数学选择性必修 第一册2.2 圆的一般方程精品课时练习

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1．将圆平分的直线是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知所求的直线过圆心，所以先求出圆的圆心，然后将圆心坐标代入各直线方程验证即可.
【详解】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，
由，得，
所以圆心坐标为，
对于A，因为，所以直线不过圆心，所以A错误，
对于B，因为，所以直线不过圆心，所以B错误，
对于C，因为，所以直线过圆心，所以C正确，
对于D，因为，所以直线不过圆心，所以D错误，
故选：C
2．求以为圆心，且经过点的圆的一般方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用两点间的距离公式求得圆的半径，写出圆的标准方程，进而得到圆的一般方程，得到答案.
【详解】由题意得，圆的半径，
所以圆的方程为，
所以圆的一般方程为.
故选：C.
3．若圆关于直线l的对称图形为圆，则直线l的方程为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别求出两个圆的圆心，直线l就是两个圆心的垂直平分线.
【详解】的圆心为，半径为；
的圆心为，半径为.
由题意知，直线l是线段的垂直平分线.
线段的中点为，斜率为，所以直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即.
故选：B.
4．已知圆，则圆心及半径分别为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求得圆的标准方程，进而求得圆心和半径.
【详解】圆，
即，
所以圆心为，半径为.
故选：A
5．（多选）若直线始终平分圆的周长，则的取值可能是( )
A．B．-
C．D．2
【答案】ABC
【分析】由题可知直线过圆心，有，代入利用二次函数的性质求出范围即可判断.
【详解】由题可知直线过圆心，有，即，
则，故ABC符合题意．
故选：ABC．
6．（多选）已知方程，下列叙述正确的是（ ）
A．方程表示的是圆
B．方程表示的圆的圆心在x轴上
C．方程表示的圆的圆心在y轴上
D．当时，方程表示以为圆心，半径为1的圆
【答案】BD
【分析】根据圆的一般方程的条件，对各个选项进行逐一判断．
【详解】对于选项A：因为，，，
由方程表示圆的条件得，即，解得，
所以只有当时才表示圆，故A错误；
对于选项B、C：因为，，
若方程表示圆，圆心坐标为，圆心在x轴上，故B正确，C错误；
对于选项D：当时，半径，故D正确；
故选：BD.
7．若方程表示圆，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据圆的一般方程的形式，列出关于不等式，即可求解.
【详解】由方程表示圆，则满足，
整理得，解得或，
即实数的取值范围是.
故答案为：.
8．圆的圆心到直线的距离是 ．
【答案】3
【分析】确定圆心坐标，利用点到直线的距离公式即得.
【详解】圆C的标准方程为，圆心，半径为2，
∴圆的圆心到直线的距离是．
故答案为：3.
9．已知实数满足，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据点和圆的位置关系求得正确答案.
【详解】由得，
所以点是以为圆心，半径为上的圆上的点，
表示点与点两点间距离的平方，
，所以的最大值为.
故答案为：
10．已知圆关于直线成轴对称，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据圆心在直线上，求得，再由圆的方程，得到，进而求得取值范围.
【详解】由圆的方程，可得圆心坐标为，
因为圆关于直线成轴对称，
即圆心在直线上，可得，解得，
由圆的方程化为标准的方程，可得，
所以，可得，
所以，即取值范围为.
故答案为：.
1．若直线：平分圆：的面积，则的最小值为（ ）．
A．8B．C．4D．6
【答案】A
【分析】根据题意可知：直线：过圆心，进而可得，再利用基本不等式运算求解.
【详解】由题意可知：圆：的圆心为，
若直线：平分圆：的面积，
则直线：过圆心，
可得，即，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8.
故选：A.
2．若当方程所表示的圆取得最大面积时，则直线的倾斜角（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】首先将圆的一般方程化为标准方程，并求半径最大时，的值，并求此时直线的斜率和倾斜角.
【详解】化为标准式为，
所以时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，所以倾斜角为.
故选：C
3．圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将圆的一般方程化为标准方程得圆心及半径，圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离加半径.
【详解】圆化为标准方程得，
圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为
所以圆上的点到直线的最大距离为.
故选:C.
4．两圆和的圆心连线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】确定两圆的圆心，求得连心线的斜率，即可求得答案.
【详解】由题意即，
即，
故两圆的圆心坐标分别为，则连心线斜率为，
则两圆心的连线方程为即，
故选：A．
5．已知方程.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若m的值为（1）中能取到的最大整数，则得到的圆设为圆E，若圆E与圆F关于y轴对称，设为圆F上任意一点，求到直线的距离的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值
【分析】（1）根据表示圆的限制条件可得实数m的取值范围；
（2）先确定圆E的方程，再利用对称性得到圆F的方程，根据圆心到直线的距离可得答案.
【详解】（1）若此方程表示圆，则，
解得，
即实数m的取值范围是；
（2）由（1）可知，此时圆E：，
圆心坐标为，半径为1，
因为圆F和圆E关于y轴对称，
所以圆F圆心坐标是，半径是1，
故圆F方程为，
则圆心到直线的距离，
故到直线的距离的最大值为，最小值.
6．已知圆经过点，且被直线平分.
(1)求圆的一般方程；
(2)设是圆上的动点，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线方程求定点，结合圆的性质，可得圆心，利用两点之间距离公式，可得答案；
（2）设动点坐标，根据题意，建立等量关系，代入圆的方程，可得答案.
【详解】（1）直线恒过点.
因为圆恒被直线平分，
所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，又圆经过点，所以圆的半径，
所以圆的方程为，即.
（2）设.因为为线段的中点，所以，
因为点是圆上的动点，所以，
即，所以的轨迹方程为.
1．点，点是圆上的一个动点，则线段的中点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设出点坐标，得出点坐标，代入圆方程，即可得到线段的中点M的轨迹方程.
【详解】设点的坐标为，因为点是线段的中点，
可得，点在圆上，
则，即.
故选：A.
2．已知，，点为圆上任意一点，则面积的最大值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出直线的方程，再求出点P到直线距离的最大值作答.
【详解】圆的圆心，半径，直线的方程为：，
于是点到直线：的距离，而点在圆上，
因此点到直线距离的最大值为，又，
所以面积的最大值为.
故选：D

3．已知为圆上的动点，则的最大值为 .
【答案】72
【分析】设，则，，然后化简可求得其最大值.
【详解】由，得，则圆心，半径，
所以，
设，由在圆上，可得，
又，
则，
，∴当时，取到最大值.
故答案为：72.
4．已知点和圆为圆上的动点.
(1)求的中点的轨迹方程；
(2)若，求线段中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出的坐标，利用代入法求得的轨迹方程.
（2）设的中点为，连接，利用勾股定理列方程，化简求得线段中点的轨迹方程.
【详解】（1）设点，
，整理得，
点在圆上，
，
整理得点的轨迹方程为.
（2）设的中点为，在中，，
设为坐标原点，连接，则，
，
.
故线段中点的轨迹方程为.