【冲刺2024数学】中考真题（2023山东聊城）及变式题（山东聊城中考专用）解答题部分

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【答案】，
【分析】运用因式分解，约分，通分的技巧化简计算即可．
【详解】
；
当时，
．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解，约分，通分的技巧是解题的关键．
2．先化简，再求值：，从，0，1这三个数中选择一个你认为适合的数，作为的值代入求值．
【答案】，
【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则，正确代入求值是解题的关键．
根据分式的性质进行化简，再根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可求解．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∴原式．
3．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．
【答案】（1），（2），数轴见解析
【分析】本题考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
（1）先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把代入计算．
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示即可．
【详解】解：（1）
，
当时，
原式；
（2）
由①得：，
由②得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为
4．先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式化简求值，特殊角的三角函数值；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据特殊角的三角函数值得出,最后将字母的值代入求解．
【详解】解：原式
其中
原式
5．先化简再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
根据分式的混合运算法则把原式化简，把x的值代入计算即可．
【详解】解：
当时
原式
6．（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1），；（2）原不等式组的解集为，数轴表示见解析．
【分析】本题考查的是解不等式组，特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟知分式混合运算和解不等式组的法则是解答此题的关键．
（1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出的值代入进行计算即可；
（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可；
【详解】（1）解：原式
．
当时，
原式
．
（2）解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
在同一条数轴上表示不等式组解集如图：
∴原不等式组的解集为．
7．如图，在四边形中，点E是边上一点，且，．

(1)求证：；
(2)若，时，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由求出，然后利用证明，可得，再由等边对等角得出结论；
（2）过点E作于F，根据等腰三角形的性质和含直角三角形的性质求出和，然后利用勾股定理求出，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过点E作于F，
由（1）知，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键．
8．如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接．
(1)求证：平分；
(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)168
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，等边对等角：
（1）由平行四边形的性质得到，则由平行线的性质和等边对等角可证明，则平分；
（2）过点E作于M，设，则，由勾股定理可得，解方程后求出，再根据平行四边形面积计算公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，过点E作于M，
设，则．
根据勾股定理得
∴ ，
解得，
，
．
9．如图，在中，，，点D是边上一动点（不与B，C重合），，交于点E．

(1)求证：；
(2)当时，求的长度．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形判定及性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质，
（1）根据等腰三角形性质的得到，根据三角形内角和定理和平角的定义证明，据此即可判定出；
（2）利用相似三角形性质得到，由三线合一定理即可得到本题答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∴；
（2）解：当时，，
由（1），得，
∴，
∴，
又∵，
∴．
10．如图，在等腰中，， ，过点作于点．

(1)求的长；
(2)若点是边的中点，连接，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，三线合一定理：
（1）在中，由，根据正弦函数定义列方程求解即可得到答案；
（2）利用等腰三角形三线合一得到，再利用勾股定理求出相关线段长，在中，由正切函数定义代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：在等腰中，， ，，
则，
解得，
由勾股定理可得；
（2）解：在等腰中，，点是边的中点，
，
由（1）知，，则，
，
在中，，
．
11．如图，，于点M，D在上，E在上，．
(1)若，，求证：；
(2)作于点N，点F是一点，且，
①求证：；
②求的值．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）利用等边对等角，三角形外角的性质以及三角形内角和定理可求出，则，利用三角形的外角性质可得出，然后利用证明即可；
（2）①证明可得出，，进而得出，证明，得出，则，然后利用等边对等角以及三角形内角和定理即可得证；
②延长至C，使，连接，，利用三角形内角和定理可证明，利用等腰三角形三线合一性质可得出，，可得出，证明，可证得，则，由平行线分线段成比例得出，利用三角形中位线定理得出，即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴；
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②延长至C，使，连接，，
∵， ，
∴，
∴，
∵， ，
∴∠，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角形外角的性质，明确题意，添加合适辅助线，寻找出相似三角形是解题的关键．
