选择性必修 第一册3.2 抛物线的简单几何性质精品测试题

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一、单选题
1．若抛物线上一点到准线的距离等于它到顶点的距离，则点的坐标可以为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】先求得焦点坐标，然后根据抛物线的定义求得点的坐标.
【详解】设抛物线的焦点为，则，
依题意可知，所以，
则.
所以点坐标为：、.
故选：BD

2．抛物线的通径长为（ ）
A．8B．4C．D．
【答案】C
【分析】先求得抛物线的标准方程，然后根据通径的知识求得正确答案.
【详解】抛物线，即，
可得，因此通径长为.
故选：C
3．已知点M为抛物线上的动点，过点M向圆引切线，切点分别为P，Q，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】由四边形的面积可知，即可求解.
【详解】如图，圆心为抛物线的焦点，
四边形的面积，
∴，
∴当最小时，即点M到准线的距离最小值为2，
∴，
故选:.
4．已知抛物线的焦点为，，是上一点，，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】根据抛物线的几何性质，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离即可.
【详解】由抛物线方程 ，得p=1，准线方程为 ，
点A到焦点F的距离等于到准线的距离，即 ，
解得 ；
故选：A.
5．如图，我市某地一拱桥垂直轴截面是抛物线，已知水利人员在某个时刻测得水面宽，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】代入计算即可.
【详解】设B点的坐标为 ，由抛物线方程 得 ，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为2米.
故选：D
6．抛物线上有两个点，焦点，已知，则线段的中点到轴的距离是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即可求出线段中点的横坐标，即得到答案.
【详解】由已知可得抛物线的准线方程为，
设点的坐标分别为和，
由抛物线的定义得，即，
线段中点的横坐标为，
故线段的中点到轴的距离是.
故选：.
二、多选题
7．对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是（ ）
A．开口向上，准线方程为y＝－
B．开口向上，焦点为
C．开口向右，焦点为(1,0)
D．开口向右，准线方程为y＝－1
【答案】AB
【分析】根据抛物线方程写出焦点、准线方程，并判断开口方向即可.
【详解】由题设，抛物线可化为，
∴开口向上，焦点为，准线方程为.
故选：AB
8．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（ ）．
A．若，则
B．若，则
C．若，则PB平分
D．若，延长AO交直线于点M，则M，B，Q三点共线
【答案】ACD
【分析】运用数形结合的思想，将问题转化为解析几何问题，再结合抛物线的性质及几何图形特点逐项验证结果即可得出答案．
【详解】对于选项，若，则抛物线,的焦点为,
由已知条件得，直线的方程为，可得，，选项正确；
对于选项,若，则抛物线,的焦点为,
由已知条件得，直线的方程为，可得，
，选项不正确；
对于选项,时，∵，∴，
又∵，∴平分，选项正确；
对于选项，若，则抛物线,的焦点为,
延长交直线于点，则，由选项可知，则M，B，Q三点共线，故正确；
故选：．
三、填空题
9．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，，P为C的准线上一点，则的面积为 ．
【答案】25
【分析】利用抛物线的性质，结合三角形面积公式即可解决本题.
【详解】设抛物线的焦点到准线的距离为，则由题意，是抛物线的通径，，所以.
从而P到直线l的距离也是5，所以的面积为.
故答案为：25
10．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.则抛物线C的方程为 .
【答案】y2＝8x
【分析】设出抛物线方程，根据定义求出p，即可写出抛物线的方程.
【详解】由题意可设抛物线方程为y2＝2px.
其准线方程为x＝－，根据定义可得4＋＝6，解得p＝4，
所以抛物线C的方程为y2＝8x.
故答案为：y2＝8x
四、解答题
11．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是；
（2）准线方程是；
（3）焦点到准线的距离是．
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标可写出抛物线的标准方程；
（2）根据抛物线的准线方程可写出抛物线的标准方程；
（3）根据抛物线的焦点到准线的距离可写出抛物线的标准方程.
【详解】（1）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为，
则，可得，所以，抛物线的标准方程为；
（2）由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴上，设抛物线的标准方程为，
则，可得，因此，抛物线的标准方程为；
（3）抛物线的焦点到准线的距离为，
所以，抛物线的标准方程为或.
12．如图，O为坐标原点，过点P（2，0）且斜率为k的直线l交抛物线于，两点.
(1)求的值；
(2)求证：OM⊥ON.
【答案】(1)4
(2)证明见解析
【分析】（1）设出直线方程，将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可；
（2）求出的值结合（1）中求出的值，直接证明即可.
【详解】（1）直线l的方程为，
直线与抛物线联立得，消去y可得，
其中，
由韦达定理得；
（2）证明：，，所以，
又∵，∴.
设OM，ON的斜率分别为，，
则，，有，
则OM⊥ON.
1．过抛物线的焦点F的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别交于A，B两点，若，则直线AB的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.
【详解】分别过A，B两点作横轴的垂线，垂足分别为，
设直线AB的倾斜角为，
由题意可设，
因为，所以为钝角，如下图所示：

