资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩2页未读，
继续阅读
所属成套资源：北师大版数学选择性必修第一册分层练习全册
成套系列资料，整套一键下载
高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 圆的标准方程精品同步训练题
展开
这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.1 圆的标准方程精品同步训练题，文件包含北师大版数学高二选择性必修第一册21圆的标准方程分层练习原卷版docx、北师大版数学高二选择性必修第一册21圆的标准方程分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
1．已知O为原点，点为圆心，以为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知求出圆的半径，然后根据圆的标准方程即可求解.
【详解】由题意可得圆心坐标，半径为，
则圆的方程为，即为，
故选：C.
2．圆的圆心坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的标准方程即得.
【详解】因为圆，
所以圆的圆心坐标为.
故选：B.
3．点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆外B．在圆上
C．在圆内D．与a的值有关
【答案】A
【分析】求出点到圆心的距离与半径比较大小即可得结论
【详解】圆的圆心，半径，
因为，
所以点在圆外，
故选：A
4．已知圆，则圆关于点对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】圆关于点对称只是圆心的位置发生了变化，因此只需求圆心关于点对称后的坐标即可解决.
【详解】圆的圆心为，半径为，
关于对称的点为，
圆对称后只是圆心位置改变，圆的半径不会变化，仍为，
因此所求的圆的方程为.
故选：D
5．（多选）已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为B．点在圆内
C．圆的半径为5D．点在圆内
【答案】ABC
【分析】根据给定圆的方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答.
【详解】圆的圆心为，半径为5，AC正确；
由，得点在圆内，B正确；
由，得点在圆外，D错误.
故选：ABC
6．（多选）若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由题意可知圆心在直线上，设圆心坐标为，由求得或，再根据圆的标准方程即可求解.
【详解】∵圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，∴圆心在直线上．
设圆心坐标为，则由，解得或，
∴圆的标准方程为或．
故选：AD．
7．已知点与圆，P是圆C上任意一点，则的最小值是 ．
【答案】5
【分析】先判断点在圆外，然后可得的最小值为
【详解】圆的圆心为，半径，
因为，所以点在圆外，
所以的最小值为，
故答案为：5
8．直线l平分圆的周长的充要条件是直线l的方程为 ．
【答案】或
【分析】过原点的直线一定平分圆的周长，故可得答案.
【详解】直线l平分圆的周长，
则直线l必过原点.
所以直线l的方程为或.
故答案为：或
9．参数方程表示圆心为 ，半径为 的圆，化为标准方程为 ．
【答案】 1
【分析】方法一：根据参数方程的定义可得圆心和半径，进而可得圆的标准方程；方法二：将参数方程整理得圆的标准方程，进而可得圆心和半径.
【详解】方法一：从参数方程中可以可得：圆心为，半径，
所以圆的标准方程为．
方法二：参数方程变形为平方相加，得到标准方程，
所以圆心坐标为，半径．
故答案为：；1；.
10．直角三角形ABC的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上．圆M是三角形ABC的外接圆，则圆M的标准方程为 ．
【答案】
【分析】首先设点，根据垂直关系，列式求，再根据圆心和半径求圆的方程.
【详解】由于点C在x轴上，设点．
又∠ABC为直角，所以.
即，解得x＝4，即,
由于是以为直角的直角三角形，
则该三角形的外接圆圆心为线段AC的中点，则，
所以圆M的半径为，
因此圆M的标准方程为.
故答案为：
1．在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的标准方程.
【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点，
圆的半径为，
因此，圆的标准方程为.
故选：A.
2．已知圆C的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件求出圆心与半径写出圆的方程.
【详解】因为圆C的一条直径的两个端点是分别是和，
所以圆心为，直径为，
所以圆的标准方程是.
故选：C.
3．若点是圆的弦的中点，则弦所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出圆心坐标，由题意可得，从而可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程.
【详解】因为圆心，，所以圆心，
因为是圆的弦的中点，
所以，
所以，则直线的方程为，即，
故选：C.
