北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线2 双曲线2.1 双曲线及其标准方程优秀练习题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线2 双曲线2.1 双曲线及其标准方程优秀练习题，文件包含北师大版数学高二选择性必修第一册221双曲线及其标准方程分层练习原卷版docx、北师大版数学高二选择性必修第一册221双曲线及其标准方程分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。

一、单选题
1．若点在双曲线上，双曲线的焦点为，且，则等于（ ）
A．2B．4C．8D．12
【答案】B
【分析】先由双曲线方程求出，再根据双曲线定义结合已知条件解方程组可得结果.
【详解】双曲线中，得，则，
由双曲线的定义可得，
因为，所以，解得，
故选：B
2．已知，，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线B．双曲线左支
C．一条射线D．双曲线右支
【答案】C
【分析】根据给定条件，得，即可确定轨迹作答.
【详解】因为，于是有，
所以动点P的轨迹是一条射线．
故选：C
3．双曲线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线中, , 的关系即可求解.
【详解】由题意得，所以，
又因为焦点在轴上，所以焦点坐标为.
故选：A.
4．在双曲线的标准方程中，若，则其标准方程是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】D
【分析】双曲线的标准方程有两种情形，一是焦点在x轴，另一种焦点在y轴，根据a与b写出标准方程即可．
【详解】在双曲线的标准方程中，，
当双曲线的焦点在x轴上时，它的标准方程是；
当双曲线的焦点在y轴上时，它的标准方程是.
所以双曲线标准方程是或.
故选：D
5．在平面直角坐标系中，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
【答案】C
【分析】由双曲线方程的特征计算得m的范围，再由集合的包含关系可得结果.
【详解】∵表示双曲线，
∴.
∴是表示双曲线的充要条件.
故选：C.
6．已知点是双曲线的左焦点，是双曲线右支上一动点，过点作轴垂线并延长交双曲线左支于点，当点向上移动时，的值（ ）
A．增大B．减小C．不变D．无法确定
【答案】C
【分析】令双曲线右焦点为，由对称性可知，，结合双曲线的定义即可得出结果.
【详解】令双曲线右焦点为，由对称性可知，，
则，为常数，
故选：C.
二、多选题
7．若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（ ）
A．若为椭圆，则B．若为双曲线，则或
C．曲线可能是圆D．若为双曲线，则焦距为定值
【答案】BC
【分析】二次曲线要表示椭圆需要满足且，要表示双曲线需要满足，要表示圆需要满足.
【详解】若为椭圆,则且，故且 ，所以选项A错误；
若为双曲线,则，故或，所以选项B正确；
若为圆,则，故，所以选项C正确；
若为双曲线，则或，当时，双曲线化为标准形式为，此时，所以 不是定值，则焦距也不为定值，同理焦距也不为定值，故选项D错误.
故选:BC.
8．已知曲线，下列结论正确的是（ ）
A．若，则是椭圆，其焦点在轴上
B．若，则是双曲线，其焦点在轴上
C．若，则是圆
D．若，，则是两条直线
【答案】AB
【分析】根据各曲线的标准方程分别判断即可.
【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确，
对于B，因为，所以可化为，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故B正确；
对于C，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，若，不是圆，故C错误；
对于D，若，，则可化为，当时，无意义，当时，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D错误；
故选：AB.
三、填空题
9．已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
【分析】根据双曲线标准方程的特点求解.
【详解】 是焦点在x轴的双曲线，
，即 ；
故答案为： .
10．双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是 ．
【答案】
【分析】设双曲线的方程为，根据题意列式求解即可.
【详解】设双曲线的方程为，
由题意可得：，解得，
所以双曲线的标准方程是.
故答案为：.
四、解答题
11．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点在轴上，离心率为，两顶点间的距离为6；
(2)以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得双曲线的标准方程.
（2）根据椭圆的焦点和顶点，求得双曲线的，从而求得双曲线的标准方程.
【详解】（1）设双曲线的方程为.
由，，得，，，
所以双曲线的方程为.
（2）由题意可知，双曲线的焦点在轴上.
设双曲线的方程为，则，，，
所以双曲线的方程为.
12．已知的两个顶点分别为椭圆的左焦点和右焦点，且三个内角满足关系式.
(1)求线段的长度；
(2)求顶点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆中的关系直接求解；
（2）利用正弦定理角化边，结合双曲线的定义确定的轨迹，根据双曲线中之间的关系求解.
【详解】（1）椭圆的方程为，
椭圆的方程为，
分别为椭圆的左焦点和右焦点，
，
，线段的长度；
（2）中根据正弦定理得：(为外接圆半径)，
，
，
,
．
点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支，且不包含右顶点，
设该双曲线方程为
且，
顶点的轨迹方程为
1．已知点，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，利用待定系数法求轨迹方程.
【详解】，，又动点满足，
动点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，
设双曲线方程为，
则有，
动点的轨迹方程为．
故选：A．
2．如图，小明在ABCD外的某处出发，在ABCD范围内存在一条界线，已知小明出发点与界线一侧某点的距离为a，若该界线另一侧也始终存在一个点与小明出发点的距离a，根据你的判断，你觉得该界线可能是（ ）

A．椭圆的一部分B．一段圆弧
C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分
【答案】C
【分析】假设小明在外的一定点和界线一侧定点，在另一侧存在一个点，设与这条界线交于点，在中，得到，结合双曲线的定义，即可求解.
【详解】根据题意，假设小明在外的一定点，在界线一侧定点，在界线另一侧也始终存在一个点，使得，
设与这条界线交于点，
在中， 可得，其中和为定点，
由双曲线的定义得，该界线可能是双曲线一部分.
故选：C.

