湖北省华中科技大学附属中学2024届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)

这是一份湖北省华中科技大学附属中学2024届九年级下学期开学考试数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的倒数是（ ）
A. B. ＋3C. 0.3D.
2. 二次根式中，字母x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知实数a＜b，则下列事件中是随机事件的是（ ）
A. 3a＞3bB. a﹣b＜0C. a＋3＞b＋3D. a2＞b2
4. 下列是有关防疫的图片，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 1．一个全透明的正方体上面放有一根黑色的金属丝（如图），那么金属丝在左视图中的形状是（ ）

A. B. C. D.
6. “龟兔赛跑”：龟跑得慢，但坚持不懈；而兔跑得快，看不起龟，中途睡觉，醒来龟已到终点．下列哪个图象能大致表示“龟兔赛跑”中路程s与时间t的关系（ ）
A. B. C. D.
7. 现有6张完全相同的卡片，正面分别写着数字：1，2，3，4，5，6，现将所有卡片打乱顺序后正面朝下放置在桌面上，小明随机抽一张，恰好抽到3的倍数的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点B在反比例函数上，顶点C在反比例函数上，点A在x轴的正半轴上，则平行四边形的面积是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
9. 如图，是边长为6的等边三角形，为边上的中线，点E、点F分别为线段、上的动点，连接，则的最小值为（ ）

A. B. C. D. 10
10. 下列各运算中，正确是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（共18分）
11. ，2π，0，，0.454454445…，中，无理数有 _____个．
12. 为了落实“双减”，增强学生体质，阳光学校篮球兴趣小组开展投篮比赛活动．6名选手投中篮圈的个数分别为2，3，4，4，3，5，则这组数据的中位数是______．
13. 计算结果是__________．
14. 如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC延长线上的一点，且AC=CE，则∠E=____________
15. 若不等式(a－2)x＞a－2可以变形为x＜1，则a的取值范围为_____.
16. 如图，在正方形ABCD中，AB=6，E为CD上一动点，AE交BD于点F，过F作FH⊥AE交BC于点H，过H作GH⊥BD于点G，连接AH，以下四个结论：① AF=FH；②；③ FC=；④ BD=2GF，其中正确的结论有_______．（填序号）
三、解答题（共72分）
17. 计算：
（1）
（2）
18. 如图，AB∥CD，E是直线FD上的一点，∠ABC=140°，∠CDF=40°．
（1）求证：BCEF；
（2）连接BD，若BDAE，∠BAE=110°，则BD是否平分∠ABC ？请说明理由．
19. 为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A、B、C、D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）求本次调查的学生人数；
（2）扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数为 ，并把条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生3000人，试估计每周课外阅读时间为C等级人数．
20. 将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）用尺规作出该轮的圆心O，并保留作图痕迹；
（2）若半径R＝6，弧BC的度数为120°，则扇形BOC的面积为 ；（保留π）
（3）若△ABC是等腰三角形，设底边BC＝8，腰AB＝5，求该轮的半径R．
21. 如图1，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴的正半轴上，点B（4，3），反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB、BC分别交于D、E两点，BD＝1，点P是线段OA上一动点．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）如图2，连接PE、PD，求PD+PE的最小值；
（3）如图3，当∠PDO＝45°时，求线段OP的长．
22. 如图，直线与坐标轴分别交于点，与直线交于点C．在线段上，动点Q以每秒1个单位长度速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点作x轴的垂线，交直线于点，连接．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形总为矩形（点重合除外）．
（1）求点P运动的速度是多少？
（2）当t为何值时，矩形为正方形？
（3）当t为何值时，矩形的面积为5．
23. 在⊙O中，AB为直径，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，点D为弧AC上的点，且2∠DAB﹣∠P＝90°，连接AD．
（1）如图1，求证：弧AD＝弧BC；
（2）如图2，PC＝6，PB＝，求∠ADC度数；
（3）如图3，在（2）条件下，F为AB下方⊙O上一点．∠ACF＝60°，L为OF中点，LK⊥AL于L，交CF于点K．连接AK，求AK的长．
24. 已知抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），与轴相交于点C，点，．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若点是第二象限内抛物线上一动点，过点作线段轴，交直线于点，当线段取得最大值时，求此时点的坐标．
（3）若取线段的中点，向右沿轴水平方向平移线段，得到线段，当取得最小值时，求此时点的坐标
数学答案
一、单选题（共30分）
1. D
解析：解：由倒数的定义可得：
的倒数是.
故选
2．C
解析：解：根据题意，得
2-x≥0，
解得x≤2．
故选：C．
3. D
解析：解：A．由a＜b，可得3a＜3b，故3a＞3b是不可能事件，不合题意；
B．由a＜b，可得a﹣b＜0，故a﹣b＜0是必然事件，不合题意；
C．由a＜b，可得a＋3＜b＋3，故a＋3＞b＋3是不可能事件，不合题意；
D．若a＜b，则a2＞b2不一定成立，故a2＞b2是随机事件，符合题意；
故选：D．
4. A
解析：解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：A．
5. B
解析：解：全透明的正方体其左视图只能看 “黑色的金属丝”的部分，从左边可看得到上面正方形前面的边、和后面正方形左侧边，故看到的现状是第二个选项图形．
故选：B．
6. B
解析：解：A.根据乌龟先到终点，兔子一直未醒，所以图A错误；
B.符合题意；
C.兔子在比赛中间睡觉，时间增长，路程没有变化，也没有回跑，排除C；
D.因为中途睡觉，醒来龟已到终点，兔子输了，兔子用的时间应多于乌龟所用的时间，排除故选B．
7. B
解析：解：∵这6张完全相同的卡片中写着数字3和6的两张卡片为3的倍数，
∴小明随机抽一张，恰好抽到3的倍数的概率是．
故选B．
8. B
解析：解：如图，作BD⊥x轴于D，延长BC交y轴于E，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴CB∥OA，OC=AB，
∴BE⊥y轴，
∴OE=BD，
∴Rt△COE≌Rt△ABD（HL），
根据系数k的几何意义，S矩形BDOE=6，S△COE=1，
∴四边形OABC的面积=6-1-1=4，
故选：B．
9. A
解析：解：如图，连接，

