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河南省洛阳市新安县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)
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这是一份河南省洛阳市新安县2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含答案)，共10页。试卷主要包含了如图，抛物线等内容，欢迎下载使用。
友情提示：
1.本试卷共6页，三大题，满分为120分，考试时间为100分钟。
2.答题前请将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题（每小题3分，共30分）
下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母在答题卡相应位置涂黑.
1.以下调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A.了解全国中学生的视力和用眼卫生情况
B.了解全班50名同学每天体育锻炼的时间
C.学校招聘教师，对应聘人员进行面试
D.为保证神舟十四号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查
2.如图，，AF与BE相交于点G，且，，，则AG的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.如图①，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，图②是它的部分示意图，测得，，则点C到AB的距离（ ）
图①图②
A.B.C.D.
4.如图，四边形ABCD内接于，点E为上任意一点（点E不与点D、C重合），连接BE交DC于点P.若，则的度数可能为（ ）
A. 30°B. 45°C. 50°D. 65°
5.若抛物线与x轴没有交点，则c的值可以是（ ）
A.B. 0C. 4D. 8
6.如图，在中，，BE平分，交AD于点E，，点F，G分别是BE，CE的中点，则FG的长为（ ）
A. 3B. 2.5C. 2D. 5
7.关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则常数m满足的条件是（ ）
A.B.C.D.
8.如图，抛物线（）与x轴交于点和B，与y轴交于点C，下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
9.如图，动点P从点出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（），当点P第2023次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A.B.C.D.
10.如图1，在中，点D为AC边中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B点，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则BC的长为（ ）
图1 图2
A.B.C.D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.写出一个比0大且比3小的无理数：______.
12.如图，两个质地均匀的转盘被分成几个面积相等的扇形，固定指针，分别自由转动转盘一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字所在的扇形为止）.将两指针所指的两个扇形中的数字相乘，积为偶数的概率是______.
13.若，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为______.
14.如图，CD是的直径，，，点B为的中点，点P是直径CD上的一个动点，则的最小值为______.
15.如图，在中，，，点P在BC上，，将线段CP绕点C旋转得线段CQ，连接AQ.当点Q在直线AC上方，且到直线AC的距离为1时，AQ的长为______.
三、解答题（本大题共8个小题，满75分）.
16.（1）（5分）计算：；
（2）（5分）化简：.
17.（9分）为了解我国铁路旅客发送量和货运总发送量，小明同学在交通运输部官网上查询到2022年7月至2023年2月，全国铁路旅客发送量和货运总发送量的数据，并绘制了如下的统计图表.
全国铁路旅客发送量和货运总发送量折线统计图
2022年7月至2023年2月全国铁路旅客发送量和货运总发送量统计表
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表格中______；______（填“＞”“＜”或“=”）.
（2）①2022年12月至2023年1月的旅客发送量的增长率为______.
②估计从2023年3月到2023年12月这10个月的货运总发送量，小明选用平均数来估计，小军选用中位数来估计，判断两种方式是否合理，并说明理由.
（3）请根据折线统计图，分析2022年7月至2023年2月我国旅客发送量和货运总发送量的数据，并结合实际情况，你还可以得到什么信息？
18.（9分）如图，在中，，点D为边AC上一点.
（1）尺规作图：在边AB上找一点E，使得.
（2）在（1）的条件下以点E为圆心，EB为半径的圆分别与AB，BC交于点M，N，且，求证：AC与相切.
19.（9分）一款被称作“小蛮驴”的智能送快递机器人在我省某高校投入使用，据悉“小蛮驴”兼具人工智能和自动驾驶技术.如图，点A为该校快递收纳站点，点B，C分别为两处宿舍楼，“小蛮驴”将会从点A出发，沿着的路径派送快递.已知点B在点A的正北方向，点C在点A的北偏东20°方向，在点B的北偏东60°方向，点B与点C相距1000米，求点A到点B的距离.（结果精确到1米.参考数据：，，，）
20.（9分）某同学设计了如图所示的图案，在平面直角坐标系中，点，以OA为边在x轴上方作等边三角形OAB，反比例函数（）的图象恰好经过点B.以OA为直径作，以点B为圆心，BO长为半径作.
（1）求反比例函数的表达式
（2）求图中阴影部分的面积.
21.（10分）民族要复兴，乡村必振兴.乡村振兴战略的实施效果要用农民生活富裕水平来评价.某合作社为尽快打开市场，对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下：
线下销售模式：标价5元/千克，八折出售；
线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克时，超出部分每千克再让利1.5元
购买这种新产品x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示.
根据以上信息回答下列问题：
（1）请求出两种销售模式对应的函数解析式.