12．如图，四边形是正方形，G是上的一点，，垂足为E，，垂足为F．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)0.8cm．
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确确定出三角形全等的条件是解题的关键．
（1）根据正方形的性质可得，根据同角的余角相等求出，然后利用“角角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得，，然后根据等量代换即可得．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2），
，，
，，
，
．
13．某中学把开展课外经典阅读活动作为一项引领学生明是非、知荣辱、立志向、修言行的德育举措．为了调查活动开展情况，需要了解全校2000名学生一周的课外经典阅读时间．从本校学生中随机抽取100名进行调查，将调查的一周课外经典阅读的平均时间分为5组：①；②；③；④；⑤，并将调查结果用如图所示的统计图描述．

根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，一周课外经典阅读的平均时间的众数和中位数分别落在第______组和第______组（填序号）；一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为______；估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有______人；
(2)若把各组阅读时间的下限与上限的中间值近似看作该组的平均阅读时间，估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间是多少？
(3)若把一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比超过，作为衡量此次开展活动成功的标准，请你评价此次活动，并提出合理化的建议．
【答案】(1)③，③，，560；
(2)；
(3)此次活动不成功，建议：①学校多举办经典阅读活动；②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣等（答案不唯一）
【分析】
（1）根据众数和中位数的定义以及用样本估计总体的思想求解即可；
（2）首先求出每组的平均阅读时间，然后根据算术平均数的计算方法求解即可；
（3）将一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比与进行比较即可解答．
【详解】（1）解：∵第③组的人数最多，
∴一周课外经典阅读的平均时间的众数落在第③组；
∵第50、51名学生均在第③组，
∴一周课外经典阅读的平均时间的中位数落在第③组；
由题意得：，
即一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生人数占被调查人数的百分比为；
（人），
即估计全校一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的学生有560人，
故答案为：③，③，，560；
（2）解：由题意得，每组的平均阅读时间分别为1.5，2.5，3.5，4.5，5.5，
∴估计这100名学生一周课外经典阅读的平均时间为：小时；
（3）解：一周课外经典阅读的平均时间达到4小时的人数百分比为，
∵，
∴本次课外经典阅读活动不成功，
建议：①学校多举办经典阅读活动；②开设经典阅读知识竞赛，提高学生阅读兴趣等（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，由样本估计总体，中位数和众数，从统计图获取有用信息是解题的关键．
14．在中国共产党建党100周年之际，团区委组织开展“童心向党”党史知识宣传教育活动，为了解初中学生对于党史知识的了解情况，某校随机抽取若干名学生进行测试（测试满分100分，得分均为整数），根据测试结果，将结果分为五个等级：不合格，基本合格，合格，良好，优秀，制定统计表格（部分信息未给出）．
若干名学生党史知识测试成绩的频数图
(1)请求出，并说明本次测试中的中位数在哪个等级．
(2)求扇形统计图中“合格”所对应的扇形圆心角的度数．
(3)如果全校学生（总数1500人）都参加测试，请你根据抽样测试的结果，估计该校获得优秀的学生有多少人？
【答案】(1)m=14，中位数落在“合格”等级
(2)
(3)210人
【分析】（1）根据“良好”的频数和频率可求出调查总人数，进而确定 的值，确定中位数所在的等级即可；
（2）求出“合格”所占的百分比即可；
（3）求出样本中“优秀”所占的百分比即可．
【详解】（1）调查总人数为：（人，
，
100个数据从小到大排列处在中间位置的两个数是第50、51位的两个数的平均数，而，，
所以中位数落在“合格”等级，
，本次测试中的中位数在合格等级；
（2），
答：扇形统计图中“合格”所对应的扇形圆心角的度数为；
（3）（人，
答：该校获得优秀的学生约为210人．
【点睛】本题考查频数分布表和扇形统计图，理解频数分布表与扇形统计图中数量之间关系是正确解答的关键．
15．夏季来临,某饮品店老板大白计划下个月(2018年8月)每天制作新鲜水果冰淇淋800份销售．去年同期,这种冰淇淋每份的成本价为5元,售价为8元．该冰淇淋不含防腐剂,很受顾客的欢迎,但如果当天制作的冰淇淋未售出,新鲜水果就会腐败变质,饮品店就将承担冰淇淋制作成本的损失．根据大白去年的销售记录,得到去年同期该冰淇淋日销售量的频数分布表和频数分布直方图(不完整)如下：
2018年8月该冰淇淋日销售量频数分布表 2018年8月该冰淇淋日销售量频数分布直方图
由于今年水果涨价,该冰淇淋的制作成本提高了10%.大白计划今年冰淇淋还按8元/份销售.设下个月该冰淇淋的日销售量为m份(0(1)请根据以上信息补全频数分布表和直方图，并标明相应数据；
(2)用含m的式子表示下个月销售该冰淇淋的日利润；
(3)大白认为，下个月该冰淇淋的销售状况将会与去年同期相差不多.
①请你通过计算帮助大白估计下个月销售该冰淇淋的日利润少于1200元的天数；
②为减少因当日冰淇淋未售出造成的损失，大白计划今年采取下班前打八折销售的方法，希望将剩余的冰淇淋售出，请你通过计算帮助大白估计下个月因销售该冰淇淋获得月利润的范围.
【答案】（1）见解析；（2）8m−4400；（3）①9天；②8m−4400到14.4m+3888.
【分析】（1）根据频数分布直方图可知800≤x<900一组的频数是6，然后根据频数之和为31，即可求得700≤x<800一组的频数；
（2）利用总销量-总成本=利润，进而得出答案；
（3）①利用8m-4400<1200进而得出答案；
②利用当剩余的冰淇淋打八折后全部售完以及当剩余的冰淇淋打八折后仍没人购买，分别表示出利润即可．
【详解】(1)800⩽x<900一组的频数是6,则700⩽x<800一组的频数是31−3−6−6=16(天).
(2)该冰淇淋的制作成本是5(1+10%)=5.5(元)，则平均每日的利润是：8m−800×5.5=8m−4400；
(3)①由题意可得：8m−4400<1200，
解得：m<700，
则下个月销售该冰淇淋的日利润少于1200元的天数为：3+6=9(天)；
②当剩余的冰淇淋打八折后全部售完，则其利润为：
8m−800×5.5+(800−m)×8×0.8
=14.4m+3888，
当剩余的冰淇淋打八折后仍没人购买，则其利润为：8m−4400，
故下个月因销售该冰淇淋获得月利润的范围为：8m−4400到14.4m+3888.
【点睛】此题考查用样本估计总体，频数（率）分布表，条形统计图，解题关键在于看懂图中数据.
