北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.1 条件概率的概念优秀练习

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1．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由条件概率的计算公式求解即可.
【详解】由题意，知.
故选：C.
2．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】直接根据条件概率公式即可得到答案.
【详解】
故选：B.
3．某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，根据题意结合条件概率运算求解.
【详解】记事件A为第一次失败，事件B为第二次成功，
则，
所以.
故选：A.
4．随着2023年中考顺利结束，考生静待分数出炉的同时，也已经根据估分确定了自己心仪的高中.甲､乙两位学生心仪安庆市田家炳中学已久，所以这两名学生准备分别从教学南楼､教学北楼､青少年活动中心和学生劳动实践基地四个地点中随机选择一个考察参观，事件A：甲和乙至少一人选择青少年活动中心考察参观，事件：甲和乙选择的地点不同，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据条件概率的计算公式即可求解.
【详解】甲乙两人从四个地点中随机选择一个考察参观，共有种选择，
甲和乙均不选择青少年活动中心考察参观共有种选择，所以甲和乙至少一人选择青少年活动中心考察参观有种选择，所以，
事件AB：甲乙只有一人选择青少年活动中心考察参观，故共有种选择，
所以
因此,
故选：A
5．设A，B是两个随机事件，且，若B发生时A必定发生，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，可得，利用概率的基本性质、条件概率公式逐项判断作答.
【详解】因为事件B发生时A必定发生，于是，则，，AD错误；
，，B错误，C正确.
故选：C
6．袋子中有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个，依次从中不放回的取球，若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是 （ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
【答案】B
【分析】根据条件概型的知识求得正确答案.
【详解】依题意，在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是.
故选：B
7．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用条件概率公式求解即可.
【详解】记事件为“四月份吹东风”，事件为“四月份下雨”，则
，
所以，
故选：A
8．已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用缩小事件空间来求解.
【详解】第一次取得次品的条件下，第二次取产品时，共有6件产品，其中4件正品，所以第二次取得正品的概率为.
故选：B.
9．（多选）下面几种概率不是条件概率的是（ ）
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，各投篮一次都投中的概率
B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6、0.7，在甲投中的条件下乙投篮次命中的概率
C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学路上遇到红灯的概率
【答案】ACD
【分析】利用条件概率的定义求解.
【详解】由条件概率的定义知B选项中的概率为条件概率，A，C，D中的不是条件概率．
故选：ACD．
10．（多选）甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．表示事件“从甲罐取出的球是红球”，表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（ ）
A．、为对立事件B．
C．D．
【答案】AB
【分析】只需注意到事件B是在事件或发生之后可解.
【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A正确；当发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为，故B正确；当发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B发生的概率为，故D不正确；，故 C不正确.
故选：AB
11．已知某种生物由出生算起活到60岁的概率是0.8，活到65岁的概率是0.6，则一头60岁的该种动物活到65岁的概率是 .
【答案】/
【分析】利用条件概率公式结合题意求解即可
【详解】记事件为活到60岁，事件为活到65岁，则
，
所以,
故答案为：
12．设为两个事件，若事件和事件同时发生的概率为，在事件发生的前提下，事件发生的概率为，则事件发生的概率为 .
【答案】/0.625
【分析】根据给定条件，利用条件概率公式计算作答.
【详解】因为，而，所以.
故答案为：
13．某超市为了调查顾客单次购物金额与年龄的关系，从年龄在内的顾客中，随机抽取了100人，调查结果如表：
(1)为了回馈顾客，超市准备开展对单次购物金额满188元的每位顾客赠送1个环保购物袋的活动.若活动当日该超市预计有5000人购物，由频率估计概率，预计活动当日该超市应准备多少个环保购物袋？
(2)在上面抽取的100人中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元，求第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率.
【答案】(1)3500
(2)
【分析】（1）根据单次购物金额满188元的顾客人数，求出100人中单次购物金额满188元的概率，根据概率估计频率求出5000人购物金额满188元的顾客人数即可；
（2）根据条件概率的计算公式，列出等式求出即可.
【详解】（1）解：由表可知，单次购物金额满188元的有：8+15+23+15+9=70人，
所以单次购物金额满188元频率为：，
所以5000人中，单次购物金额满188元大约人，
故需准备3500个环保购物袋；
（2）记事件为“第1次抽到的顾客单次购物金额不满188元”，
记事件为“第2次抽到的顾客单次购物金额满188元”，
所以，，
所以，
故第2次抽到的顾客单次购物金额满188元的概率为.
14．甲、乙两人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方片4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲、乙两人抽到的牌的样本空间．
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之则乙胜，你认为此游戏是否公平？并说明你的理由．
【答案】(1)答案详见解析（答案不唯一）
(2)
(3)不公平，理由见解析
【分析】（1）根据抽取的方法写出样本空间.
（2）根据古典概型的概率问题计算公式，计算出所求答案.
（3）根据甲、乙的胜率进行说明.
