轴，掌握数轴表示的对应数，勾股定理的应用是解题关键．
13．（2分）（2023•张家口模拟）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三点，分别对应的数为﹣4，b，5．某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度尺1.5cm处，点C对齐刻度尺4.5cm处．
（1）在图1的数轴上，AC＝ 9 个单位长度；
（2）求数轴上点B所对应的数b为 ﹣1 ．
【思路点拨】（1）根据两点之间的距离即可得出答案；
（2）先求出1个单位长度是多少厘米，再求1.5厘米是几个单位长度，根据有理数的加法即可得出答案．
【完整解答】解：（1）5﹣（﹣4）＝9（个），
故答案为：9；
（2）4.5÷9＝0.5（厘米），
1.5÷0.5＝3（个），
b＝﹣4+3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【考点总结】本题考查了数轴，掌握如果数轴上两点A，B表示的数为a，b，那么A，B之间的距离＝|a﹣b|是解题的关键．
14．（2分）（2022秋•二七区期末）如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，对应的数分别为﹣3，b，6，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对齐刻度1.8cm，点C对齐刻度5.4cm．则数轴上点B所对应的数b为 0 ．
【思路点拨】数轴上A、C两点间的单位长度是9cm，点C对齐刻度5.4cm，所以数轴的单位长度是0.6cm，AB的长度是1.8cm，除以0.6得AB在数轴上的单位长度．
【完整解答】解：∵5.4÷[6﹣（﹣3）]＝0.6（cm），
∴数轴的单位长度是0.6cm，
∵1.8÷0.6＝3，
∴在数轴上A，B的距离是3个单位长度，
∴点B所对应的数b为﹣3+3＝0．
故答案为：0．
【考点总结】本题考查的是数轴的概念，解题的关键是确定数轴上的单位长度等于多少厘米．
15．（2分）（2022秋•于洪区期末）已知数轴上有A，B两点，A，B之间的距离为2，点A与原点O的距离为3，那么点B对应的数是 1或5或﹣5或﹣1 ．
【思路点拨】先确定A点表示的数是3或﹣3，再由A，B之间的距离为2，根据A的情况确定B点表示的数即可．
【完整解答】解：∵点A与原点O的距离为3，
∴A点表示的数是3或﹣3，
∵A，B之间的距离为2，
∴B点表示的数为1或5或﹣5或﹣1，
故答案为：1或5或﹣5或﹣1．
【考点总结】本题考查数轴与实数，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法是解题的关键．
16．（2分）（2022秋•巴中期末）如图：数轴上点A、B、D表示的数分别是﹣9，﹣1，1，且点C为线段AB的中点，点O为原点，点E在数轴上，点F为线段DE的中点．P、Q为数轴上两个动点，点P从点B向左运动，速度为每秒1个单位长度，点Q从点D向左运动，速度为每秒3个单位长度，P、Q同时运动，运动时间为ts．
有下列结论：①若点E表示的数是3，则CF＝7；②若DE＝3，则BF＝；③当t＝2时，PQ＝2；④当t＝时，点P是线段DQ的中点；其中正确的有 ③① ．（填序号）
【思路点拨】①根据线段的中点的定义以及点D、E可确定点C、F表示的数，进而得到CF的长度；②由DE＝3，分两种情况讨论：点E在点D的右侧时以及点E在点D的左侧时，可得到点E表示的数，由点F为线段DE的中点可得点F表示的数，进而得到BF的长度；③当t＝2时，可得到BP、DQ的长，从而确定点P、Q，即可得到PQ的长；④当t＝时，可得到BP、DQ的长，从而确定点P、Q，进而判断．
【完整解答】解：①若点E表示的数是3，
∵点F为线段DE的中点，D表示的数是1，
∴DE＝2，DF＝DE＝1，即F表示的数是2，
∴CF＝2﹣（﹣5）＝7，故①正确；
②若DE＝3，
当点E在点D的右侧时，则点E表示的数是4，
∵点F为线段DE的中点，
∴DF＝，即F表示的数是，
∴BF＝，
当点E在点D的左侧时，则点E表示的数是﹣2，
