北师大版 (2019)选择性必修 第一册4.2 直线与圆锥曲线的综合问题精品课时练习

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1．已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．相交或相切
【答案】D
【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案.
【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点，
所以D选项正确.
故选：D
2．若直线被圆所截得的弦长为，则与曲线的公共点个数为（ ）
A．1个B．2个C．1个或2个D．1个或0个
【答案】C
【分析】利用直线被圆所截得的弦长为，可得直线是圆的切线，根据圆内切于，可得直线与曲线相切或相交.
【详解】解：由题意得：
直线被圆所截得的弦长为
圆心到直线的距离为
直线是圆的切线，
圆内切于
直线与曲线相切或相交
故选：C
3．已知为椭圆上两点，为坐标原点，（异于点）为弦中点，若两点连线斜率为2，则两点连线斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先利用直线和椭圆的位置关系建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数关系式和中点坐标公式的应用求出结果．
【详解】由于直线AB的斜率为2，故设直线的方程为，
设，
故，整理得，
则，即，
故，
故．
利用中点坐标公式，，此时，
故．
故选：A．
4．已知直线交椭圆于两点，若点为两点的中点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用点差法求得直线的斜率.
【详解】椭圆，
依题意可知直线的斜率存在，
设，则，
两式相减并化简得，
即，
所以直线的斜率为.
故选：D
5．过点，且斜率为负数的直线l与函数的图象相交于A，B两点，若M是线段AB上的一个三等分点，则直线l的斜率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】联立直线与抛物线方程得韦达定理，由三等分点得，结合韦达定理即可求解.
【详解】由于直线过点，且斜率为负数，故可设直线的方程为，
联立与可得，
设,
则，
由于M是线段AB上的一个三等分点，所以，
进而可得所以，
故选：A

6．过抛物线：上一点作两条直线分别与抛物线相交于，两点，若直线的斜率为2，直线，的斜率倒数之和为3，则（ ）
A．B．5C．D．15
【答案】C
【分析】设，，表示出，，的斜率，然后利用直线，的斜率倒数之和为3，列方程可求得结果.
【详解】设，，故，则
因为在抛物线上，所以，
所以，
所以，
解之，得，
故选：C.

二、多选题
7．已知椭圆，为C的左、右焦点，P为C上一点，且，若交C点于点Q，则（ ）
A．周长为8B．
C．面积为D．
【答案】AD
【分析】根据椭圆方程，求出对应的，利用几何性质即可得出正确的选项
【详解】由题意，在椭圆中，，不妨设在轴上方，
则，，
所以，故B错；
的周长为，A正确；
设，
在中，
得，
所以，D正确；
，
所以，
故C不正确，
故选：AD．
8．已知抛物线，焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C相交于两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．AB的最小值为2
B．线段AB为直径的圆与直线相切
C．为定值
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据抛物线焦点弦的性质即可结合选项逐一判断.
【详解】对A，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，过焦点的弦中通径最短，所以AB最小值，故A不正确；
对B，如图，设线段AB的中点为D，过点A，B，D作准线的垂线，垂足分别为，，，由抛物线的定义可知，
所以,
所以以线段AB为直径的圆与直线相切，故B正确；
对C，设AB所在的方程为，
由消去得，
所以，，故C正确；
对D，由C得，
，故D正确．
故选:BCD
三、填空题
9．已知抛物线C的方程为，若倾斜角为锐角的直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于A，B两点，且，则直线l的倾斜角为 ．
【答案】
【分析】结合抛物线的定义，结合几何性质，即可求直线的倾斜角.
【详解】如图，直线为抛物线的准线，过点分别作垂直于，作，
因为，，且，所以,
则，，
所以，则，即直线的倾斜角为.

故答案为：
10．已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为
【答案】
【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程.
【详解】设点、，由中点坐标公式可得，所以，
因为，两式作差得，即，
即，所以，，
因此，直线的方程为，即.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解.
四、解答题
11．已知直线与抛物线.
(1)若直线与抛物线相切，求实数的值；
(2)若直线与抛物线相交于两点，且，求直线的方程；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线和抛物线相切，联立方程令，便可求得实数的值；
（2）根据韦达定理表达出，代入求解即可求得实数的值，从而解得直线方程.
【详解】（1）解：根据题意得：
直线与抛物线相切
联立，得
.
（2）设，由（1）方程联立可知
.
又，且
，满足
直线的方程为.
12．已知直线，椭圆.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)相交；
(2)相切；
(3)相离？
【答案】(1)
(2)
(3)或.
【分析】联立直线与椭圆方程，并计算，根据直线与椭圆的位置关系，求解，和，即可求解对应的值.
【详解】（1）联立，得，
，
当直线与椭圆相交，即，则，解得：；
（2）当直线与椭圆相切，即，则，解得：；
（3）当直线与椭圆相离，即，则，解得：或.
1．若直线与椭圆相切，则实数m的值等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将直线与椭圆联立，根据判别式为0求解即可.
【详解】将直线与椭圆联立，得，由题意可知.
故选：B
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，M是C上的动点，的面积的最大值为3，则C的长轴长的最小值为 ．
【答案】
【分析】由椭圆得性质与基本不等式求解
【详解】由题意知，所以，
故C的长轴长．
故答案为：
3．双曲线的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则B点坐标为 ，△AFB的面积为 .
【答案】 . /
【分析】首先表示过点于双曲线的渐近线平行的直线，并与双曲线方程联立，求得点的坐标，并根据几何关系表示的面积.
【详解】双曲线的右顶点，右焦点，渐近线方程为.
不妨设直线FB的方程为，代入双曲线方程整理，得，
解得，；
同理，若直线的方程为，则，；
所以.
所以.