4．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】C
【分析】首先利用对称关系求出点关于直线的对称点的坐标，进一步利用两点间的距离公式求出最小距离．
【详解】设点关于直线的对称点坐标为
故，解得，即对称点，故原点到点的距离，
所以最短距离为．
故选：C
5．已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线．
(1)判断点P是否在圆上，并证明你的结论；
(2)若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程．
【答案】(1)点P不在圆上，证明见解析
(2)x＝0或3x＋4y－8＝0．
【分析】(1)将点的坐标导入圆的方程与1比较大小即可.
(2)已知弦长，求直线方程，求出圆心到直线的距离，用垂径定理，解直角三角形即可，特别要注意斜率不为0的情况.
【详解】（1）点P不在圆上．
证明如下：
∵，
∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上；
（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0，
综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．
6．已知圆C经过点且圆心C在直线上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用待定系数法即得；
（2）根据相关点法，设出点M的坐标，利用中点公式结合圆的方程即得.
【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为，则
，
解之得，
所以圆C的标准方程为；
（2）设M（x，y），，由及M为线段EF的中点得，
解得,
又点E在圆C：上，
所以有，
化简得：,
故所求的轨迹方程为．
1．已知，为圆上两个不同的点（为圆心），且满足，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出，再利用数量积的运算律求解作答.
【详解】依题意，，由，得，解得，
所以.
故选：C
2．已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．13B．11C．9D．8
【答案】D
【分析】根据圆的性质可得，故求的最小值，转化为求的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.
【详解】如图所示，
圆的圆心为，半径为4，
圆的圆心为，半径为1，
可知，
所以，
故求的最小值，转化为求的最小值，
设关于直线的对称点为，设坐标为，
则 ，解得，故，
因为，可得，
当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
3．（多选）设有一组圆：，下列命题正确的是（ ）
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为
【答案】ABD
【分析】对A根据圆心横纵坐标关系即可判断，对B和C代入，再利用判别式即可判断，对D由圆的半径不变即可判断.
【详解】A选项，圆心为，一定在直线上，A正确；
B选项，将代入得：，其中，方程无解，即所有圆均不经过点，B正确；
C选项，将代入得：，其中，
故经过点的圆有两个，故C错误；
D选项，所有圆的半径为2，面积为，故D正确.
故选：ABD.
4．我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便，对于勾股定理我国历史上有多位数学家创造了不同的面积政法，如三国时期的刘徽、清代的梅文鼎、华蘅芳等．下图为华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，若图中，，，以点C为原点，为x轴正方向．为y轴正方向，建立平面直角坐标系，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不㫿一）
【分析】求出点D坐标及到三个正方形项点的距离可得答案．
【详解】
由图可得，，，，，，
所以，，，，
所以，，
，，
，，
点D到三个正方形项点的距离分别为，，，，，，，，，
所以圆D的一个方程为．
故答案为：（答案不唯一）．
5．已知圆C经过点且圆心C在直线上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用待定系数法运算求解；
（2）根据题意利用相关点法运算求解.
【详解】（1）设圆C的标准方程为，可知其圆心为，
由题意可得，解得，
所以圆C的标准方程为.
（2）设，
由及M为线段EF的中点得，解得，即，
又因为点E在圆C：上，则，
化简得：，
故所求的轨迹方程为．
1．已知O为原点，点为圆心，以为直径的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由已知求出圆的半径，然后根据圆的标准方程即可求解.
【详解】由题意可得圆心坐标，半径为，
则圆的方程为，即为，
故选：C.
2．圆的圆心坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据圆的标准方程即得.
【详解】因为圆，
所以圆的圆心坐标为.
故选：B.
3．点与圆的位置关系是（ ）
A．在圆外B．在圆上
C．在圆内D．与a的值有关
【答案】A
【分析】求出点到圆心的距离与半径比较大小即可得结论
【详解】圆的圆心，半径，
因为，
所以点在圆外，
故选：A
4．已知圆，则圆关于点对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】圆关于点对称只是圆心的位置发生了变化，因此只需求圆心关于点对称后的坐标即可解决.
【详解】圆的圆心为，半径为，
关于对称的点为，
圆对称后只是圆心位置改变，圆的半径不会变化，仍为，
因此所求的圆的方程为.