（2）说明图中点C坐标的实际意义.
（3）若想购买这种产品10千克，请问选择哪种模式购买最省钱？
22.（9分）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4m，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系.已知抛物线最高点B的坐标为，着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5m，若斜坡CD的坡度，即.
求：（1）点A的坐标.
（2）该抛物线的解析式.
（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长.（精确到0.1m.参考数据：）
23.（10分）小明在数学课本上看到可以利用电脑绘图软件进行作图和图形的变换，很感兴趣，于是他在了解了基本作图的步骤后想画一个蝴蝶的图形，尝试了如下操作：
【实践操作】
在直线l的左侧作等腰和等腰，其中，，点O在直线l上，然后作这两个三角形关于直线l对称的图形，完成后如图①所示.
图① 图② 图③
【问题探究】
（1）连接，，，下列说法中错误的是（ ）
A.B.直线l垂直平分线段C.
（2）连接，，如图②，求证：；
【探究发现与拓展】
小明发现，改变对称轴左边图形的形状，右边的对称图形也相应地发生了改变，于是对改变图形形状进行探究，如图③，，，顶点C恰好在AB的中点上.
（3）求证：四边形OACD是平行四边形；
（4）小明尝试改变图形，将绕点O顺时针旋转（旋转角小于180°），直线BA，交于点P，当四边形为菱形时，请求出该菱形的面积.
数学参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共30分）
1-5 A C A D D6-10 B C B B C
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.（答案不唯一） 12. 13. 16 14. 4 15.或
三、解答题（本大题共8个小题，满75分）
16.解：（1）原式……………………3分
……………………5分
（2）原式……………………3分
……………………5分
17.解：（1）41.5；＞.……………………2分
（2）①140％.……………………4分
②两种方式均合理.……………………5分
理由如下：
平均数41.375与中位数41.5相差不大，且统计图中货运总发送量波动很小，
小明和小军的方式均合理.……………………7分
（3）从统计图可知，每月货运总发送量维持在40至42千万吨，保持稳定，旅客发送量在2月份达到最高.（答案不唯一）……………………9分
18.
（1）解：如解图，连接BD，作BD的垂直平分线HF，交AB于点E，点E即为所求.………3分
（2）证明：如解图，连接EN，DE.由作图，知HF垂直平分BD，
..
是半径，也是的半径.……………………5分
，.
，.
，，，……………………7分
，，.
是的半径，与相切.……………………9分
19.
解：过点C作于点H，如解图所示，……………………1分
则.
在中，，，.
，，.……………………4分
在中，，，，
.……………………7分
（米）.……………………8分
答：点A到点B的距离大约为1903米.……………………9分
20.
解：（1），.
是等边三角形，，.……………………1分
过点B作于点C，……………………2分
如解图所示.
在中，，
，.
将代入（），得，解得.……………………4分.
反比例函数的表达式为（）.……………………5分
（2）在等边三角形OAB中，，.
，，.
，
，.……………………8分
.……………………9分
21.解：（1）由题意，知图中射线OA为线下销售，折线OBD为线上销售.
线下销售：.……………………2分
线上销售：当时，，
当时，
……………………5分
（2）令，解得.
将代入中，得.
.
图中点C坐标的实际意义为当购买9千克产品时，线上线下花费一样，均为36元.…………8分
（3）观察图象，可知当时，线上购买比线下购买省线，
购买这种产品10千克，线下购买最省钱.……………………10分
22.解：（1），且点A在y轴正半轴，……………………2分
（2）抛物线最高点B的坐标为，
设抛物线的解析式为.
，，解得.
抛物线的解析式为.……………………5分
（3）在中，，，
，.点D的纵坐标为.……………………7分
令，
解得或（不合题意，舍去），
，（m）
OC的长约为7.2m.……………………9分
23.（1）解：C……………………1分
（2）证明：：等腰和等腰关于直线l对称的图形为等腰和等腰，
，，，
，
，
；……………………4分
（3）证明：，C是AB的中点，，，
，，，
，.
四边形OACD是平形四边形.……………………7分
（4）解：与关于直线l对称，
直线BA与的交点P位于直线l上，如解图①，当四边形是菱形时，，
第4题解图①
，，，
由（3）得，即为边PA上的高，
；……………………9分
继续旋转，如解图②，当OC与重合时，OC即为边PA上的高.
第4题解图②
.
综上所述，菱形的面积为.……………………10分平均数
中位数
方差
旅客发送量（千万人）
17.5
18.5
货运总发送量（千万吨）
41.375
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2.答题前请将密封线内的项目填写清楚。
一、选择题（每小题3分，共30分）
下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号字母在答题卡相应位置涂黑.