故答案为：；
4．已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可知离心率且焦距为，结合焦距为即可得解.
（2）由题意已知，所以设出直线方程（只含有一个参数即截距，不妨设为），将其与椭圆方程联立后，再结合韦达定理可将表示成的函数，进一步求其最大值即可.
【详解】（1）由题意得,
解得,，，
∴椭圆的方程为 .
（2）因为，所以设直线的方程为，，.
联立得得 ，
又直线与椭圆有两个不同的交点，
所以，∴
∴，
∴
故当，即直线过原点时，最大，最大值为.
5．已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为.求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率以及短轴长，结合的关系即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程，由两点斜率公式，结合韦达定理即可化简求解.
【详解】（1）由题意可知：，解得，
所以椭圆方程为
（2）由于，
当直线无斜率时，此时直线方程为，此时关于轴对称，显然满足，
当直线有些率时，可设直线方程为，
联立直线与椭圆方程，
设，则，
，,
，
将代入可得，
所以，
综上可知：
6．已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由抛物线的焦点得椭圆焦点，即可结合离心率求解,
（2）联立直线与椭圆的方程，根据跟与系数的关系，结合斜率公式即可求解.
【详解】（1）∵抛物线的焦点为，
∴椭圆的半焦距为，
又，得，.
∴椭圆的方程为
（2）证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，
联立，得.
，即，
设，，
则，，
∴，
∴.
∴为定值

1．（多选）已知椭圆：的中心为，，是上的两个不同的点且满足，则（ ）
A．点在直线上投影的轨迹为圆
B．的平分线交于点，的最小值为
C．面积的最小值为
D．中，边上中线长的最小值为
【答案】ABC
【分析】根据斜率是否存在分类设直线方程，利用，可求得点到直线的距离为定值，即可判断A；
根据椭圆的对称性，的平分线及边上中线最小值都为点到直线的距离可判断BD；
C选项可有射影定理和基本不等式求出的最小值，进而得到面积的最小值.
【详解】AI
选项A：如图，作于，则点在直线上投影为点，
当直线斜率不存在时，设直线为，
因，根据椭圆的对称性可知若在第一象限，则，
代入得，得，
故直线方程为，此时为直线与轴的交点，，
根据椭圆的对称性知，当直线方程为，也符合题意，，
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
联立得，
设，，则，，
因，故，即，
化简得，
即，
得，
即点到直线的距离，则，
综上可知为定值，故点的轨迹为以为圆心以为半径的圆，故A正确；
选项B：由A选项知点到直线的最小距离为，
的平分线交于点，当直线斜率不存在时，根据椭圆的对称性，
即为，故的最小值为，故B正确；
选项C：根据射影定理，，
故，当且仅当时等号成立，
此时，故C正确；
D选项：当直线斜率不存在时，根据椭圆的对称性，
中，边上中线即为，故D错误，
故选：ABC
2．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则·的取值范围为 .
【答案】
【分析】可设，可求得与的坐标，利用向量的数量积的坐标公式结合椭圆的方程即可求得其答案．
【详解】点为椭圆上的任意一点，设，
依题意得左焦点，
，，
，
，，
，．则．
故答案为：．
3．已知O为坐标原点，位于抛物线C：上，且到抛物线的准线的距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点，过抛物线焦点的直线l交C于M，N两点，求的最小值以及此时直线l的方程．
【答案】(1)
(2)13；．
【分析】（1）根据抛物线的定义计算即可；
（2）根据韦达定理及二次函数最值计算即可.
【详解】（1）根据题意可得，
又，解方程组得，，
故所求抛物线C方程，
（2）
设点，，抛物线的焦点坐标为．
当直线l的斜率等于0时，不存在两个交点，不符合题意；
当直线l的斜率不等于0时，不妨设过抛物线焦点的直线l的方程为：；
联立抛物线方程可得，消去x得：，
，得，
由韦达定理得，，
易知，
故
．
所以当时，取得最小值为13．
此时直线l的方程为．
4．设O为坐标原点，点M，N在抛物线上，且.
(1)证明：直线过定点；
(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求的取值范围.
【答案】(1)证明见详解；
(2)
【分析】（1）设直线方程与抛物线联立，利用韦达定理结合平面向量数量积计算即可；
（2）利用导数得出过M、N的切线方程，求出切线的交点P坐标，结合弦长公式得出比值，利用函数研究计算其范围即可.
【详解】（1）由题意可设直线的方程为：，，
联立抛物线方程，
所以，
又，
化简得，
解之得，即直线为：，显然过定点；
（2）由抛物线，
则点的切线方程分别为，
易知，联立切线方程可得，
结合（1）可知，∴，
故，，
由弦长公式及（1）可得，
所以，
易知，
即的取值范围为.