∵点F为线段DE的中点，
∴DF＝，即F表示的数是﹣，
∴BF＝﹣，
综上，BF＝，故②不正确；
③当t＝2时，BP＝1×2＝2，DQ＝2×3＝6，
∵B、D表示的数分别是﹣1，1，
∴P、Q表示的数分别是﹣3，﹣5，
∴PQ＝2，故③正确；
④当t＝时，BP＝1×，DQ＝，
∴P、Q表示的数分别是﹣，﹣，
∵点P在D、Q的左侧，不可能是线段DQ的中点，
故④不正确；
故答案为：①③．
【考点总结】本题考查了数轴以及两点间的距离、线段的中点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17．（2分）（2022秋•五莲县期末）已知数轴上三点M，O，N对应的数分别是﹣1，0，3，点P为数轴上任意点，其对应的数为x．如果点P以每分钟1个单位长度的速度从点O向左运动，同时点M和点N分别以每分钟2个单位长度和每分钟3个单位长度的速度也向左运动．设t分钟时P点到点M、点N的距离相等，则t的值为 或4． ．
【思路点拨】分别根据①当点M和点N在点P同侧时；②当点M和点N在点P异侧时，进行解答即可．
【完整解答】解：设运动t分钟时，点P到点M，点N的距离相等，即PM＝PN．
点P对应的数是﹣t，点M对应的数是﹣1﹣2t，点N对应的数是3﹣3t．
①当点M和点N在点P同侧时，点M和点N重合，
所以﹣1﹣2t＝3﹣3t，
解得t＝4，符合题意．
②当点M和点N在点P异侧时，点M位于点P的左侧，点N位于点P的右侧（因为三个点都向左运动，出发时点M在点P左侧，且点M运动的速度大于点P的速度，所以点M永远位于点P的左侧），
故PM＝﹣t﹣（﹣1﹣2t）＝t+1，PN＝（3﹣3t）﹣（﹣t）＝3﹣2t．
所以t+1＝3﹣2t，
解得t＝，符合题意．
综上所述，t的值为或4．
故答案为：或4．
【考点总结】此题主要考查了数轴的应用以及一元一次方程的应用，根据M，N位置的不同进行分类讨论得出是解题关键．
18．（2分）（2023•碑林区校级模拟）如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B表示的数是1，点P在数轴上，若PA＝PB，则点P表示的数是 ﹣1 ．
【思路点拨】首先分析出点P的位置，在进行计算即可．
【完整解答】解：在数轴上点A表示的数是﹣3，点B表示的数是1，
∴AB＝1﹣（﹣3）＝4，
由题意可知点P在线段AB之间，PA＝PB，
∴P到A点的距离为2，
∴P点表示的数为：﹣1．
故答案为：﹣1．
【考点总结】本题考查数轴，正确记忆数轴上的点的特征是解题关键．
19．（2分）（2022秋•内江期末）已知P是数轴上的一个点．把P向左移动3个单位后，这时它到原点的距离是4个单位，则P点表示的数是 7或﹣1 ．
【思路点拨】首先由这时它到原点的距离是4个单位，得出P现在表示4或﹣4，再分别把4或﹣4向右移动3个单位，向右移动3个单位得到点P．
【完整解答】解：∵P点移动后到原点的距离是4个单位，
∴P现在表示4或﹣4，
∴把4或﹣4向右移动3个单位，得7或﹣1．
故答案为：7或﹣1．
【考点总结】此题考查数轴，搞清数轴上点的移动规律是解决问题的关键．
20．（2分）（2022秋•丰南区期中）如图，一条数轴上有点A，B，C，其中点A、B表示的数分别是﹣16、9，现在以点C为折点将数轴向右对折，若点A′落在射线CB上，且A'B＝3，则C点表示的数是 ﹣5或﹣2 ．
【思路点拨】根据题意，点A'分两种情况：①在B右侧；②在B左侧，作图求解即可得到答案．
【完整解答】解：分两种情况：
①如图所示：
∵点A、B表示的数分别是﹣16、9，
∴AB＝9﹣（﹣16）＝25，
∵以点C为折点将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，且A'B＝3，
∴AA'＝A'B+AB＝28，
∴，
∴C点表示的数是﹣2；
②如图所示：
∵点A、B表示的数分别是﹣16、9，
∴AB＝9﹣（﹣16）＝25，
∵以点C为折点将数轴向右对折，若点A'落在射线CB上，且A'B＝3，
∴AB＝A'B+AA'＝28，
∴，∴C点表示的数是﹣5；
综上所述，C点表示的数是﹣2或﹣5．