16．垃圾的分类处理与回收利用，可以减少污染，节省资源．某城市宣传环保部门为了提高实效，抽样调查了部分居民小区一段时间内生活垃圾的分类情况，将获得的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．（注：A为可回收物，B为厨余垃圾，C为有害垃圾，D为其它垃圾）
根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，一共有 吨的生活垃圾；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）扇形统计图中，B所对应的百分比是 ，D所对应的圆心角度数是 ；
（4）假设该城市每月产生的生活垃圾为5000吨，且全部分类处理，请估计每月产生的有害垃圾多少吨？
【答案】（1）50；（2）详见解析；（3）30%， 36°；（4）300吨
【分析】（1）从两个统计图中可得到“A可回收垃圾”的有27吨，占垃圾数量的54%，可求出调查的垃圾数量；
（2）求出“B餐厨垃圾的吨数，即可补全条形统计图；
（3）B餐厨垃圾的15吨占垃圾数量50吨的百分比即可，D有害垃圾占，因此圆心角占360°的即可；
（4）样本估计总体，样本中喜欢“D有害垃圾”的占，因此估计5000吨的是“有害垃圾”的吨数．
【详解】（1）27÷54%＝50吨，
故答案为：50，
（2）50﹣27﹣3﹣5＝15吨，补全条形统计图如图所示：
（3）15÷50＝30%，360°×＝36°，
故答案为：30%，36°，
（4）5000×＝300吨，
答：该城市每月产生的5000吨生活垃圾中有害垃圾300吨．
【点睛】考查条形统计图、扇形统计图的意义和制作方法，从两个统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题，样本估计总体是统计中常用的方法．
17．随着春天气温变暖，某校组织同学们分别到A，B，C，D四个景点进行春游活动，学校把学生前往四个地方的人数做了统计，得到下列两幅不完整的统计图，如图所示．
(1)本次参加春游活动学生总人数有________人，在扇形统计图中，去D景点活动的人数对应扇形的圆心角的度数是________度．
(2)请你将条形统计图补充完整．
(3)本次春游活动中，学校分配给九年级学生甲、乙、丙三辆车，小明与小华都可以从这三辆车中任选一辆搭乘．求小明与小华坐不同车的概率（要求画树状图或列表）．
【答案】(1)400，；
(2)图见解析；
(3)，列表见解析；
【分析】本题考查了条形统计图、扇形统计图，圆心角，列表法求概率．解题的关键在于从统计图中获取正确的信息．
（1）根据扇形和条形统计图可知：景点人数80人，占比为，即可求出本次参加春游活动学生总人数；求出去D景点活动的人数占比乘以即可计算对应扇形的圆心角的度数；
（2）根据第（1）问求出的去D景点活动的人数，然后补全统计图即可；
（3）列出表格，求出所有乘车的可能情况，共有9种等可能的选择情况，其中小明与小华不同车共有6种等可能的情况，根据概率公式即可求解；
【详解】（1）解：由扇形和条形统计图可知：景点人数80人，占比为，
总人数为：（人），
去D景点活动的人数为：（人），占比为，
去D景点活动的人数对应扇形的圆心角的度数为：．
（2）解：根据第（1）问，D景点活动的人数为（人），补图如下：
（3）解：
由表可知，小明与小华共有9种等可能的选择情况，其中小明与小华不同车共有6种等可能的情况，
小明与小华不同车的概率为：，
答：小明与小华不同车的概率为．
18．为了了解学生掌握环境保护知识的情况，进一步增强学生绿色文明意识、生态保护意识，号召学生积极参与到环境保护的行动中来，某校举行了“保护环境，人人有责”的知识测试，现随机抽取了部分学生的测试成绩，发现成绩（单位：分）的最低分为50分，最高分为98分，并绘制了如下尚不完整的统计图：
学生的测试成绩分成5组：A（），B（），C（），D（），E（）．
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，C组所对应的扇形圆心角是_______度；
(2)若本校共有1000名学生参加本次知识测试，请估计全校参加本次知识测试的学生成绩在E组的有多少人；
(3)本次抽样调查成绩在E组的学生中有2名是女生，校团委将从E组学生中随机抽取2名学生，参加全市环境保护知识竞赛，求恰好抽中2名女生的概率．
【答案】(1)108
(2)125人
(3)
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体：
（1）用B组的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，进而求出C组的人数占比，再用360度乘以C组的人数占比即可得到答案；
（2）先求出样本中E组的人数，进而用1000乘以样本中E组的人数占比即可得到答案；
（3）先求出E组的男生人数为3人，再画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好抽中2名女生的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】（1）解：人，
∴参与调查的人数为40人，
∴本次调查中，C组所对应的扇形圆心角是度，
故答案为：108；
（2）解：人，
∴估计全校参加本次知识测试的学生成绩在E组的有125人；
（3）解：E组一共有人，
∵在E组的学生中有2名是女生，
∴在E组的学生中有3名是男生，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中恰好抽中2名女生的结果有2种，
∴恰好抽中2名女生的概率为．
19．今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见下表：
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．
(1)求两个旅游团各有多少人？
(2)一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？
【答案】(1)甲团人数有58人，乙团人数有44人；
(2)当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．
【分析】（1）设甲团人数有x人，乙团人数有y人，根据“甲、乙两个旅游团共102人，把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元”列方程组求解即可；
（2）设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省，根据“人数不足50人，购买B种门票比购买A种门票节省”列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设甲团人数有x人，乙团人数有y人，
由题意得：，
解得：，
答：甲团人数有58人，乙团人数有44人；
（2）解：设游客人数为a人时，购买B种门票比购买A种门票节省，
由题意得：，
解得：，
∵a为整数，
∴当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，找出合适的等量关系和不等关系列出方程组和不等式是解题的关键．
20．近年来，我县在创建省级文明城市，为积极推进创建工作，我县呼吁全民积极参与垃圾分类，东关某社区计划购买A，B两种型号的垃圾分装桶，根据市场调查，若购买3个A型垃圾分装桶和4个B型垃圾分装桶共需要720元，购买6个A型垃圾分装桶和5个B型垃圾分装桶共需要1080元．