1.以下调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A.了解全国中学生的视力和用眼卫生情况
B.了解全班50名同学每天体育锻炼的时间
C.学校招聘教师，对应聘人员进行面试
D.为保证神舟十四号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查
2.如图，，AF与BE相交于点G，且，，，则AG的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
3.如图①，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，图②是它的部分示意图，测得，，则点C到AB的距离（ ）
图①图②
A.B.C.D.
4.如图，四边形ABCD内接于，点E为上任意一点（点E不与点D、C重合），连接BE交DC于点P.若，则的度数可能为（ ）
A. 30°B. 45°C. 50°D. 65°
5.若抛物线与x轴没有交点，则c的值可以是（ ）
A.B. 0C. 4D. 8
6.如图，在中，，BE平分，交AD于点E，，点F，G分别是BE，CE的中点，则FG的长为（ ）
A. 3B. 2.5C. 2D. 5
7.关于x的二次函数，当时，y随x的增大而减小，则常数m满足的条件是（ ）
A.B.C.D.
8.如图，抛物线（）与x轴交于点和B，与y轴交于点C，下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
9.如图，动点P从点出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角（），当点P第2023次碰到矩形的边时，点P的坐标为（ ）
A.B.C.D.
10.如图1，在中，点D为AC边中点，动点P从点D出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B点，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则BC的长为（ ）
图1 图2
A.B.C.D.
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.写出一个比0大且比3小的无理数：______.
12.如图，两个质地均匀的转盘被分成几个面积相等的扇形，固定指针，分别自由转动转盘一次，当转盘停止后，指针各指向一个数字所在的扇形（如果指针恰好指在分界线上，那么重转一次，直到指针指向某一数字所在的扇形为止）.将两指针所指的两个扇形中的数字相乘，积为偶数的概率是______.
13.若，是一元二次方程的两个根，则代数式的值为______.
14.如图，CD是的直径，，，点B为的中点，点P是直径CD上的一个动点，则的最小值为______.
15.如图，在中，，，点P在BC上，，将线段CP绕点C旋转得线段CQ，连接AQ.当点Q在直线AC上方，且到直线AC的距离为1时，AQ的长为______.
三、解答题（本大题共8个小题，满75分）.
16.（1）（5分）计算：；
（2）（5分）化简：.
17.（9分）为了解我国铁路旅客发送量和货运总发送量，小明同学在交通运输部官网上查询到2022年7月至2023年2月，全国铁路旅客发送量和货运总发送量的数据，并绘制了如下的统计图表.
全国铁路旅客发送量和货运总发送量折线统计图
2022年7月至2023年2月全国铁路旅客发送量和货运总发送量统计表
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表格中______；______（填“＞”“＜”或“=”）.
（2）①2022年12月至2023年1月的旅客发送量的增长率为______.
②估计从2023年3月到2023年12月这10个月的货运总发送量，小明选用平均数来估计，小军选用中位数来估计，判断两种方式是否合理，并说明理由.
（3）请根据折线统计图，分析2022年7月至2023年2月我国旅客发送量和货运总发送量的数据，并结合实际情况，你还可以得到什么信息？
18.（9分）如图，在中，，点D为边AC上一点.
（1）尺规作图：在边AB上找一点E，使得.
（2）在（1）的条件下以点E为圆心，EB为半径的圆分别与AB，BC交于点M，N，且，求证：AC与相切.
19.（9分）一款被称作“小蛮驴”的智能送快递机器人在我省某高校投入使用，据悉“小蛮驴”兼具人工智能和自动驾驶技术.如图，点A为该校快递收纳站点，点B，C分别为两处宿舍楼，“小蛮驴”将会从点A出发，沿着的路径派送快递.已知点B在点A的正北方向，点C在点A的北偏东20°方向，在点B的北偏东60°方向，点B与点C相距1000米，求点A到点B的距离.（结果精确到1米.参考数据：，，，）
20.（9分）某同学设计了如图所示的图案，在平面直角坐标系中，点，以OA为边在x轴上方作等边三角形OAB，反比例函数（）的图象恰好经过点B.以OA为直径作，以点B为圆心，BO长为半径作.
（1）求反比例函数的表达式
（2）求图中阴影部分的面积.
21.（10分）民族要复兴，乡村必振兴.乡村振兴战略的实施效果要用农民生活富裕水平来评价.某合作社为尽快打开市场，对本地新产品进行线上和线下销售相结合的模式，具体费用标准如下：
线下销售模式：标价5元/千克，八折出售；
线上销售模式：标价5元/千克，九折出售，超过6千克时，超出部分每千克再让利1.5元
购买这种新产品x千克，所需费用为y元，y与x之间的函数关系如图所示.
