【冲刺2024】中考真题（2023山东济南）及变式题（山东济南2024中考专用）解答题部分

【冲刺2024】中考真题（2023山东济南）及变式题（山东济南2024中考专用）解答题部分1．计算：．【答案】【分析】根据绝对值的意义、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值分别计算后，再根据二次根式加减运算法则求解即可得到答案．【详解】解：．【点睛】本题考查了绝对值的意义、负整数指数幂运算、零指数幂运算、特殊角的三角函数值、二次根式加减运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．2．（-1）2013+2sin60°+（π-3.14）0+|-|【答案】【分析】先分别根据有理数乘方的法则、特殊角的三角函数值、0指数幂及绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可.【详解】原式=-1+2+1+=2.【点睛】此题考查了实数的运算，涉及的知识点有：零指数、绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．计算：【答案】【分析】本题主要考查了实数的运算，正确掌握相关的运算法则是解题的关键．分别根据负整数指数幂及零指数幂的定义，特殊角的三角函数值，以及二次根式的性质计算即可．【详解】解：原式．4．计算：【答案】【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂和求特殊角三角函数值，先计算特殊角三角函数值和零指数幂，再计算算术平方根，最后计算加减法即可．【详解】解：5．计算：．【答案】0【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．先计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．【详解】解：原式．6．计算：．【答案】【分析】本题主要考查了绝对值的性质、负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角形函数值等知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先根据绝对值的性质、负整数指数幂运算法则、零指数幂运算法则以及特殊角的三角函数值进行运算，然后相加减即可．【详解】解：原式．7．解不等式组：，并写出它的所有整数解．【答案】，整数解为0，1，2【分析】分别求解两个不等式，再写出解集，最后求出满足条件的整数解即可．【详解】解：解不等式①，得，解不等式②，得，在同一条数轴上表示不等式①②的解集，  原不等式组的解集是，∴整数解为0，1，2．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤，以及写出不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”．8．解不等式（组）(1)．(2)利用数轴解不等式组并求出不等式组的整数解．【答案】(1)(2)，整数解为，，，．【分析】（1）按步骤解不等式即可；（2）先分别求出每个不等式的解集，利用数轴求出两个解集的公共部分，即不等式组的解集，然后在求出的范围内找出满足条件的所有整数解．【详解】（1）解：去分母，得去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得．（2）解不等式①，得．解不等式②，得．                     将不等式①②的解集在数轴上表示如下  ∴原不等式组的解集为．           ∴该不等式组的整数解为，，，．【点睛】本题考查不等式和不等式组的解法，以及不等式组的整数解问题．熟练掌握不等式的解题步骤是解题的关键．步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为．其中，去分母时容易漏乘；系数化为时如果左右两边同乘的是正数，不等号方向不变；如果左右两边同乘的是负数，不等号方向改变．找整数解时注意，一定结合数轴，做到不重不漏．9．（1）因式分解；（2）因式分解  ；（3）解分式方程：；（4）解不等式组，并求其负整数的解．【答案】（1）；（2）；（3）；（4），负整数解为．【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；（3）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（4）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【详解】解：（1）原式；（2）原式；（3）去分母得：，解得：，经检验是分式方程的解；（4），由①得：，由②得：，不等式组的解集为，则负整数解为．【点睛】此题考查了因式分解，解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．解下列不等式和不等式组(1)解不等式，并把解集在数轴上表示出来．(2)解不等式组，并写出不等式组的所有整数解．【答案】(1)，数轴上表示解集见解析图；(2)不等式组的解集为，整数解为，，，，，，．【分析】（）移项合并同类项，化系数为，再用数轴表示即可；（）先求出两个不等式的解集，再求其公共解，再写出整数解；本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式或不等式组的求解方法．【详解】（1）解：，，，数轴上表示解集如图，（2）解不等式得，，解不等式得，，∴不等式组的解集为，∴不等式组的整数解为，，，，，，．11．解不等式组，并求出所有整数解的和．【答案】不等式组的解集为，所有整数解的和为【分析】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法；先解出每个不等式的解集，然后即可求出该不等式组的解集，从而可以得到该不等式组的正整数解．