(1)求两种型号垃圾分装桶的单价；
(2)某企业为了更好地服务于社区，打算捐赠这批垃圾分装桶，若需购买A，B型号的垃圾分装桶共100个，其中A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半，试问：该企业最多需要花费多少元？
【答案】(1)A型垃圾分装桶单价为80元，B型垃圾分装桶单价为120元
(2)10640元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元一次不等式得实际应用，二元一次方程组的实际应用：
（1）设A型垃圾分装桶单价为x元，B型垃圾分装桶单价为y元，根据购买3个A型垃圾分装桶和4个B型垃圾分装桶共需要720元，购买6个A型垃圾分装桶和5个B型垃圾分装桶共需要1080元列出方程组求解即可；
（2）设购买A型垃圾分装桶m个，企业的花费为W元，则购买B型垃圾分装桶个，先根据A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半列出不等式求出m的取值范围，再根据（1）所求列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设A型垃圾分装桶单价为x元，B型垃圾分装桶单价为y元，
由题意得，，
解得，
答：A型垃圾分装桶单价为80元，B型垃圾分装桶单价为120元；
（2）解：设购买A型垃圾分装桶m个，企业的花费为W元，则购买B型垃圾分装桶个，
∵A型垃圾分装桶的个数不少于B型的一半，
∴，
∴；
由题意得：，
∵，
∴W随着m增大而减小，
又∵m为整数，
∴当时，W最大，最大为，
答：该企业最多需要花费10640元．
21．“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱．某水果超市为了解两种提子市场销售情况，花费420元购进了“青提”和“红提”各20千克供客户对比品尝，已知每千克“青提”的进价比每千克“红提”的进价多3元．
(1)求每千克“红提”和“青提”进价各是多少元？
(2)若该水果商城决定再次购买同种“红提”和“青提”共40千克，且再次购买的总费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若“红提”的销售单价为13元/千克，“青提”的销售单价为18元/千克，则该水果超市应如何进货，才能使得第二批的“红提”和“青提”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)每千克“红提”9元，每千克“青提”12元
(2)超市应进“红提”10千克，“青提”30千克，最大利润为220元
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用．
（1）设每千克“红提”x元，每千克“青提”y元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设够买“红提”a千克，则够买“青提”千克，先根据“总费用不超过450元”列出不等式求出a的取值范围，再设获得利润为W，列出W关于a的表达式，结合一次函数的增减性，即可解答．
【详解】（1）解：设每千克“红提”x元，每千克“青提”y元，
，
解得：，
答：每千克“红提”9元，每千克“青提”12元．
（2）解：设够买“红提”a千克，则够买“青提”千克，
，
解得：，
设获得利润为W，
，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，W取最大值，此时，
∴超市应进“红提”10千克，“青提”30千克，最大利润为220元．
22．2024年3月5日，第十四届全国人民代表大会在北京召开，值此之际，某校计划举行爱国主义教育读书活动，并准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生，已知购买9个甲种纪念品和3个乙种纪念品共需元，购买3个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需元．
(1)求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元．
(2)若要购买这两种纪念品共个，且购买费用不多于元，最多能买多少个甲种纪念品？
【答案】(1)购买一个甲种纪念品需元，一个乙种纪念品需5元
(2)最多能买个甲种纪念品
【分析】（1）根据题目中的等量关系设未知数列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题目中的不等关系设未知数列一元一次不等式求解即可．
本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，能抓住题目中的等量关系列式是解题的关键．
【详解】（1）解：设购买一个甲种纪念品需x元，一个乙种纪念品需y元．
根据题意，得，解得．
答：购买一个甲种纪念品需元，一个乙种纪念品需5元．
（2）设购买m个甲种纪念品，则购买个乙种纪念品．
根据题意，得，
解得．
答：最多能买个甲种纪念品．
23．期中考试结束后，为了奖励在期中考试中取得优异成绩的同学，老师准备到商场购买甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本25个，共花费270元，已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费2元．
(1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需要多少元；
(2)两种笔记本都受到同学们的喜爱，老师决定在期末考试结束后再买40个笔记本，正好赶上商场做活动，甲种笔记本售价比上一次降了1元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售，如果老师这次购买的甲、乙两种笔记本的总费用不超过230元，求最多能购买多少个甲种笔记本？
【答案】(1)购买一个甲种笔记本需要8元，一个乙种笔记本需要6元；
(2)17．
【分析】（1）设购买一个甲种笔记本需要x元，一个乙种笔记本需要y元，根据题意，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种笔记本m本，则乙种笔记本本，根据总价=单价数量，结合此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过230元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论；
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【详解】（1）解：设购买一个甲种笔记本需要x元，一个乙种笔记本需要y元
根据题意得
解得
答：购买一个甲种笔记本需要8元，一个乙种笔记本需要6元．
（2）设购买甲种笔记本m本，则乙种笔记本本，
根据题意得：

解得
∵m取整数，
∴m的最大值为17
答：最多能购买17个甲种笔记本．
24．为深入贯彻党的二十大精神，全面落实习近平总书记关于“把红色资源利用好、把红色基因传承好”的重要指示精神，培养学生的爱国情怀和责任担当，某校计划组织高一的师生共1302人到韶山开展红色研学活动．已知1台A型大巴车可以坐乘客49人，每日租金960元，一台B型大巴车可以坐乘客37人，每日租金780元．
