北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线2 双曲线2.2 双曲线的简单几何性质精品同步训练题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册第二章 圆锥曲线2 双曲线2.2 双曲线的简单几何性质精品同步训练题，文件包含北师大版数学高二选择性必修第一册222双曲线的简单几何性质分层练习原卷版docx、北师大版数学高二选择性必修第一册222双曲线的简单几何性质分层练习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的性质得到，，即可解得，从而求得答案.
【详解】由题意得：，解得：，
即双曲线的方程为，所以的渐近线方程是.
故选：A.
2．已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，焦距为6，点在双曲线上，且，，则双曲线的实轴长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】A
【分析】运用代入法，结合已知等式进行求解即可.
【详解】把代入中，得，即，
因为，，
所以，
又，所以，解得，舍去，则.
故选：A
3．若双曲线的渐近线方程为，实轴长为 ，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为（ ）
A．或B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的性质求解.
【详解】由题可得，解得，
因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为.
故选:C.
4．已知双曲线的右顶点为P，过点P的直线l垂直于x轴，并且与两条渐近线分别相交于A，B两点，则（ ）
A．B．2C．4D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义求出双曲线的渐近线，然后求出点的坐标进行求解即可．
【详解】双曲线的右顶点，直线l的方程为，
双曲线的两条渐近线方程为或，
当时，或，即，，
则.
故选：C．
5．实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】A
【分析】依题意可得，即可得到，从而求出离心率.
【详解】依题意可得等轴双曲线中，则，
所以离心率.
故选：A
6．如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线（1，2，3，4），其离心率分别为ei．则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据双曲线和椭圆的离心率与图形的关系即可判断.
【详解】根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在之间，则都大于，
根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故，
根据双曲线开合程度越大，则离心率越大，故，
综上，
故选：C.
二、多选题
7．已知点是双曲线上任意一点，，是的左、右焦点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的离心率为
C．D．的渐近线方程为
【答案】AB
【分析】根据方程可得的值，结合选项可得答案.
【详解】在中，，，，，A正确；
的离心率，B正确；
由双曲线的定义或，C错误；
的渐近线方程为，即，D错误.
故选：AB．
8．若直线与双曲线仅有一个交点，则a的值可以是（ ）
A．4B．2C．1D．
【答案】BD
【分析】由双曲线的性质，结合直线与双曲线的交点个数判断a的值.
【详解】由题设，双曲线顶点坐标为，要使与双曲线仅有一个交点，
所以.
故选：BD
三、填空题
9．若双曲线的焦距是，则实数 ．
【答案】/0.125
【分析】根据双曲线标准方程直接求解.
【详解】由双曲线，即，
且焦距为，
即，
解得，
故答案为：.
10．旅行者号探测器（Vgager2）于年月日在肯尼迪航天中心发射升空，迄今为止已经造访四颗气态巨行星（木星、土星、天王星、海王星）及其卫星，它的运行轨道为双曲线，假设其方程为，请写出一个与此双曲线的渐近线相同的双曲线标准方程 ．
【答案】（的方程均可）
【分析】根据同渐近线的双曲线方程可得结果.
【详解】与双曲线渐近线相同的双曲线的方程为.
故答案为：（的方程均可）.
四、解答题
11．求下列各曲线的标准方程：
(1)焦点在轴上，焦距为，短轴长为4的椭圆；
(2)一个焦点为，实轴长为6的双曲线.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据椭圆的性质求解；
(2)根据双曲线的性质求解.
【详解】（1）由题可设椭圆的标准方程为，
由题知，，
，
椭圆的标准方程为.
（2）由题可设双曲线的标准方程为，
由题知，
，
双曲线的标准方程为.
12．已知双曲线的实轴长为2，右焦点为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线与双曲线交于不同的两点，，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点坐标可求，然后可得方程；
（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案.
【详解】（1）由已知，，
又，则，
所以双曲线方程为.
（2）由，得，
则，
设，，则，，
所以.
1．设A，B为双曲线右支上的两点，若线段AB的中点为，则直线AB的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用点差法，结合一元二次方程根与系数关系进行求解判断即可.
【详解】设，
则有，两式相减，得，
因为线段AB的中点为，
所以，
因此由，
即直线AB的斜率为，方程为，
代入双曲线方程中，得，
因为，
所以线段AB存在，
故选：C
2．已知双曲线：的左､右焦点分别是，，是双曲线上的一点，且，，，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据且，，，利用余弦定理求得c，再利用双曲线的定义求得a即可.
【详解】解：设双曲线的半焦距为.
由题意，点在双曲线的右支上，，，
由余弦定理得，
解得，即，，
根据双曲线定义得，
解得，
故双曲线的离心率.
故选：D
3．（多选）已知双曲线，则（ ）
A．双曲线E的实轴长为24B．双曲线E的焦距为26
C．双曲线E的渐近线的斜率为D．双曲线E的渐近线的斜率为
【答案】BD
【分析】根据题意，由双曲线的标准方程即可得到，即可得到结果.
【详解】设双曲线E的焦距为，
因为，，所以，
所以双曲线E的实轴长，焦距，故A错误，B正确；
渐近线的斜率为，故C错误，D正确．
故选：BD
4．（多选）双曲线的离心率为，双曲线的离心率为，则的值不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】根据双曲线的离心率表示，利用基本不等式即可得出范围，求得所求范围.
【详解】
，
当且仅当即时取等号，
所以.
故选：CD.
5．已知双曲线.
(1)求与双曲线C有共同的渐近线，且实轴长为6的双曲线的标准方程；
(2)P为双曲线C右支上一动点，点A的坐标是，求的最小值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据相同渐近线方程可得双曲线方程为，即可根据实轴求解，
（2）根据点点距离公式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】（1）由题可设所求双曲线的方程为,
①当时，方程为，
令得，
即双曲线方程为,即
②当时，方程为，
令得，
即双曲线方程为，
所以双曲线的标准方程为或
（2）设P点的坐标为，则满足，
.
则当时，有最小值为.
6．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点，点在双曲线上．求：
(1)双曲线的方程；
(2)；
(3)的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可设双曲线的方程为，待定系数法即可求解；
（2）由题意可得，解得，再求得，根据数量积的坐标表示即可求解；
（3）求得的底，高，再根据三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）因为，
所以可设双曲线的方程为．
因为过点，所以，即，
所以双曲线的方程为．
（2）由（1）可得，所以，
所以，
因为点在双曲线上，所以，即，
所以．
（3）的底，
由（2）知，
所以的高，
所以．