故选：D
5．（多选）已知圆的标准方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为B．点在圆内
C．圆的半径为5D．点在圆内
【答案】ABC
【分析】根据给定圆的方程，结合点与圆的位置关系逐项判断作答.
【详解】圆的圆心为，半径为5，AC正确；
由，得点在圆内，B正确；
由，得点在圆外，D错误.
故选：ABC
6．（多选）若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】由题意可知圆心在直线上，设圆心坐标为，由求得或，再根据圆的标准方程即可求解.
【详解】∵圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，∴圆心在直线上．
设圆心坐标为，则由，解得或，
∴圆的标准方程为或．
故选：AD．
7．已知点与圆，P是圆C上任意一点，则的最小值是 ．
【答案】5
【分析】先判断点在圆外，然后可得的最小值为
【详解】圆的圆心为，半径，
因为，所以点在圆外，
所以的最小值为，
故答案为：5
8．直线l平分圆的周长的充要条件是直线l的方程为 ．
【答案】或
【分析】过原点的直线一定平分圆的周长，故可得答案.
【详解】直线l平分圆的周长，
则直线l必过原点.
所以直线l的方程为或.
故答案为：或
9．参数方程表示圆心为 ，半径为 的圆，化为标准方程为 ．
【答案】 1
【分析】方法一：根据参数方程的定义可得圆心和半径，进而可得圆的标准方程；方法二：将参数方程整理得圆的标准方程，进而可得圆心和半径.
【详解】方法一：从参数方程中可以可得：圆心为，半径，
所以圆的标准方程为．
方法二：参数方程变形为平方相加，得到标准方程，
所以圆心坐标为，半径．
故答案为：；1；.
10．直角三角形ABC的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上．圆M是三角形ABC的外接圆，则圆M的标准方程为 ．
【答案】
【分析】首先设点，根据垂直关系，列式求，再根据圆心和半径求圆的方程.
【详解】由于点C在x轴上，设点．
又∠ABC为直角，所以.
即，解得x＝4，即,
由于是以为直角的直角三角形，
则该三角形的外接圆圆心为线段AC的中点，则，
所以圆M的半径为，
因此圆M的标准方程为.
故答案为：
1．在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出圆心坐标以及圆的半径，即可得出圆的标准方程.
【详解】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点，
圆的半径为，
因此，圆的标准方程为.
故选：A.
2．已知圆C的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件求出圆心与半径写出圆的方程.
【详解】因为圆C的一条直径的两个端点是分别是和，
所以圆心为，直径为，
所以圆的标准方程是.
故选：C.
3．若点是圆的弦的中点，则弦所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出圆心坐标，由题意可得，从而可求出直线的斜率，进而可求出直线的方程.
【详解】因为圆心，，所以圆心，
因为是圆的弦的中点，
所以，
所以，则直线的方程为，即，
故选：C.
4．“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”是唐代诗人李颀《古从军行》这首诗的开头两句．诗中隐含着一个数学问题——“将军饮马”：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，那么“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】C
【分析】首先利用对称关系求出点关于直线的对称点的坐标，进一步利用两点间的距离公式求出最小距离．
【详解】设点关于直线的对称点坐标为
故，解得，即对称点，故原点到点的距离，
所以最短距离为．
故选：C
5．已知圆C的圆心为，半径为3，l是过点的直线．
(1)判断点P是否在圆上，并证明你的结论；
(2)若圆C被直线l截得的弦长为，求直线l的方程．
【答案】(1)点P不在圆上，证明见解析
(2)x＝0或3x＋4y－8＝0．
【分析】(1)将点的坐标导入圆的方程与1比较大小即可.
(2)已知弦长，求直线方程，求出圆心到直线的距离，用垂径定理，解直角三角形即可，特别要注意斜率不为0的情况.