(1)若计划租赁A型大巴车比租赁B型大巴车多2辆，要让每一位师生都有座位，且每辆汽车恰好坐满，问需租赁A型大巴车和B型大巴车各多少辆？
(2)为确保研学活动安全与效果，学校决定再增派两位校级领导带队，若计划租赁两种型号的大巴车共32台，且总费用不超过27200元，共有哪几种租赁方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．
【答案】(1)A型大巴车16辆，型大巴车14辆
(2)三种方案见解析，A型大巴车10辆，B型大巴车22辆，总费用最低为26760元
【分析】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
（1）根据题意，可以列出相应的二元次方程组，从而可以求得租赁A型大巴车和B型大巴车各多少辆；
（2）根据题意，可以求得的取值范围，再根据为整数，即可得到有多少种租车方案，再写出w与的函数关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到哪种租车方案最省钱，并求出最低费用．
【详解】（1）解：设租赁A型大巴车x辆，B型大巴车y辆，
由题意得：，
解得，
答：租赁型大巴车16辆，型大巴车14辆．
（2）设租赁型大巴车辆，租赁型大巴车辆，
则由题意得：，
解得：，
为正整数，
．．
有三种方案，第一种：A型大巴车10辆，B型大巴车22辆，
总费用为最低；
第二种：A型大巴车11辆，B型大巴车21辆，
总费用为；
第三种：A型大巴车12辆，B型大巴车20辆，
总费用为；
故第一种方案“A型大巴车10辆，B型大巴车22辆”，总费用最低，最低为26760元．
或：设总费用为元，则有：，
，
当取最小值10时．总费用有最小值，最小值为26760元．
25．东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向处，南关桥C在城门楼B的正南方向处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东方向，南关桥C在南偏东方向（点A，B，C，P四点在同一平面内）．求明珠大剧院到龙堤的距离（结果精确到）．
（参考数据：，，，，，）

【答案】明珠大剧院到龙堤的距离为．
【分析】如图，首先证明四边形是矩形，可得，，然后解直角三角形求出，，进而得出关于的方程，求出即可解决问题．
【详解】解：如图，由题意得，，，，，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
答：明珠大剧院到龙堤的距离为．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，正确理解锐角三角函数的定义是解题的关键．
26．如图，我市在三角形公园旁修建了两条骑行线路：①；②．经勘测，点在点的正西方10千米处，点在点的正南方，点在点的北偏西方向，点在点的正南方20千米处，点在点的正西方，点在点的北偏东方向．（参考数据：，）
(1)求的长度．（结果精确到1千米）
(2)由于时间原因，小渝决定选择一条较短线路骑行，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？
【答案】(1)的长度约为27千米；
(2)他应该选择线路②．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，交的延长线于点，根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，进而可得：，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系求出的长，即可解答；
（2）在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用（1）的结论进行计算，比较即可解答．
【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点，
，
由题意得：，
四边形是矩形，
，，
在中，，千米，
（千米），
千米，
（千米），
在中，，
（千米），
（千米），
的长度约为27千米；
（2）解：他应该选择线路②，
理由：在中，，，
（千米），
在中，千米，，
（千米），
线路①的总路程（千米），
线路②的总路程（千米），
千米千米，
他应该选择线路②．
27．为进一步改善市民生活环境，某市修建了多个湿地公园．如图是已建成的环湖湿地公园，沿湖修建了四边形人行步道．经测量，点在点的正东方向．点在点的正北方向，米．点正好在点的东北方向，且在点的北偏东方向，米．（参考数据：，）
(1)求步道的长度（结果保留根号）；
(2)体育爱好者小王从跑到有两条路线，分别是与．其中和都是下坡，和都是上坡．若他下坡每米消耗热量0.07千卡，上坡每米消耗热量0.09千卡，问：他选择哪条路线消耗的热量更多？
【答案】(1)米；
(2)选时，消耗的热量更多．
【分析】本题主要考查与方位角有关的解直角三角形的应用，
过点B作垂线与过点D作垂线交于点E，过点C作交DE的延长线于点F，交延长线于点G，则，根据题意得，利用，解得，由题意知，即可求得．
在中，利用，解得，进一步求得米，分别计算比较两条路线消耗热量即可．
【详解】（1）解：过点B作垂线与过点D作垂线交于点E，过点C作交DE的延长线于点F，交延长线于点G，如图，
则四边形是矩形，
∴米，
∵点位于点的北偏东方向，
∴，
∵米，
∴，解得（米），
∵点正好在点的东北方向，
∴，
∵米．
∴米．
（2）解：在中，，解得（米），
则米，
那么，选时，消耗热量为：（千卡），
选时，消耗热量为：（千卡），
，
选时，消耗的热量更多．
28．如图，在港口处的正东方向有两个相距的观测点、．一艘轮船从处出发，沿北偏东方向航行至处，在、处分别测得、．求：
(1)处到直线的距离．
(2)轮船航行的距离．（参考数据：，，，，，．
【答案】(1)30km
(2)km
【分析】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，垂足为，设 ，则，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答；
（2）根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
设，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
处到直线的距离约为；
（2）如图：
由题意得：，
，
在中，，
，
轮船航行的距离约为．
29．现有港口和四座小岛，一批物资需要从港口运往小岛．甲、乙两艘货船均可完成此次运输工作，甲货船运输路线为，乙货船的运输路线为．已知小岛在港口的东北方向50海里处，小岛在小岛的北偏东方向上，小岛在港口的北偏东方向上，小岛在港口的正东方向，小岛、均在小岛的正北方向上，且两岛相距30海里．（，，）
(1)求小岛与小岛之间的距离．（结果保留整数）
(2)若甲、乙两艘货船的运费分别为13元/海里和11元/海里，请计算说明选择哪艘货船更划算？
【答案】(1)33海里
(2)选择乙船更划算
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是：
（1）过E作于F，并反向延长，作于H，先判断四边形是矩形，，，，得出，，然后在、中，利用锐角三角函数求出、、、，进而求出，在中，利用锐角三角函数求出、即可；