【考点总结】本题考查数轴上点表示的数，涉及两点间距离，读懂题意，分类讨论，准确边上线段和差倍分关系是解决问题的关键．
三．解答题（共7小题，满分60分）
21．（8分）（2022秋•迁安市期末）如图1，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣1和4．
（1）线段AB长是 5 ；
（2）若P为线段AB上的一点（点P不与A、B两点重合），当PM＝AP，PN＝BP，如图2所示，求此时MN的长．
【思路点拨】（1）根据数轴上两点间距离公式计算可得，即数轴上两点A、B表示的数分别为x1、x2，则AB＝|x1﹣x2|；
（2）根据当，，相加可得．
【完整解答】解：（1）AB＝|4﹣（﹣1）|＝5，
故答案为：5；
（2）∵，，
∴MN＝MP+NP，
∴，
∴，
∴．
【考点总结】本题考查了线段的和差倍分关系，解题的关键是找到线段之间的数量关系．
22．（8分）（2022秋•澄海区期末）如图，数轴上三点A、B、C表示的数分别为﹣10、5、15，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．
（1）点A到点C的距离为 25 ；
（2）数轴上是否存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）设点P到A、B、C三点的距离之和为S．在动点P从点A开始沿数轴的正方向运动到达点C这一运动过程中，求出S的最大值与最小值．
【思路点拨】（1）利用两点间距离公式即可求解；
（2）当P点在A点的左侧（含A点）时：得方程﹣10﹣x+5﹣x＝25；当P点在A点和B点的之间（含B点）时：x﹣（﹣10）+5﹣x＝25；当P点在B点的右侧时：x﹣（﹣10）+x﹣5＝25，解方程即可；
（3）设点P表示的数为x，则点P到A、B、C的距离和等于PA+PB+PC，得PA+PB+PC＝AC+PB＝25+PB，分析出PB的最值即可．
【完整解答】解：（1）AC＝15﹣（﹣10）＝25，
∴点A到点C的距离为25，
故答案为：25；
（2）存在，设点P表示的数为x，
当P点在A点的左侧（含A点）时：﹣10﹣x+5﹣x＝25，
解得：x＝﹣15，
当P点在A点和B点的之间（含B点）时：x﹣（﹣10）+5﹣x＝25，
解得：无解；
当P点在B点的右侧时：x﹣（﹣10）+x﹣5＝25，
解得：x＝10，
∴数轴上存在点P，使得点P到点A、点B的距离之和为25个单位长度，当x＝﹣15或10，使得点P到点A、点B的距离之和为25单位长度；
（3）由题意得点P到A、B、C的距离和等于PA+PB+PC，
∵点P在点A、C之间，
∴PA+PB+PC＝AC+PB＝25+PB，
当点P与点A重合时，PB最大，此时PB＝5﹣（﹣10）＝15，
∴PA+PB+PC的最大值为25+15＝40，
当点P与点B重合时，PB最小，此时PB＝0，
∴PA+PB+PC的最小值为25，
∴S的最大值为40，最小值为25．
【考点总结】本题主要考查了一元一次方程的应用，与数轴有关计算问题，能够正确表示数轴上两点间的距离：两点所对应的数的差的绝对值．
23．（8分）（2022秋•衡东县期末）如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动4cm到达A点，再向右移动5cm到达B点，然后再向右移动到达C点，数轴上一个单位长度表示1cm．
（1）请你在数轴上标出A、B、C三点的位置，并写出A、B、C三点分别表示的数；
（2）把点A到点C的距离记为AC，则AB＝ 5 cm，AC＝ cm；
（3）若点A沿数轴以每秒1cm匀速向右运动，经过多少秒使AC＝3cm？
【思路点拨】（1）根据题意分别求得点A，B，C对应的数，再表示在数轴上即可；
（2）根据数轴上两点表示的数，用右边的数减去左的数即可求解；
（3）根据题意分类讨论，①当点A在点C的左侧时，②当点A在点C的右侧时，分别列出方程，解方程即可求解．
【完整解答】解：（1）由题意得：A点对应的数为﹣4，B点对应的数为1，点C对应的数为，
点A，B，C在数轴上表示如图：
（2）∵A点对应的数为﹣4，B点对应的数为1，，点C对应的数为，
∴，AB＝1（﹣4）＝5．