【详解】解不等式，得，解不等式，得，∴不等式组的解集为，∴所有整数解的和为．12．（1）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来；（2）解不等式组：，并求不等式组的正整数解．【答案】（1），数轴表示见解析；（2）原不等式组的解集为，原不等式组的正整数解为【分析】本题主要考查了解不等式组，数轴上表示不等式组的解集，求不等式组的整数解：（1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而在数轴上表示出不等式组的解集即可．（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出求整数解即可．【详解】（1）解：，解不等式①得，，解不等式②得，，∴不等式组的解集是，在数轴上表示如下：（2）解：，解不等式①，得，解不等式②，得，原不等式组的解集为．原不等式组的正整数解为．13．已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，．求证：．  【答案】详见解析【分析】根据平行四边形的性质得出，，进而得出，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再利用线段的差得出，即可得出结论．【详解】证明：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，，∵点为对角线的中点，∴，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键．14．如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别为，的中点，延长至G，使，连接．(1)求证：；(2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)当时，四边形是矩形，理由见解析【分析】（1）利用平行四边形的性质用证明即可．（2）利用全等三角形的性质得出，，再证明，即可得出，等量代换得出，即可证明四边形是平行四边形，再利用等腰三角形三线合一的性质即可证明，进一步即可证明四边形是矩形．【详解】（1）证明∵四边形是平行四边形∴ ，，， ∴∵点E，F分别为的中点，∴ ，∴在和中，∴（2）当时，四边形是矩形，理由如下：∵，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴四边形是平行四边形，∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴，∵E是的中点∴，∴∴四边形是矩形．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，平行四边形的性质，矩形的判定以及等腰三角形的性质，掌握这些判定方法以及性质是解题的关键．15．如图，在中，、分别是、的平分线，若，．  (1)求的周长；(2)求线段的长．【答案】(1)32(2)2【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，，即可解答；（2）利用平行四边形的性质，角平分线的定义以及等角对等边可证，，然后利用线段的和差即可求解．【详解】（1）解：在中，，，∴，，∴的周长为．（2）在中，，，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，同理：，∴．【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．16．如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，取BD中点O，过点O作直线EF，分别交AD，BC于点E，F，求证：AE＝CF．【答案】见解析【分析】欲证明AE=CF，只要证明△DOE≌△BOF（ASA）即可；【详解】∵BD的中点是O，∴OB=OD∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC， AD=BC∴∠ODE=∠OBF，∠OED=∠OFB，在△AOE和△COF中，，∴△DOE≌△BOF（ASA），∴DE=BF∴AD-DE=BC-BF∴AE=CF．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．解题的关键是熟记平行四边形的各种性质以及全等三角形的各种判定方法．17．如图中，的平分线交BC于点F，交AB的延长线于点E．(1)求证：．(2)若，，求的面积．【答案】(1)见解析(2)48【分析】（1）由平行四边形的性质可得ABCD，由平行线的性质及角平分线的定义可得∠AED＝∠ADE，进而可证明结论；（2）连接AF，利用AAS证明△BEF≌△CDF可得EF＝DF＝6，，结合等腰三角形的性质可得AF⊥DE，利用勾股定理可求解AF的长，再根据三角形的面积公式计算可求解．【详解】（1）证明：在▱ABCD中，ABCD，∴∠CDE＝∠AED，∵DF平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE；（2）解：连接AF，在△BEF和△CDF中，，∴△BEF≌△CDF（AAS），∴EF＝DF＝6，，∴，∵AD＝AE，∴AF⊥DE，∵AD＝BC＝BF＋CF＝5＋5＝10，∴AF＝，∴＝DE·AF＝×12×8＝48．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积等知识，证明是解题的关键．18．如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且．  (1)求证：；(2)若，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，根据题意得到，根据相似三角形的判定定理证明；（2）根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形，，．