（2）利用（1）中所求数据，分别求出甲、乙船的路费，进而求出对应的费用，然后比较即可．
【详解】（1）解：如图，过E作于F，并反向延长，作于H，
根据题意，得，，，，海里，海里，
∴四边形是矩形，，，，
∴，，
在中，海里，海里，
在中，海里，海里，
∴海里，
在中，海里，海里，
答：小岛与小岛之间的距离为33海里；
（2）解：由（1）知海里，
∴甲船的路程为海里，
乙船的路程为海里，
∴甲船的费用为元，
乙船的费用为元，
∵，
∴选择乙船更划算．
30．如图，南海某海域有两艘外国渔船A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼．一段时间后，渔船B沿北偏东的方向航行至小岛C的正东方向20海里处．此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西方向，A渔船在点D的西南方向，我国渔政船要求这两艘渔船迅速离开中国海域．

(1)求 ， ．
(2)求渔船B航行的距离．
(3)请分别求出中国渔政船此时到这两艘外国渔船的距离．（注：结果保留根号）
【答案】(1)，
(2)40海里
(3)中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是（）海里
【分析】本题考查与方位角有关的计算，解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键．
（1）根据题意结合角度之间的和差关系，求解即可；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可；
（3）过B作于E，过D作于H，延长交于G，得到四边形和四边形是矩形，设，得到，解直角三角形得到，，根据，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴；
故答案为：，．
（2）由题意得，，
∴海里，（海里）
答：渔船B航行的距离是40海里；
（3）过B作于E，过D作于H，延长交于G，

则四边形和四边形是矩形，
∵
∴海里，（海里），
∴（海里），（海里），
设（海里），
∴（海里），
由题意得，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，（海里），
∴（海里），（海里），
答：中国渔政船此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船A的距离是（）海里．
31．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点．

(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)点在x轴负半轴上，连接，过点B作，交的图像于点Q，连接．当时，若四边形的面积为36，求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据反比例函数过点，两点，确定，待定系数法计算即可．
（2）根据平移思想，设解析式求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，
∴，
故反比例函数的解析式为，
∴，
故，
∴，
解得，
∴直线的解析式为．
（2）∵，，，，，
∴四边形是平行四边形，
∴点A到点P的平移规律是向左平移个单位，向下平移4个单位，
∴点到点Q的平移规律也是向左平移个单位，向下平移4个单位，
故，
∵在上，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为，
设与x轴交于点C，连接，如图所示：
把代入，解得：，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴当时，符合题意．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，平移规律计算，熟练掌握规律是解题的关键．
32．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接并延长交反比例函数图象于点C，直线交y轴于点D．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点P是x轴上一点，当时，求点P的坐标．
【答案】（1）； ；（2）或
【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；
（2）先求得D的坐标，求得△AOD的面积，即可求得S△PAC＝4S△ADO＝10，根据中心对称的性质得出OA＝OC，即可得到S△APC＝2S△AOP，从而得到2×OP×1＝10，求得OP，即可求得P的坐标．
【详解】解：（1）将A（1，4），B（4，1）代入y＝ax＋b，
得，
解得，
∴一次函数为y＝−x＋5，
将A（1，4）代入，得k＝4，
∴反比例函数的解析式为；
（2）由题意可知OA＝OC，
∴S△APC＝2S△AOP，
把x＝0代入，得y＝5，
∴D（0，5），
∴S△AOD＝×5×1＝，
∵S△PAC＝4S△ADO＝4×＝10，
∴2S△AOP＝10，
∴2×OP×yA＝10，即2×OP×4＝10，
∴OP＝，
∴P（，0）或P（−，0）．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，数形结合是解题的关键．
33．如图所示，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于P，Q两点，已知点的坐标为．
(1)求函数与的解析式；
(2)求点的坐标；
(3)求的面积．
【答案】(1)，
(2)
(3)3
【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解本题的关键．
（1）点的坐标分别代入与，列出方程即可求得，的值，进而即可求解；
（2）联立与，即可求解；
（3）设直线与轴交于点，求得，再根据即可求解．
【详解】（1）解：将点的坐标分别代入与中得，
解得，
因此所求解析式为：，．
（2）根据题意，联立，解得，，
因此点的坐标是．
（3）如图，设直线与轴交于点，
由（1）得，直线的解析式为，令得，，
．
34．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B．
(1)求k的值；
(2)把一次函数向下平移个单位长度后，与y轴交于点C，与x轴交于点D．
①若，求的面积；
②若四边形为平行四边形，求m的值．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，一次函数的平移，平行四边形的性质，掌握一次函数的平移规律和中点坐标公式是解题的关键．
（1）把点的坐标代入一次函数和反比例函数的解析式，求出和的值即可；
（2）①一次函数的平移遵循“上加下减”，据此求出平移后的解析式，进而确定点和的坐标，用求面积；②用含的代数式表示点和的坐标，根据平行四边形的对角线互相平分，结合中点坐标公式求解即可．
【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
，
解得：
的值；
（2）把一次函数向下平移个单位长度后，则其解析式为
则直线与y轴交于点C坐标为，与x轴交于点D坐标为
时，C坐标为，D坐标为.
连接，如图所示，
②直线与x轴交于点B坐标为
，，
四边形为平行四边形，
对角线、互相平分.