【详解】（1）用a表示方片4，2，3，4分别表示红桃2、红桃3、红桃4，
则甲、乙两人抽到的牌的样本空间为：
．
（2）甲抽到3，乙抽到的只能是2，4，a，所以乙抽到的牌的牌面数字大于3的概率为．
（3）甲抽到的牌的牌面数字比乙大的样本点有，
所以甲胜的概率为，乙胜的概率为，故游戏不公平．
1．湖南第二届旅游发展大会于2023年9月15日至17日在郴州举行，为让广大学生知晓郴州，热爱郴州，亲身感受“走遍五大洲，最美有郴州”绿色生态研学，现有甲，乙两所学校从万华岩中小学生研学实践基地，王仙岭旅游风景区，雄鹰户外基地三条线路中随机选择一条线路去研学，记事件A为“甲和乙至少有一所学校选择万华岩中小学生研学实践基地”，事件B为“甲和乙选择研学线路不同”，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用古典概率求出事件的概率，再利用条件概率公式计算即得.
【详解】依题意，甲，乙随机选择一条线路去研学的试验有个基本事件，
事件A含有的基本事件数是，则，
事件含有的基本事件数为，则,
所以.
故选：B
2．箱子中装有2个白球和2个黑球，两人先后从中有放回地随机摸取1个球，已知其中一人摸到的是白球，则另外一人摸到的也是白球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，利用相互独立事件的概率乘法公式和条件概率的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，箱子中装有2个白球和2个黑球，两人先后从中有放回地随机摸取1个球，
设事件为“其中一人摸到的是白球”，事件为“另一人摸到的是白球”
因为两人先后从中有放回地随机摸取1个球，
可得，
所以所求概率为.
故选：A.
3．2023年8月31日贵南高铁实现全线贯通运营，我国西南和华南地区新增一条交通大动脉，黔桂两地间交通出行更加便捷、西南与华南地区联系将更加紧密.贵南高铁线路全长482公里，设计时速350公里，南宁东到贵阳东旅行时间由原来的5个多小时缩短至最快2小时53分.贵阳某调研机构调查了一个来自南宁的旅行团对贵阳两种特色小吃肠旺面和丝娃娃的喜爱情况，了解到其中有的人喜欢吃肠旺面，有的人喜欢吃丝娃娃，还有的人既不喜欢吃肠旺面也不喜欢吃丝娃娃.在已知该旅行团一游客喜欢吃肠旺面的条件下，他还喜欢吃丝娃娃的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设出事件，求出既喜欢肠旺面又喜欢丝娃娃的概率，从而利用条件概率公式求出答案.
【详解】设喜欢吃肠旺面设为事件，喜欢吃丝娃娃设为事件，
喜欢肠旺面或丝娃娃为事件，既喜欢肠旺面又喜欢丝娃娃为，
由题意知，，
从而，
因此由条件概率的公式得.
故选：B.
4．根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2，则在刮四级以上大风的情况下，发生中度雾霾的概率为（ ）
A．0.5B．0.625C．0.8D．0.9
【答案】A
【分析】利用条件概率的概率公式求解即可.
【详解】设发生中度雾霾为事件，刮四级以上大风为事件，
依题意，，，，
则在刮四级以上大风的情况下，发生中度雾霾的概率为.
故选：A
5．（多选）某个班级共有学生40人，其中有团员15人．全班共分成4个小组，第一小组有学生10人，其中团员x人，如果要在班内选一人当学生代表，在已知该代表是团员的条件下，这个代表恰好在第一小组内的概率是，则x不可能的值为（ ）
A．2B．3
C．4D．5
【答案】ABD
【分析】根据条件概率公式即可得到方程，解出即可.
【详解】设在班内任选一个学生，该学生属于第一小组，在班内任选一个学生，该学生是团员．
则由已知，，
所以，所以，故C正确．
故选：ABD.
6．（多选）连续抛掷一枚骰子2次，记事件表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，事件表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，则 （ ）
A．事件与事件相互独立B．
C．事件与事件互斥D．
【答案】BD
【分析】对于A，根据独立事件的概率公式分析判断，对于B，根据题意可知事件表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数，且一次奇数一次偶数”，对于C，根据互斥事件的定义分析判断，对于D，根据条件概率公式求解
【详解】由题意可知，事件表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数”，即一次奇数一次偶数，所以，
事件表示“2次结果中至少一次正面向上的点数为偶数”，即两次都为偶数，或一次奇数一次偶数，所以，
事件表示“2次结果中正面向上的点数之和为奇数，且一次奇数一次偶数”，所以，
对于A，因为，所以事件与事件不相互独立，所以A错误，
对于B，因为，所以B正确，
对于C，因为事件和事件可能同时发生，如两次的点数分别为1，2，则和为3，即属于事件，也属于事件，所以C错误，
对于D，因为，，所以，所以D正确，
故选：BD
7．银行卡的密码由6位数字组成.某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字.如果记得密码的最后一位数字是奇数，则不超过2次就按对的概率为 .
【答案】/
【分析】设出事件，由已知根据互斥事件的运算性质，以及条件概率的性质，即可得出答案.
【详解】设为“第次按对密码”（），
则事件“不超过2次就按对”可表示为，
记“密码的最后一位数字是奇数”，
由条件概率的性质可得，
.