根据以上信息回答下列问题：
（1）请求出两种销售模式对应的函数解析式.
（2）说明图中点C坐标的实际意义.
（3）若想购买这种产品10千克，请问选择哪种模式购买最省钱？
22.（9分）2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度OA为4m，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系.已知抛物线最高点B的坐标为，着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5m，若斜坡CD的坡度，即.
求：（1）点A的坐标.
（2）该抛物线的解析式.
（3）起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离OC的长.（精确到0.1m.参考数据：）
23.（10分）小明在数学课本上看到可以利用电脑绘图软件进行作图和图形的变换，很感兴趣，于是他在了解了基本作图的步骤后想画一个蝴蝶的图形，尝试了如下操作：
【实践操作】
在直线l的左侧作等腰和等腰，其中，，点O在直线l上，然后作这两个三角形关于直线l对称的图形，完成后如图①所示.
图① 图② 图③
【问题探究】
（1）连接，，，下列说法中错误的是（ ）
A.B.直线l垂直平分线段C.
（2）连接，，如图②，求证：；
【探究发现与拓展】
小明发现，改变对称轴左边图形的形状，右边的对称图形也相应地发生了改变，于是对改变图形形状进行探究，如图③，，，顶点C恰好在AB的中点上.
（3）求证：四边形OACD是平行四边形；
（4）小明尝试改变图形，将绕点O顺时针旋转（旋转角小于180°），直线BA，交于点P，当四边形为菱形时，请求出该菱形的面积.
数学参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共30分）
1-5 A C A D D6-10 B C B B C
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.（答案不唯一） 12. 13. 16 14. 4 15.或
三、解答题（本大题共8个小题，满75分）
16.解：（1）原式……………………3分
……………………5分
（2）原式……………………3分
……………………5分
17.解：（1）41.5；＞.……………………2分
（2）①140％.……………………4分
②两种方式均合理.……………………5分
理由如下：
平均数41.375与中位数41.5相差不大，且统计图中货运总发送量波动很小，
小明和小军的方式均合理.……………………7分
（3）从统计图可知，每月货运总发送量维持在40至42千万吨，保持稳定，旅客发送量在2月份达到最高.（答案不唯一）……………………9分
18.
（1）解：如解图，连接BD，作BD的垂直平分线HF，交AB于点E，点E即为所求.………3分
（2）证明：如解图，连接EN，DE.由作图，知HF垂直平分BD，
..
是半径，也是的半径.……………………5分
，.
，.
，，，……………………7分
，，.
是的半径，与相切.……………………9分
19.
解：过点C作于点H，如解图所示，……………………1分
则.
在中，，，.
，，.……………………4分
在中，，，，
.……………………7分
（米）.……………………8分
答：点A到点B的距离大约为1903米.……………………9分
20.
解：（1），.
是等边三角形，，.……………………1分
过点B作于点C，……………………2分
如解图所示.
在中，，
，.
将代入（），得，解得.……………………4分.
反比例函数的表达式为（）.……………………5分
（2）在等边三角形OAB中，，.
，，.
，
，.……………………8分
.……………………9分
21.解：（1）由题意，知图中射线OA为线下销售，折线OBD为线上销售.
线下销售：.……………………2分
线上销售：当时，，
当时，
……………………5分
（2）令，解得.
将代入中，得.
.
图中点C坐标的实际意义为当购买9千克产品时，线上线下花费一样，均为36元.…………8分
（3）观察图象，可知当时，线上购买比线下购买省线，
购买这种产品10千克，线下购买最省钱.……………………10分
22.解：（1），且点A在y轴正半轴，……………………2分
（2）抛物线最高点B的坐标为，
设抛物线的解析式为.
，，解得.
抛物线的解析式为.……………………5分
（3）在中，，，
，.点D的纵坐标为.……………………7分
令，
解得或（不合题意，舍去），
，（m）
OC的长约为7.2m.……………………9分
23.（1）解：C……………………1分
（2）证明：：等腰和等腰关于直线l对称的图形为等腰和等腰，
，，，
，
，
；……………………4分
（3）证明：，C是AB的中点，，，
，，，
，.
四边形OACD是平形四边形.……………………7分
（4）解：与关于直线l对称，
直线BA与的交点P位于直线l上，如解图①，当四边形是菱形时，，
第4题解图①
，，，
由（3）得，即为边PA上的高，
；……………………9分
继续旋转，如解图②，当OC与重合时，OC即为边PA上的高.
第4题解图②
.
综上所述，菱形的面积为.……………………10分平均数
中位数
方差
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