由或由，
解得．
的值为．
35．如图，在平面直角坐标系中，等边的边长为，顶点在轴上，延长至点．使，过点作交轴于点，反比例函数，经过点交于点，反比例函数经过点．
(1)求反比例函数，的解析式；
(2)连接，，计算的面积．
【答案】(1)，；
(2)的面积为．
【分析】（）过点作，垂足为，由等边的边长为，可得，，，而，知，即可得，；
（）连接，由，，得，，，求出直线解析式为，联立联立，解得，则，故；
本题考查反比例函数图象上点坐标的特征，待定系数法，三角形面积等，解题的关键是掌握待定系数法，能求出点的坐标．
【详解】（1）过点作，垂足为，如图：
∵等边的边长为，
∴，，
∴，
∵，
∴，
把点，分别代入和
得：，
解得，，
∴，；
（2）连接，如图：
∵，，
∴，，
∴，
由，可得直线解析式为，
联立 ，解得 或 (舍去)，
∴，
∴，
∴的面积为．
36．已知点A在反比例函数的图象上，以为边长作正方形，使正方形顶点B，C在x轴上方，与y轴的夹角为．
(1)如图1，当点B在y轴上时，求点A坐标；
(2)如图2，当时，与y轴相交于点D，若，求点B的坐标．
【答案】(1)点A的坐标为
(2)点B坐标为
【分析】（1）过点A作轴于点E，根据正方形的性质得出，，根据，得出，求出，即可得出答案；
（2）过点A作轴于点E，过B作轴于点F，证明，，，设，则，得出，求出，
，得出答案即可．
【详解】（1）解：如图1，过点A作轴于点E，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴为等腰直角三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点A的坐标为；
（2）解：如图2，过点A作轴于点E，过B作轴于点F．
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴设，则，
中，
得，
∵，
∴，
∴．
∴点B坐标为．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，解直角三角形，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，正方形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
37．如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】
（1）连接，由题意可知，可知，易证得，可知，由，易知，进而可证得结论；
（2）由角平分线的性质可知，可得，进而可求得，，，，由，可证得，可知，进而可得，求得，即为的半径．
【详解】（1）证明：连接，

由题意可知，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：过点作，

∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
可得：，
∴的半径为．
【点睛】本题考查切线的证明，相似三角形的判定及性质，角平分线的性质，解直角三角形，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
38．如图，内接于，为的直径，点E在上，连接、，且，延长到点D，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)连接，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的性质及判定，圆内接四边形性质，圆周角定理，解直角三角形．
（1）根据圆内接四边形对角互补可得，再证明，即可证明结论；
（2）由同弧或等弧所对圆周角线段证明，从而可得，进而在中，由勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：∵四边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴：是的切线．
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∵，
∴，
∵在中，，
∴ 解得：，
∴．
39．如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
（1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
（2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵．
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
又，
即，
解得(取正值)，
．
40．如图，内接于，是的直径的延长线上一点，，过圆心作的平行线交的延长线于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定：
（1）连接，由是的直径，得到，再由等边对等角推出，进而得到，据此即可证明结论；
（2）先证明，得到，求出，得到，设，由勾股定理得，解得或（负值舍去），再解直角三角形即可．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
设，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（负值舍去），
∴，
∴．
41．如图，是的直径，C，D是上的两点，且，交于点E，点F在的延长线上，．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为
【分析】（1）利用圆周角定理，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用等腰三角形的三线合一和直角三角形的性质求得，，在中，利用余弦函数的定义求得；在中，再利用余弦函数的定义解答即可求得，则半径可求．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵为的直径，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∵是圆的半径，
∴是的切线；
（2）解：由（1）得：，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，，
在中，
∵，
∴．
∴的半径为．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握上述性质是解题的关键．
42．如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接交于点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用以及相似三角形的性质与判定
（1）连接，根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出即可；
（2）连接，根据三角函数求出和半径的长度，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】（1）连接，
平分交于点，
，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）连接，
，，
，
，
，
是直径，
∴，
，
又
．
43．如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．
【答案】(1)
(2)点Q坐标，或或；
(3)时，有最大值，最大值为．
【分析】（1）将，代入，待定系数法确定函数解析式；
（2）由二次函数，求得点，设点，点，分类讨论：当为边，为对角线时，当为边，为对角线时，运用平行四边形对角线互相平分性质，构建方程求解；
（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
可证，；运用待定系数法求直线解析式，直线 解析式；设点，，则，，，，运用解直角三角形，中，，，中，，可得，，；中，，可得，，，，于是，从而确定时，最大值为．
【详解】（1）将，代入，得
，解得
∴抛物线解析式为：
（2）二次函数，当时，
∴点
设点，点，
当为边，为对角线时，
∵四边形为平行四边形，
∴，互相平分
∴解得，（舍去）或
点Q坐标；
当为边，为对角线时，
同理得，
解得，或，
∴
∴点Q坐标或
综上，点Q坐标，或或；
（3）如图，过点D作，过点E作，垂足为G，F，
∵，
∴
∴
∵
∴，同理可得
设直线的解析式为：
则，解得
∴直线：
同理由点，，可求得直线 ：
设点，，
则，，，
中，，
∴，
中，
∴，解得，
∴
∵
∴；
中，
∴，解得，
∴
∵
∴
∴，
即．
∵
∴时，，有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的性质，一元二次方程求解，解直角三角形，结合动点运动情况，分类讨论是解题的关键．
44．已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点．
(1)求抛物线L的表达式．
(2)若点P是直线上的一动点，将抛物线L平移得到抛物线，点B的对应点为Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出抛物线的表达式：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）根据已知条件画出符合题意的图形，利用等腰直角三角形的性质和菱形的性质确定平移方式，再根据函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得：．
抛物线L的表达式为；
（2）解：存在以四个点为顶点的四边形是菱形．理由：
点，点，
，
如图，当四边形为菱形时，
，
，
四边形为菱形，
，
，
四边形为正方形，
， ，
此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，
∵
∴抛物线的表达式为．
【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，抛物线的平移，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
45．抛物线：交y轴于A点，点B为点A上方y轴上一点，将抛物线绕动点旋转后得到抛物线交y轴于点C，交抛物线于点D，E．
(1)如图①，当点B坐标为，求出此时抛物线的表达式；
(2)如图②，顺次连接A，E，C，D四点，请证明四边形为菱形，并说明当m为何值时四边形为正方形；
(3)如图③，过点B作直线l：交抛物线，于P，Q，M，N，若在点B的运动过程中始终保持，求出此时k和m的数量关系.