故答案为：.
8．已知，，，则 ．
【答案】
【分析】利用条件概率公式和对立事件的公式进行求解即可.
【详解】因为，
所以，
因为，，
所以，
所以，
.
故答案为：
9．在某次抽奖活动中，在甲、乙两人先后进行抽奖前，还有50张奖券，其中共有5张写有“中奖”字样．假设抽完的奖券不放回，甲抽完之后乙再抽，求：
(1)甲中奖而且乙也中奖的概率；
(2)甲没中奖而且乙中奖的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用条件概率公式进行求解即可；
（2）利用乘法公式进行求解即可
【详解】（1）设甲中奖，乙中奖，则．
因为抽完的奖券不放回，所以甲中奖后乙抽奖时，有49张奖券且其中只有4张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为．
根据乘法公式可知，甲中奖而且乙也中奖的概率为
．
（2）因为，所以．
因为抽完的奖券不放回，所以甲没中奖后乙抽奖时，还有49张奖券且其中还有5张写有“中奖”字样，此时乙中奖的概率为．
根据乘法公式可知，甲没中奖而且乙中奖的概率为
．
10．在道题中有道理科题和道文科题，如果不放回的依次抽取道题，求：
(1)第次抽到理科题的概率；
(2)第次和第次都抽到理科题的概率；
(3)在第次抽到理科题的条件下，第次抽到理科题的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得；
（2）根据概率乘法公式计算可得；
（3）根据古典概型的概率公式计算可得.
【详解】（1）因为在道题中有道理课题和道文科题，
则第次抽到理科题的概率.
（2）依题意可得第次和第次都抽到理科题的概率；
（3）因为第次抽到理科题，此时还剩下道题，其中道理科题，道文科题，
故在第次抽到理科题的条件下，第次抽到理科题的概率．
1．（多选）小张等四人去甲、乙、丙三个景点旅游，每人只去一个景点，记事件A为“恰有两人所去景点相同”，事件为“只有小张去甲景点”，则（ ）
A．这四人不同的旅游方案共有64种B．“每个景点都有人去”的方案共有72种
C．D．“四个人只去了两个景点”的概率是
【答案】CD
【分析】A选项，根据分步乘法计数原理求出答案；B选项，根据部分平均分组方法计算出答案；C选项，利用排列组合知识得到，，利用条件概率公式求出答案；D选项，求出四个人只去了两个景点的方案数，结合A中所求，求出概率.
【详解】A选项，每个人都有3种选择，故共有种旅游方案，A错误；
B选项，每个景点都有人去，则必有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
故有种方案，B错误；
C选项，恰有两人所去景点相同，即有1个景点去了2个人，另外两个景点各去1人，
由B选项可知，，
又事件，即小张去甲景点，另外3人有两人去了同一个景点，其余1人去另一个景点，
故，
所以，C正确；
D选项，“四个人只去了两个景点”，分为2种情况，
第一，有3人去了同一个景点，另外一个去另外一个景点，则有种方案，
第二，2人去了同一个景点，另外2人去了另一个景点，故有种方案，
由A选项可知，这四人不同的旅游方案共有81种，
故“四个人只去了两个景点”的概率为，D正确.
故选：CD
2．第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为，200米比赛未能站上领奖台的概率为，两项比赛都未能站上领奖台的概率为，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是 .
【答案】/0.6
【分析】设出事件，根据事件的关系得到，进而求出，再利用条件概率公式求出答案.
【详解】设在200米比赛中站上领奖台为事件，在100米比赛中站上领奖台为事件，
则，，，，
则，
则，
故.
故答案为：
3．某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是 ．
【答案】
【分析】设小明迟到为事件A，小明自驾为事件B，由题可得，后由条件概率公式可得答案.
【详解】设小明迟到为事件A，小明自驾为事件B，则， .
则在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为.
故答案为：
4．A市天文台在该市朝阳区随机调查了100位天文爱好者的年龄，得到如图所示的样本数据频率分布直方图．

(1)估计该朝阳区100名天文爱好者年龄的分位数（精确到0.01）；
(2)已知该朝阳区天文爱好者的占比为，且该朝阳区年龄位于区间的人口数占该区总人口数的．用样本的频率估计总体的概率，从该朝阳区任选1人，若此人的年龄位于区间，求此人是天文爱好者的概率．（计算结果精确到0.01）
【答案】(1)28.21岁
(2)0.12
【分析】（1）设出分位数为，运用百分位数定义解题；
（2）本题是在朝阳区任选1人且年龄位于区间的条件下求解是天文爱好者的概率，是条件概率问题，运用条件概率的知识进行求解即可.
【详解】（1）记该朝阳区100名天文爱好者年龄的分位数为，
则，
解得，
故估计该朝阳区100名天文爱好者年龄的分位数为28.21岁；
（2）记事件为：“任选一人，此人年龄位于区间”，
事件为：“任选一人，此人是天文爱好者”，
由条件概率公式可得，
，
故此人是天文爱好者的概率约为0.12．
年龄段
类型
单次购物金额满188元
8
15
23
15
9
单次购物金额不满188元
2
3
5
9
11