是边长为6的等边三角形，为边上的中线，
，，
垂直平分，
，
，当点E，F，B在同一条直线上时，等号成立．
由垂线段最短可知，当时，取最小值，如下图所示：

此时，
，
的最小值为，
的最小值为．
故选A．
10. B
解析：解：A、，故A错误，不符合题意；
B、，故B正确，符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D错误，不符合题意．
故选：B．
二、填空题（共18分）
11. 3
解析：解：在所列实数中，无理数有2π，0.454454445…，这3个，
故答案：3．
12. ####
解析：解：6名选手投中篮圈的个数从小到大排列为：2，3，3，4，4，5，
∴中位数为，
故答案为：
13.
解析：原式＝
．
故答案为：．
14. 22.5°
解析：解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=45°，，
∵AC=EC，
∴∠E=∠CAE，
∵∠ACB=∠E+∠CAE=2∠E，
故答案为：22.5°
15. a＜2
解析：根据一元一次不等式的解法和基本性质，可由(a－2)x＞a－2的解集为x＜1，可知a-2＜0，解得a＜2.
故答案为a＜2.
16.①②④
解析：①连接FC，延长HF交AD于点L
∵ BD是正方形ABCD的对角线
②
③∵点F是动点，C点是定点
∴ FC的长度是变量
故③错
④连接AC交BD于点O，可知：BD=2OA
故答案为：①②④
三、解答题（共72分）
17（1） （2）
小问1详解
解：
．
小问2详解
解：
．
18.（1）见解析 （2）平分，证明见解析
小问1详解
证明： ，
，
，
，
，
，
；
小问2详解
解：BD平分，理由如下：
，
，
，
，
，
BD平分．
19.（1）200人 （2）54°，图见解析 （3）900人
小问1详解
解：本次调查的学生人数为20÷10%=200人；
小问2详解
解：等级D的人数为200×45%=90人，
∴等级B的人数为200-20-60-90=30人，
∴等级B所在扇形的圆心角度数为360°×=54°，
故答案为：54°；
补充条形统计图，如下图：
小问3详解
解：每周课外阅读时间为C等级的人数为人．
20.（1）见解析；（2）；（3）
解析：解：（1）如图；
（2）连接OC、OB，
∵OC=OB=R＝6，∠BOC=120°，
扇形BOC的面积为，
故答案为：；
（3）连接CB，交AO于点D，
∵BC=8，
∴BD=4，
∵AB=5，
∴AD==3，
∵OB=OA=R，
∴OD=R-3，
在△BOD中，，
∴，
解得，
∴该轮的半径为．
21.（1）y＝，（，3） （2） （3）
小问1详解
解：∵点B的坐标为（4，3），
∴OC=AB=3，OA=BC=4．
∵BD=1，
∴AD=2，
∴点D的坐标为（4，2）．
∵反比例函数y=（x＞0）的图象过点D，
∴k=4×2=8，
∴反比例函数的关系式为y=．
当y=3时，3=，解得：x=，
∴点E的坐标为（，3）；
小问2详解
解：在图2中，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，连接PD，此时PD+PE取得最小值，最小值为D′E．
∵点D的坐标为（4，2），
∴点D′的坐标为（4，-2）．
又∵点E的坐标为（，3），
∴D′E=．
∴PD+PE的最小值为；
小问3详解
在图3中，过点P作PF⊥OD于点F，则△PDF为等腰直角三角形．
∵OA=4，AD=2，
∴OD=．
设AP=m，则OP=4-m，
∴PD=．
∵△PDF为等腰直角三角形，
∴DF=PF=，
∴OF=OD-DF=．
∵OF2+PF2=OP2，即，