【答案】(1)
(2)见解析，时，四边形为正方形
(3)
【分析】本题考查了二次函数综合问题，涉及了待定系数法求解析式、菱形的性质、二次函数与一元二次方程综合等知识点，掌握相关知识点是解题关键
（1）根据求出A坐标为，进而得即可求解；
（2）联立，可得，；根据四边形为菱形当时，四边形为正方形即可求解；
（3）分别联立l，，联立l，可得，，，，据此即可求解；
【详解】（1）解：∵：
∴A坐标为
∵B坐标为
∴
∴：
（2）解：∵A坐标为，B坐标为
∴
∴：
联立，
得
解得，
∴，
∴D，B，E共线且
∴四边形为菱形
当时，四边形为正方形
即
解得（舍），
∴时，四边形为正方形
（3）解：联立l，
得
解得，，
联立l，
得
解得，，
∵
∴
∴
∴
∴
46．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C，D是线段上一动点．
(1)直接写出点A，B，C的坐标和直线的解析式；
(2)如图1，过动点D作，交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积之和为S．求S的最大值，并求出此时点P的坐标；
(3)如图2，过动点D作轴于点E，交抛物线于点F，连接．试探究：点D在运动过程中与能否相似？若能相似，直接写出点D的横坐标t的取值；若不能相似，请说明理由．
【答案】(1)点，点，点，直线
(2)最大值为8；
(3)2或
【分析】（1）对于，当时，，令，则或，故点、点、点，进而求解；
（2）由，即可求解；
（3）当为直角时，则点和点关于抛物线的对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线，则；当为直角时，证明，则，得到点的坐标为：，即可求解．
【详解】（1）解：对于，当时，，
令，则或，
故点、点、点，
设直线的表达式为：，
则将点的坐标代入得：，
解得：，
∴直线的表达式为：；
（2）过点P作轴交于点G，
∵，
∴，
∴，
设点，则点，
，
，
当时，，此时点；
（3）能相似，理由：
①当为直角时，
则点和点关于抛物线的对称轴对称，
而抛物线的对称轴为直线，
则；
②当为直角时，
过点作轴于点，则，
，
，
，
，
，
则，
即，
则，
则点的坐标为：，
将点的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：(舍去)或；
综上，或．
【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．
47．如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，过点A作交抛物线于点E，连接，点P是x轴上点B左侧一动点，若与相似，求点P的坐标；
(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，点T是上一动点，过点T的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线分别交x轴于点M，N．当是定值16时，判断点T是否是定点？若是，求点T的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点或
(3)为定点
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）分为①若时，和时，根据相似三角形的性质可解；
（3）设点的坐标分别为：，
求出直线的解析式，和直线的解析式，直线的解析式，从而表示出
，，根据即可得出，即可求解；
【详解】（1）解：由题意得，函数经过两点，
故抛物线的表达式为：，
即，，
则抛物线的表达式为：；
（2）令得，
即点，
∴把坐标代入中得直线解析式是、且，
∵，
∴直线的解析式为，
联立抛物线解析式得，
解得，
∴点，
∴，
若时，，
∴，即点，
若时，，
∴，
即点，
综上，点或．
（3）是定点，理由如下：
由题意，的坐标为，
设点的坐标分别为：(假设点在点左侧)，
∴把的坐标代入中得，
直线的解析式为：，
同理：直线的解析式为：，
直线的解析式为：，
∴，
则，
同理可得，，
∴，
∴，
即，
∴直线的解析式为：与无关，
∴，
即为定点．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、根和系数的关系等，有一定的综合性，难度适中．
48．在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是x轴上方抛物线上不与点C重合的一动点，设点P的横坐标为m．
(1)直接写出b，c的值；
(2)如图，直线l是抛物线的对称轴，当点P在直线l右侧时，连接，将线段绕点P顺时针旋转得到线段．当点D恰好落在直线l上时，求m的值；
(3)直线与直线相交于点M，的值记为d．
①求d关于m的函数解析式；
②根据d的不同取值，试探索点P的个数情况．
【答案】(1)
(2)
(3)①②当时，点只有1个；当时，点只有2个；当时，点只有3个
【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）过点作于点，过点作交的延长线于点，先证明，得，根据，表示出点的横坐标即可；
（3）①当点P在右侧时，过点P作轴，交于点N，则，得，求出点C坐标以及直线的解析式，当点P在左侧时，过点P作轴，交于点H，则．．求出两种情况求出d即可；；②画出函数图象，分析图象即可得出结论．
【详解】（1）解：抛物线（b，c是常数）与x轴交于点，，
抛物线的解析式为，
故；
（2）解：过点作于点，过点作交的延长线于点，
，
， ，
，
，
，
，
，
，点的横坐标为，
直线的解析式为，点在直线上，
，且点P在直线l的右侧时，即，
或（舍去）；
；
（3）解：①如图，当点P在右侧时，
过点P作轴，交于点N．
，
．
∴．
当时，，
∴．
设直线的解析式为，
把，代入得，
，
解得，，
∴直线的解析式为．
当时，，
∴；
如图，当点P在左侧时，
过点P作轴，交于点H．
同理可得：．
．
，
，
，
∴．
②绘制的函数图象如图所示：
当时，，
当时，，
故当时，点只有1个；
当时，点只有2个；
当时，点只有3个．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，待定系数法求一次函数的解析式，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，本题的关键是运用分类讨论的思想方法．
成绩（分）
人数（个）
16
36
20
14
甲
乙
丙
甲
（甲，甲）
（乙，甲）
（丙，甲）
乙
（甲，乙）
（乙，乙）
（丙，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）
（丙，丙）
票的种类
A
B
C
购票人数/人
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51~100
100以上
票价/元
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45
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