3．（多选）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当时，曲线C是椭圆B．当或时，曲线C是双曲线
C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则D．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.
【详解】对于A，当时，，则曲线是圆，A错误；
对于B，当或时，，曲线是双曲线，B正确；
对于C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，C正确；
对于D，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，D正确．
故选：BCD
4．设点P在双曲线上，，为双曲线的两个焦点，且，则的周长等于 .
【答案】22
【分析】根据双曲线方程可求得，结合双曲线定义以及可求得，即可得答案.
【详解】由题意知，，
又，
∴，，
故的周长为，
故答案为：22
5．已知曲线C： .
(1)求t为何值时，曲线C分别为椭圆、双曲线；
(2)求证：不论t为何值，曲线C有相同的焦点．
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，由椭圆与双曲线的标准方程的特点，即可得到结果；
（2）根据题意，分别计算曲线C表示椭圆与双曲线时的焦点，即可得到结果.
【详解】（1）当时，且，则曲线C为椭圆；
当时，，则曲线C为双曲线．
（2）由（1）可知，当时，曲线C是椭圆，且，
因此，
∴焦点为；
当时，双曲线C的方程为，
∵，
∴焦点为.
综上所述，无论为何值，曲线C有相同的焦点．
1．已知、分别为双曲线的左、右焦点，且，点为双曲线右支上一点，为内心，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，，，可得，可以将，转换为，结合双曲线的定义以及即可求解.
【详解】如图所示：
由题意为内心，
设，，，内切圆半径为，
所以，又因为，
即，
化简得，
由双曲线定义可知，因此有；
注意到，且以及，
联立并化简得，即 ，
解得或（舍去，因为）
故选：C
2．（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．若平面内两定点，则满足的动点的轨迹为椭圆
B．双曲线与直线有且只有一个公共点
C．若方程表示焦点在轴上的双曲线，则
D．过椭圆一焦点作椭圆的动弦，则弦的中点的轨迹为椭圆
【答案】BD
【分析】根据椭圆定义可判断A；双曲线与直线联立求解可判断B；根据方程表示焦点在轴上的双曲线求出的范围可判断C；设椭圆方程为，弦的中点为， 当直线与轴不垂直时，设弦方程为，与椭圆方程联立利用韦达定理可得动弦的中点横、纵坐标，得，代入可得中点的轨迹方程，当直线与轴垂直时直接得答案可判断D.
【详解】对于A，根据椭圆定义，若平面内两定点，则满足且
的动点的轨迹为椭圆，故A错误；
对于B，由得，所以双曲线与直线有且只有一个公共点，故B正确；

对于C，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则，方程组无解，故C错误；
对于D，不妨设椭圆方程为，，
则，弦的中点为，
当直线与轴不垂直时，设弦方程为，
与椭圆方程联立可得，
所以动弦的中点横坐标为，中点纵坐标为，
所以，可得，代入可得，当直线与轴垂直时，弦的中点为在上，综上弦的中点的轨迹为椭圆，故D正确.

故选：BD.
3．已知是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】利用双曲线定义将转化，用到右焦点的距离表示，由点与右焦点位于双曲线右支异侧，利用两点之间线段最短可得最小值.
【详解】由题意知，.
设双曲线的右焦点为，
由是双曲线右支上的点，则，
则，
当且仅当三点共线时，等号成立.
又，则.
所以，的最小值为.
故答案为：.

4．已知双曲线与椭圆的焦点重合，且与的离心率之积为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设双曲线的左､右顶点分别为，若直线与圆相切，且与双曲线左､右两支分别交于两点，记直线的斜率为的斜率为，那么是否为定值？并说明理由．
【答案】(1)
(2)为定值，理由见解析
【分析】（1）设双曲线标准方程，由焦点重合可得的值，再根据离心率关系可求的值，从而得双曲线方程；
（2）设直线，，利用直线与圆相切得的等式关系，联立椭圆与直线可得交点坐标关系，再根据坐标运算即可得结论.
【详解】（1）设双曲线的标准方程为．
易知椭圆的焦点坐标为，离心率为，
所以，
因为与的离心率之积为，所以的离心率为，
所以，即，解得．
故双曲线的标准方程为．
（2）是定值，理由如下：

设，其中，
因为直线与圆相切，所以，即，
联立，消去并整理得，
所以．
因为，则，即，
所以．
由题意得．
，
即为定值．