故答案为：5，．
（3）①当点A在点C的左侧时，设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，
由题意得：，
解得：．
②当点A在点C的右侧时，
设经过x秒后点A到点C的距离为3cm，
由题意得：，
解得：．
综上，经过或秒后点A到点C的距离为3cm．
【考点总结】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点距离，一元一次方程的应用，分类讨论是解题的关键．
24．（8分）（2022秋•黄陂区期末）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”．例如：数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“联盟点”．
（1）若点A表示数﹣1，点B表示的数2，下列各数：，0，1，4，5所对应的点分别为C1，C2，C3，C4，C5，其中是点A，B的“联盟点”的是 C2，C3，C5 ；
（2）点A表示的数是﹣1，点B表示的数是3，P是数轴上的一个动点：
①若点P在线段AB上，且点P是点A，B的“联盟点”，求此时点P表示的数；
②若点P在点A的左侧，点P、A、B中有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，求出此时点P表示的数．
【思路点拨】（1）根据两点间的距离易得AC1，BC1，AC2，BC2，AC3，BC3，AC4，BC4，AC5，BC5的长，根据定义，进行判断即可求解．
（2）这两个小题运用分类讨论，再由方程即可求得．
【完整解答】解：（1）∵AC1═﹣﹣（﹣1）═，BC1═2﹣（﹣）═，
∴2AC1≠BC1，
∴C1不是A，B的“联盟点”．
∵AC2═0﹣（﹣1）═1，BC2＝2﹣0＝2，
∴2AC2═BC2，
∴C2是A，B的“联盟点”．
∵AC3═1﹣（﹣1）＝2，BC3═2﹣1＝1，
∴AC3═2BC3，
∴C3是A，B的“联盟点”．
∵AC4═4﹣（﹣1）＝5，BC4═4﹣2＝2，
∴AC4≠BC4，
∴C4不是A，B的“联盟点”．
∵AC5═5﹣（﹣1）＝6，BC5═5﹣2＝3，
∴AC5═2BC5，
∴C5是A，B的“联盟点”．
综合上述，是点A，B的“联盟点”的是C2，C3，C5．
（2）解；设点P表示的数为x，
①∵P在线段AB上，
∴AP＝x+1，BP＝3﹣x，
当AP＝2BP时，有x+1＝2（3﹣x），解得x＝，
当BP＝2AP时，有3﹣x＝2（x+1），解得x＝，
综上所述，点P 表示的数为，．
②由题意得，AB＝4，
∵P在A的左侧，
∴AP＝﹣1﹣x，BP＝3﹣x，
当点A为B，P的“联盟点”时，
若AB＝2AP，则有4＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣3，
若AP＝2AB，则有﹣1﹣x＝2×4，解得x＝﹣9，
当点B为A，P的“联盟点”时，
2AB＝BP，则有2×4＝3﹣x，解得x＝﹣5，
当点P为A，B的“联盟点”时，
BP＝2PA，则有3﹣x＝2（﹣1﹣x），解得x＝﹣5，
综上所述，P表示的数为﹣9，﹣3，﹣5．
【考点总结】此题考查了新定义，分类讨论，方程思想，两点间的距离．
25．（8分）（2022秋•南召县期末）如图，在一条不完整的数轴上从左到右依次有三个点A、B、C；其中AB＝2BC，设点A、B、C所对应数点和为m．
（1）若点C为原点，BC＝1，则点A对应的数为 ﹣3 ，点B对应的数为 ﹣1 ，m的值为 ﹣4 ；
（2）若点B为原点，AC＝9，求m的值．
（3）若原点O到点C的距离为6，且OC＝AB，直接写出m的值．
【思路点拨】（1）根据数轴上的点对应的数即可求解；
（2）根据数轴上原点的位置确定其它点对应的数即可求解；
（3）根据原点在点C的右边先确定点C对应的数，进而确定点B、点A所表示的数即可求解．
【完整解答】解：（1）∵点C为原点，BC＝1，
∴B所对应的数为﹣1，
∵AB＝2BC，
∴AB＝2，
∴点A所对应的数为﹣3，
∴m＝﹣3﹣1+0＝﹣4；
故答案为：﹣3，﹣1，﹣4；