，， ，；（2）四边形是平行四边形，，，，．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．19．图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．  (1)求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；(2)若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由．（结果精确到，参考数据：，，，）【答案】(1)车后盖最高点到地面的距离为(2)没有危险,详见解析【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；（2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可．【详解】（1）如图，作，垂足为点  在中∵，∴∴∵平行线间的距离处处相等∴答：车后盖最高点到地面的距离为．（2）没有危险，理由如下：过作，垂足为点  ∵，∴∵∴在中，∴．∵平行线间的距离处处相等∴到地面的距离为．∵∴没有危险．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．20．在数学课外实践活动中，要测量教学楼的高度AM．下面是两位同学的对话：请你根据两位同学的对话，结合图形计算教学楼的高度AM．（参考数据：sin20°≈，cos20°≈，tan20°≈）【答案】12.75米．【分析】设AB=x，则BC=x，DB=20+x，在Rt△ABD中利用20°的锐角三角函数值即可求出BC的长，又因为AM=AB+BM，问题得解．【详解】解：由题意得∠ABC=90°∵∠ACB=45°∴∠CAB=90°﹣∠ACB=90°﹣45°=45°∴AB=BC设AB=x，则BC=x，DB=20+x在Rt△ABD中∵tan∠ADB=∴tan20°=，∵tan20°≈，∴，解得x=11.25∵BM=CE=1.5∴AM=11.25+1.5=12.75答：教学楼的高AM是12.75米．方法二解：设BD为x，则BC=x﹣20∵∠ACB=45°，∠ABC=90°∴∠CAB=45°∴AB=BC=x﹣20在Rt△ABD中∵tan∠ADB=，∴tan20°=，∵tan20°=，∴，x=31.25∴BC=31.25﹣20=11.25∵BM=CE=1.5∴AM=11.25+1.5=12.75．答：教学楼的高AM约为12.75米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．21．文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，因塔建于天宁寺内，又名天宁寺塔；文峰塔建于五代后周广顺二年，已有一千余年历史，风格独特，具有上大下小的特点．由下往上一层大于一层，逐渐宽敞，是伞状形式，这种平台、莲座、辽式塔身、藏式塔刹的形制世所罕见．活动课上，数学社团的学生计划测量文峰塔的高度．如图所示，先在点C处用高1.6m的测角仪测得塔尖A的仰角为37°，向塔的方向前进12m到达F处，在F处测得塔尖A的仰角为45°，请你相关数据求出文峰塔的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，，．）  【答案】文峰塔的高度约为38米【分析】延长交于点G，设米，在中，求出的长，进而得出的长，中，利用，进行求解即可．【详解】解：延长交于点G．  由题意得：米，米，．设米．在中，，∴（米）．∴米．在中，，∴，解得．经检验：是原方程的根．∴（米）．答：文峰塔的高度约为38米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是构造直角三角形，熟记锐角三角函数的定义．22．为建设和谐新社区，增强群众幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳棚，便于社区居民休憩（图①）．在侧面示意图中（图②），遮阳棚长为4米，从点看棚顶顶点的仰角为，靠墙端离地高为5米，当太阳光线与地面的夹角为时，求凉荫处的长．（结果精确到，参考数据：，，，，，）【答案】0.7米【分析】本题考查解直角三角形的应用，过点作于，过点作于，先在中，求出，，即可得到，，再在中求出，最后根据求解即可．【详解】解：过点作于，过点作于，，，由题意，，，四边形是矩形，，，在中，，，，，，，，在中，，，，，答：凉荫处的长为0.7米．23．如图为淋浴喷头的简易示意图，若用支架把喷头固定在点A处，手柄长，与墙壁的夹角，喷出的水流与形成的夹角．  (1)求B点与墙壁的距离；(2)住户要求：当人站在E处淋浴时，水流正好喷洒在C处，使，，安装师傅应将支架A固定在离地面多高的位置？（参考数据：，，，，，）．【答案】(1)B点与墙壁的距离(2)安装师傅应将支架A固定在离地面高的位置【分析】（1）过点B作，根据，即可求解；（2）易得，过点B作于点H，过点A作于点F，过点C作于点G，通过证明四边形为矩形，推出，，证明四边形为矩形，得出，，则，进而得出，证明四边形为矩形，得出，最后根据，即可求解．【详解】（1）解：过点B作，∵，，，∴，答：B点与墙壁的距离．  （2）解：∵，，，∴，过点B作于点H，过点A作于点F，过点C作于点G，∵，，，∴四边形为矩形，∴，，又，∴，∵，，∴，，∵，，，∴四边形为矩形，∴，，∴，∴，∵，，，∴四边形为矩形，∴，∴，答：安装师傅应将支架A固定在离地面高的位置．  【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形，根据解直角三角形的方法和步骤求解．24．如图①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，如图②是小明锻炼时上半身由ON位置运动到与地面垂直的OM位置时的示意图. 