整理得：3m2+16m-12=0，
解得：m1=，m2=-6（不合题意，舍去），
∴OP=4-m=．
22.（1）点运动的速度是每秒2个单位长度 （2）或4 （3）或或
小问1详解
直线与坐标轴分别交于点，
时，，时，，
，
当秒时，，则，
，
，
，
动点以每秒1个单位长度的速度从点出发向点做匀速运动，
点运动的速度是每秒2个单位长度；
小问2详解
如图1，当时，矩形为正方形，
则，，
，
，
解得：；
如图2，当时，矩形为正方形，
，，
，
，
，解得：；
当或4时，矩形为正方形．
小问3详解
如图1，当在点的左边时，
，，
，
，
依题意有
解得，；
如图2，当在点的右边时，
，，
，
，
，
，
当点、其中一点停止运动时，另一点也停止运动，
，
依题意有，
解得（不合题意舍去），；
综上所述，当或或时，矩形的面积为5
23.（1）见解析；（2）∠ADC＝120°；（3）AK＝2．
解析：（1）证明：如图1中，连接OD，OC．
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∴∠P+∠POC＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠DAB＝∠ADO，
∵2∠DAB﹣∠P＝90°，
∴180°﹣∠AOD﹣（90°﹣∠POC）＝90°，
∴∠AOD＝∠POC，
∴弧AD＝弧BC．
（2）解：如图2中，连接OC，BC．
∵AB是直径，PC是切线，
∴∠ACB＝∠PCB，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠PCB＝∠PAC，
∵∠P＝∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴ ，
∴PC2＝PB•PA，
∴PA＝，
∴AB＝PA﹣PB＝4，
∴OC＝OB＝OA＝2，
∴tan∠COB＝ ＝，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝120°．
（3）解：如图3中，作LH⊥AB于H，设KL交AP于N．CF交AB于M．
∵∠AFC＝180°﹣∠ADC＝60°，∠ACF＝60°，
∴△ACF是等边三角形，
由（1）可知，AC＝AF＝CF＝6，∠CAP＝30°，
∵∠CAF＝60°，
∴∠CAN＝∠FAN＝30°，
∴AN⊥CF，
∴CN＝NF＝ AC＝3，
∵OL＝LF＝，
在Rt△OHL中，∠OHL＝90°，∠HOL＝60°，
∴OH＝OL＝ ，HL＝ ，
∵LH∥FN，OL＝LF，
∴OH＝HM＝，
∵AM＝AC•cs30°＝6×＝3，HL＝FM＝，
∴
∵AL⊥LK，
∴∠AHL＝∠ALN＝90°，
∵∠LAH＝∠LAN，
∴△AHL∽△ALN，
∴，
∴，
∴HN＝AN﹣AH＝，NM＝HM﹣HN＝，
∵HL∥KM，
∴，
∴，
∴MK＝1，
∴AK＝
24.（1） （2） （3）
小问1详解
解：由题意，抛物线过，，
，
解得，
．
抛物线的顶点坐标为；
小问2详解
解：把代入得，
∴点C坐标为．
如图，设经过，两点的直线的解析式为，
将，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
设点的坐标为，点的坐标为．
，
因为，
当时，有最大值．
此时，点的坐标为；
小问3详解
解：连接，
和，
中点，
由平移得与平行且相等，
与平行且相等，
四边形是平行四边形，
．
．
作点关于轴的对称点，则，
取得最小值时，即为点，，三点共线时，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
将代入得，，
此时点的坐标为．