由，
因为，
所以有，
所以，
在直角三角形中中，，
所以．
故选：C
2．(多选)对标准形式的抛物线给出下列条件，其中满足抛物线的有（ ）
A．焦点在y轴上
B．焦点在x轴上
C．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
D．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为
【答案】BD
【分析】根据抛物线的标准方程及几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由抛物线的焦点坐标为，位于轴上，所以A不满足，B满足；
对于C中，设是抛物线上一点，为焦点，
则，所以C不满足
对于D中，由于抛物线的焦点为，若由原点向该直线作垂线，垂足为，设过该焦点的直线方程为，则，此时该直线存在，所以D满足．
故选：BD.
3．(多选)已知抛物线经过点，其焦点为，过点的直线与抛物线交于点，，设直线，的斜率分别为，，则（ ）
A． B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由点坐标代入求出，即可求出抛物线方程与焦点坐标，设直线，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据焦点弦公式判断B，根据数量积的坐标表示判断C，根据斜率公式判断D.
【详解】因为抛物线经过点，所以，解得，故A正确；
所以抛物线方程为，则焦点，
设直线，则，消去整理得，
则，所以，，
则，
，
所以，故B正确；
所以，，所以，故C错误；
，故D正确；
故选：ABD
4．抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，且（ 为坐标原点），，垂足为，则的面积是 .
【答案】
【分析】设，过作轴于，根据题意得到点的坐标为，代入抛物线的方程，求得，进而求得的面积，得到答案.
【详解】由抛物线方程可知，准线的方程为，如图所示，
设，其中，过作轴于，
在直角中，，
由，可得，故，
所以点的坐标为，
将此代入抛物线方程可得，解得或（舍去）
所以点的坐标为，所以.
故答案为：.

5．已知双曲线的左、右焦点分别为，与抛物线：的焦点重合，双曲线与抛物线的交点分别为，．
(1)求；
(2)求双曲线的实轴长．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出点的横坐标，再利用对称性求解作答.
（2）由（1）的信息求出，再利用双曲线定义计算作答.
【详解】（1）抛物线：的焦点，准线方程为，设，
由，得，解得，，

由抛物线、双曲线的对称性知，点关于x轴对称，所以.
（2）由（1）知，，，
所以双曲线的实轴长.
6．抛物线的焦点到准线的距离为.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义即可得解；
（2）不妨取抛物线的方程为，设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再求出中垂线方程，即可求出点坐标，即可求出，从而得解.
【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，
根据建系方案的不同，抛物线的标准方程有四种可能，
分别是，，，.
（2）在平面直角坐标系中，抛物线的位置并不影响的取值，因此不妨取抛物线的方程为，此时焦点，
根据题意，直线的斜率存在且不为，因此设直线的方程为，
与抛物线联立，得关于的一元二次方程，
则，设、，
则，，，
，
则，
线段的中点坐标为，中垂线方程为，
令，解得，即中垂线与轴交于，
所以，则.

1．直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于，两点．若，则（ ）
A．4B．C．8D．
【答案】C
【分析】首先根据焦半径公式并结合条件，得到点的坐标，即可求得弦长.
【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设，，，，
因为，所以，得，①
因为，所以，即，②
由方程①②可得，，
所以.
故选：C
2．(多选)直线与抛物线相交于A､B两点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线C的焦点是B．抛物线C的准线方程为
C．D．若，，则
【答案】AC
【分析】由抛物线方程写出焦点、准线判断A、B；联立直线与抛物线，应用韦达定义求的值判断C；根据抛物线定义判断D.
【详解】由，则其焦点为，准线方程为，A对，B错；

联立直线与抛物线得，则，而，
由，即，故，C对；
显然直线不过焦点，由抛物线定义有，
所以，D错.
故选：AC
3．设是抛物线上任意一点，是直线上任意一点，记，则 .
【答案】
【详解】易求得与直线平行，且与抛物线相切的直线的方程为，
切点为，直线与直线l交于点，
由曼哈顿距离的几何意义可得．
4．已知点在抛物线上，倾斜角为的直线l经过抛物线C的焦点F.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求线段AB的长及的面积.
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，即可得到结果；
（2）由题意可得直线的方程，联立直线与抛物线的方程，结合焦半径公式即可得到，再由点到直线的距离公式，即可得到的面积.
【详解】（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，可得，解得，
则抛物线方程为.
（2）由（1）可知，抛物线方程为，则，则直线的方程为，
即，设，，联立直线与抛物线方程可得，
消去可得，化简可得，则，
由抛物线焦半径公式可得，；
由点到直线的距离公式可知，点到直线的距离，
则.