1．已知双曲线的左焦点为，右顶点为，一条渐近线与圆在第一象限交于点，交轴于点，且，则的离心率为（ ）
A．B．2
C．D．
【答案】C
【分析】连接，联立方程组求得，结合，得到，化简得到，进而得出离心率的方程，即可求解.
【详解】如图所示，连接，由双曲线的渐近线方程为，
根据题意，点在第一象限，将代入，
可得，
可得
由求根公式，可得，
因为，且，所以，所以点
由，可得，即，
因为，所以，即，化简得，
两边同除以，得，解得或（舍去）．
故选：C.

2．已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于两点，则 .
【答案】
【分析】利用双曲线的离心率，求解渐近线方程，然后求解圆的圆心到直线的距离，转化求解即可．
【详解】双曲线的离心率为，
可得，所以，
所以双曲线的渐近线方程为：，
一条渐近线与圆交于，两点，圆的圆心，半径为1，
圆的圆心到直线的距离为：，
所以．
故答案为：．
3．在平面直角坐标系中，已知双曲线Ｃ的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为，其中一条渐近线的倾斜角为.
(1)求C的标准方程；
(2)过点作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段上取一点E满足，证明：点E在一条定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可得双曲线焦点在轴上，且，，即可求得双曲线方程；
（2）根据双曲线对称性以及交点特征，设出直线方程并与双曲线联立，利用韦达定理根据题目中的表达式代入整理可知点E在定直线上.
【详解】（1）根据题意，设双曲线的方程为，
由题知，，可得；
所以双曲线方程为.
（2）易知为双曲线的右焦点，如下图所示：

由题知直线l斜率存在，
根据对称性，不妨设斜率为，故直线的方程为，
代入双曲线方程得，
设，，
由韦达定理有，，
且，，
设，点E在线段上，所以
由可得
化简得，
代入和并化简可得，
即存在点E满足条件，并且在定直线上.
4．已知双曲线实轴左右两个顶点分别为，双曲线的焦距为，渐近线方程为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线与双曲线交于两点．设的斜率分别为，且，求的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦距、渐近线方程和双曲线的关系可直接求得结果；
（2）设，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论；利用两点连线斜率公式和点在双曲线上的关系可化简，得到关于的方程，解方程求得，进而得到直线方程.
【详解】（1）双曲线的焦距，；
双曲线的渐近线方程为，即，，
又，，，双曲线的标准方程为：.
（2）由（1）得：，，
设，，

由题意知：直线的斜率一定存在，则可设，
由得：，
，解得：且，
，，；
，，即，
，
解得：或，又且，，
直线的方程为：，即.
【点睛】关键点点睛；本题考查直线与双曲线位置关系的综合应用，解题关键是能够结合点在双曲线上，将所给等量关系转化为与韦达定理有关的等式的形式，从而代入韦达定理的结论来构造方程求解出变量的值.