【详解】（1）点P不在圆上．
证明如下：
∵，
∴由圆的定义可知点P是在圆C的内部，不在圆上；
（2）由直线与圆的位置关系可知，圆心C到直线l的距离，
①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时，满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设直线l为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0，
又∵，解得，此时直线l为3x＋4y－8＝0，
综上所述：直线l的方程为x＝0或3x＋4y－8＝0．
6．已知圆C经过点且圆心C在直线上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用待定系数法即得；
（2）根据相关点法，设出点M的坐标，利用中点公式结合圆的方程即得.
【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为，则
，
解之得，
所以圆C的标准方程为；
（2）设M（x，y），，由及M为线段EF的中点得，
解得,
又点E在圆C：上，
所以有，
化简得：,
故所求的轨迹方程为．
1．已知，为圆上两个不同的点（为圆心），且满足，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出，再利用数量积的运算律求解作答.
【详解】依题意，，由，得，解得，
所以.
故选：C
2．已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．13B．11C．9D．8
【答案】D
【分析】根据圆的性质可得，故求的最小值，转化为求的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.
【详解】如图所示，
圆的圆心为，半径为4，
圆的圆心为，半径为1，
可知，
所以，
故求的最小值，转化为求的最小值，
设关于直线的对称点为，设坐标为，
则 ，解得，故，
因为，可得，
当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
3．（多选）设有一组圆：，下列命题正确的是（ ）
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为
【答案】ABD
【分析】对A根据圆心横纵坐标关系即可判断，对B和C代入，再利用判别式即可判断，对D由圆的半径不变即可判断.
【详解】A选项，圆心为，一定在直线上，A正确；
B选项，将代入得：，其中，方程无解，即所有圆均不经过点，B正确；
C选项，将代入得：，其中，
故经过点的圆有两个，故C错误；
D选项，所有圆的半径为2，面积为，故D正确.
故选：ABD.
4．我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便，对于勾股定理我国历史上有多位数学家创造了不同的面积政法，如三国时期的刘徽、清代的梅文鼎、华蘅芳等．下图为华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，若图中，，，以点C为原点，为x轴正方向．为y轴正方向，建立平面直角坐标系，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不㫿一）
【分析】求出点D坐标及到三个正方形项点的距离可得答案．
【详解】
由图可得，，，，，，
所以，，，，
所以，，
，，
，，
点D到三个正方形项点的距离分别为，，，，，，，，，
所以圆D的一个方程为．
故答案为：（答案不唯一）．
5．已知圆C经过点且圆心C在直线上.
(1)求圆C方程；
(2)若E点为圆C上任意一点，且点，求线段EF的中点M的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用待定系数法运算求解；
（2）根据题意利用相关点法运算求解.
【详解】（1）设圆C的标准方程为，可知其圆心为，
由题意可得，解得，
所以圆C的标准方程为.
（2）设，
由及M为线段EF的中点得，解得，即，
又因为点E在圆C：上，则，
化简得：，
故所求的轨迹方程为．
相关试卷
北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线2 双曲线2.1 双曲线及其标准方程优秀练习题： 这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册<a href="/sx/tb_c4017361_t7/?tag_id=28" target="_blank">第二章 圆锥曲线2 双曲线2.1 双曲线及其标准方程优秀练习题</a>，文件包含北师大版数学高二选择性必修第一册221双曲线及其标准方程分层练习原卷版docx、北师大版数学高二选择性必修第一册221双曲线及其标准方程分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
数学选择性必修 第一册1.1 椭圆及其标准方程精品课后练习题： 这是一份数学选择性必修 第一册<a href="/sx/tb_c4017358_t7/?tag_id=28" target="_blank">1.1 椭圆及其标准方程精品课后练习题</a>，文件包含北师大版数学高二选择性必修第一册211椭圆及其标准方程分层练习原卷版docx、北师大版数学高二选择性必修第一册211椭圆及其标准方程分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
数学选择性必修 第一册2.2 圆的一般方程精品课时练习： 这是一份数学选择性必修 第一册<a href="/sx/tb_c4017352_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.2 圆的一般方程精品课时练习</a>，文件包含北师大版数学高二选择性必修第一册22圆的一般方程分层练习原卷版docx、北师大版数学高二选择性必修第一册22圆的一般方程分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共13页， 欢迎下载使用。