（2）∵点B为原点，AC＝9，AB＝2BC，
∴点A所对应的数为﹣6，点C所对应的数为3，
∴m＝﹣6+3+0＝﹣3；
（3）∵原点O到点C的距离为6，
∴点C所对应的数为±6，
∵OC＝AB，
∴AB＝6，
当点C对应的数为6，
∵AB＝6，AB＝2BC，
∴BC＝3，
∴点B所对应的数为3，点A所对应的数为﹣3，
∴m＝3﹣3+6＝6；
当点C所对应的数为﹣6，
∵AB＝6，AB＝2BC，
∴BC＝3，
∴点B所对应的数为﹣9，点A所对应的数为﹣15，
∴m＝﹣15﹣9﹣6＝﹣30
综上所述 m＝6或﹣30．
【考点总结】本题考查了数轴，解决本题的关键是数形结合思想的灵活运用．
26．（10分）（2022秋•广州期末）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为﹣1、3、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．
（1）若AP＝BP，则x＝ 1 ；
（2）若AP+BP＝8，求x的值；
（3）若点P从点C出发，以每秒3个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒2个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t秒，试判断：4BP﹣AP的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．
【思路点拨】（1）观察数轴，可得答案；
（2）根据点P在点A左侧或点P在点A右侧，分别列式求解即可；
（3）分别用含t的式子表示出BP和AP，再计算4BP﹣AP，即可得答案．
【完整解答】解：（1）由数轴可得：若AP＝BP，则x＝1；
故答案为：1；
（2）∵AP+BP＝8，
∴若点P在点A左侧，则﹣1﹣x+3﹣x＝8，
∴x＝﹣3，
若点P在点A右侧，则x+1+x﹣3＝8，
∴x＝5，
∴x的值为﹣3或5．
（3）BP＝5+3t﹣（3+2t）＝t+2，
AP＝t+6+3t＝4t+6，
∴4BP﹣AP＝4（t+2）﹣（4t+6）＝2，
∴4BP﹣AP的值不会随着t的变化而变化．
【考点总结】本题考查了数轴在有理数加减运算中的简单应用，数形结合及分类讨论是解题的关键．
27．（10分）（2022秋•朝阳区校级期中）已知数轴上两点A、B，若在数轴上存在一点C，使得AC+BC＝nAB，则称点C为线段AB的“n倍点”．例如图1所示：当点A表示的数为﹣2，点B表示的数为2，点C表示的数为0，有AC+BC＝2+2＝4＝AB，则称点C为线段AB的“1倍点”．请根据上述规定回答下列问题：已知图2中，点A表示的数为﹣3，点B表示的数为1，点C表示的数为x．
（1）当﹣3≤x≤1时，点C 一定是 （填“一定是”或“一定不是”或“不一定是”）线段AB的“1倍点”；
（2）若点C为线段AB的“n倍点”，且x＝﹣4，求n的值；
（3）若点D是线段AB的“2倍点”，则点D表示的数为 ﹣5或3 ；
（4）若点E在数轴上表示的数为t，点F表示的数为t+12，要使线段EF上始终存在线段AB的“3倍点”，求t的取值范围（用不等号表示）
【思路点拨】（1）根据新定义求解；
（2）设未知数，根据新定义列方程求解；
（3）先求点E表示的数，再计算n的值；
（4）先求线段AB的“3倍点”表示的数，再根据采用数形结合思想列不等式组求解．
【完整解答】解：（1）当﹣3≤x≤1时，点C在A，B之间，得AC+BC＝AB，
所以C一定是线段AB的“1倍点”；
（2）∵AC+BC＝1+5＝6，AB＝4，
∴n＝＝；
（3）设D表示的数为y，
由题意得：AC+BC＝2×4＝8，
当D在A的左边时，﹣3﹣y+1﹣y＝8，
解得：y＝﹣5，
当D在B的右边时，y+3+y﹣1＝8，
解得：y＝3，
故答案为：﹣5或3；
（4）设点M是线段AB的“3倍点“，M表示的数为m，
当M在A的左边时，﹣3﹣m+1﹣m＝12，
解得：m＝﹣7，
当M在B的右边时，m+3+m﹣1＝12，
解得：m＝5，
由题意得：t≤﹣7≤t+12或t≤5≤t+12，
解得：﹣19≤t≤5．
【考点总结】本题考查了数轴，数形结合思想是解题的关键