已知米，米，．（参考数据：，，）（1）求AB的长（精确到0.01米）；（2）若测得米，试计算小明头顶由N点运动到M点的路径MN的长度.（结果保留）  【答案】（1）AB≈1.17米；（2）米．【分析】（1）过B点作BEAC与点E，四边形ECBD为矩形可以求出AE=0.4（米），根据三角函数可以计算出AB的距离；（2）根据题意可以计算出，然后根据弧长公式计算出弧长MN的距离．【详解】（1）如图，过B点作BEAC与点E，则四边形ECBD为矩形，有EC=BD=0.26（米），AE=0.4（米），在Rt△AEB中，（米），故AB1.17米．  （2），ON=0.9（米），所以小明头顶由N点运动到M点的路径长度为：（米），【点睛】本题主要考查直角三角形的三角函数以及弧长计算公式，明确三角函数以及弧长计算公式是解本题的关键．25．2023年，国内文化和旅游行业复苏势头强劲．某社团对30个地区“五一”假期的出游人数进行了调查，获得了它们“五一”假期出游人数（出游人数用表示，单位：百万）的数据，并对数据进行统计整理．数据分成5组：A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．下面给出了部分信息：a．B组的数据：12，13，15，16，17，17，18，20．b．不完整的“五一”假期出游人数的频数分布直方图和扇形统计图如下：  请根据以上信息完成下列问题：(1)统计图中E组对应扇形的圆心角为____________度；(2)请补全频数分布直方图；(3)这30个地区“五一”假期出游人数的中位数是___________百万；(4)各组“五一”假期的平均出游人数如下表：求这30个地区“五一”假期的平均出游人数．【答案】(1)36(2)详见解析(3)15.5(4)20百万【分析】（1）由E组的个数除以总个数，再乘以即可；（2）先用D组所占百分比乘以总个数得出其个数，再用总个数减去A、B、D、E组的个数得出C组个数，最后画图即可；（3）根据中位数的定义可得出中位数为第15和16个数的平均数，第15和16个数均在B组，求解即可；（4）根据加权平均数的求解方法计算即可．【详解】（1），故答案为：36；（2）D组个数：个，C组个数：个，补全频数分布直方图如下：  （3）共30个数，中位数为第15和16个数的平均数，第15和16个数均在B组，∴中位数为百万，故答案为：15.5；（4）（百万），答：这30个地区“五一”假期的平均出游人数是20百万．【点睛】本题考查了扇形统计图和频数分布直方图的相关知识，涉及求扇形所对的圆心角的度数，画频数分布直方图，求中位数，求加权平均数，熟练掌握知识点，并能够从题目中获取信息是解题的关键．26．为了解九年级学生对某个知识点的掌握程度，某校对九年级学生以人一组进行了随机分组，开展了一次素养调研，并用SOLO评分模型进行评分：“完全不理解”记为分，“了解了一个方面”记为分，“了解了几个独立的方面”记为分，“理解了几个方面的相关性”记为分，“能够综合运用”记为分，现从调查结果中随机抽取了个小组学生的得分，进行统计分析，过程如下：【整理与描述】(1)请补全第小组得分条形统计图；第小组得分扇形统计图中，“得分为分”这一项所对应的圆心角的度数为______．(2)【分析与估计】由上表填空：______，______，______；(3)若该校九年级有名学生，请你估计该校九年级学生在调研中表现为“能够综合运用”的人数有______人；(4)【评价与建议】结合你的分析，请给第组的同学提供一条有关该知识点的学习建议．【答案】(1)①见解析；②；(2)；(3)；(4)调整“”分和“”分的学生心态，让他们积极的愉快的掌握该知识点．【分析】（1）①根据总人数为人，条形图各得分的人数即可解答；②根据调查总人数人，再利用扇形统计图得分为“”的百分数即可解答．（2）①根据条形统计图的数据即可解答；②根据扇形统计图的数据即可解答；③根据折线图即可解答．（3）先计算出三组人数中得分的百分数，再计算出人的表现为“能够综合运用”的人数即可解答．（4）调整“”分和“”分的学生心态，让他们积极的愉快的掌握该知识点．【详解】（1）解：∵随机调查的总人数为人，“”分的人数为人，“1”分的人数为人，“2”分的人数为人，“”分的人数为人，∴“”分的人数为：（人），如图所示：∵第小组得分扇形统计图中“得分为分”所占的百分数为，∴“得分为分”这一项所对应的圆心角的度数为；故答案为．（2）解：∵根据条形统计图可知“得分为分”的人数最多，∴第组的众数为分，∴，∵根据第小组得分扇形统计图可知， “”分的人数为人，“”分的人数为人，“”分的人数为人，“”分的人数为人，“”分的人数为人，第组的平均数是为，∴，∵第组的折线图可知中位数第和第个分数：，∴第组的中位数是，∴，故答案为：．（3）解：∵第组得分为分的人数为人，第组得分为分的人数为人，第组得分为分的人数为人，∴三组得分的总人数为人，∵三组总人数为人，∴九年级有名表现为“能够综合运用”的人数有（人）；故答案为人．（4）解：调整“”分和“”分的学生心态，让他们积极的愉快的掌握该知识点．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数，众数，平均数，由样本估算整体，掌握中位数、众数、平均数的定义是解题的关键．27．某社区为了调查居民第三季度的用电情况，随机抽取了小区20户居民的用电量进行调查．数据如下：（单位：度）670，870，730，1140，700，690，1170，970，1000，970730，840，1060，870，720，870，1060，930，840，870整理数据：按如下分段整理样本数据并补至表格（表1）分析数据：补全下列表格中的统计量（表2）得出结论：(1)表中的______，______，______，______．(2)若将表1中的数据制作成一个扇形统计图，则所表示的扇形圆心角的度数为______度．(3)如果该小区有住户400户，请根据样本估计用电量在的居民户数．【答案】(1)6，4，870，870(2)72(3)240户【分析】（1）根据所给数据找出600≤x