2024版高考数学微专题专练41空间点直线平面之间的位置关系理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练41空间点直线平面之间的位置关系理（附解析），共6页。


[基础强化]
一、选择题
1．“点P在直线m上，m在平面α内”可表示为( )
A．P∈m，m∈αB．P∈m，m⊂α
C．P⊂m，m∈αD．P⊂m，m⊂α
2．在空间中，可以确定一个平面的条件是( )
A．两两相交的三条直线
B．三条直线，其中一条与另两条分别相交
C．三个点
D．三条直线，它们两两相交，但不交于同一点
3．[2021·全国乙卷]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为( )
A．eq \f(π,2) B．eq \f(π,3) C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,6)
4．若直线l1与l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( )
A．l与l1，l2都不相交
B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交
D．l至少与l1，l2中的一条相交
5．若P是平面α外一点，则下列命题正确的是( )
A．过P只能作一条直线与平面α相交
B．过P可作无数条直线与平面α垂直
C.过P只能作一条直线与平面α平行
D．过P可作无数条直线与平面α平行
6．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l, 直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )
A．点AB．点B
C．点C但不过点MD．点C和点M
7．[2022·厦门模拟]下列说法正确的是( )
A．两组对边分别相等的四边形确定一个平面
B．和同一条直线异面的两直线一定共面
C．与两异面直线分别相交的两直线一定不平行
D．一条直线和两平行线中的一条相交，也必定和另一条相交
8．[2022·全国甲卷(理)，7]在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则( )
A．AB＝2AD
B．AB与平面AB1C1D所成的角为30°
C．AC＝CB1
D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
9．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )
A.α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
二、填空题
10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为________．
11．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条．
12.
如图所示是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
[能力提升]
13．[2022·河南省六市联考]在各面均为正三角形的四面体A­BCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,2)B．eq \f(2,3)C．eq \f(\r(3),3)D．eq \f(1,3)
14．[2022·安徽省皖北协作区联考]以下四个命题：①梯形一定是平面图形；②一点和一条直线可确定一个平面；③两两相交的三条直线可确定一个平面；④如果平面α外有两点A，B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB∥平面α.其中正确命题的个数是( )
A．0B．1C．2D．3
15．[2022·渭南模拟]在空间中，给出下面四个命题，其中假命题为________．(填序号)
①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；
②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则α∥β；
③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；
④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．
16.
[2022·兰州模拟]如图，正方体A1C的棱长为1，点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为________．
专练41 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．B
2．D 当三条直线相交于同一点时，可以确定一个或三个平面，故A、B错；当三点共线时，不能确定一个平面，故C错，故选D.
3．D
解法一 如图，连接C1P，因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，且P为B1D1的中点，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP⊂平面B1BP，所以有C1P⊥BP.连接BC1，则AD1∥BC1，所以∠PBC1为直线PB与AD1所成的角．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则在直角三角形C1PB中，C1P＝eq \f(1,2)B1D1＝eq \r(2)，BC1＝2eq \r(2)，sin∠PBC1＝eq \f(PC1,BC1)＝eq \f(1,2)，所以∠PBC1＝eq \f(π,6)，故选D.
解法二 以B1为坐标原点，B1C1，B1A1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则B(0，0，2)，P(1，1，0)，D1(2，2，0)，A(0，2，2)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－1，－1，2)，AD1＝(2，0，－2).设直线PB与AD1所成的角为θ，则csθ＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\(PB,\s\up6(→))·AD1,|\(PB,\s\up6(→))||AD1|)))＝eq \f(|－6|,\r(6)×\r(8))＝eq \f(\r(3),2).因为θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以θ＝eq \f(π,6)，故选D.
解法三 如图所示，连接BC1，A1B，A1P，PC1，则易知AD1∥BC1，所以直线PB与AD1所成角等于直线PB与BC1所成角．根据P为正方形A1B1C1D1的对角线B1D1的中点，易知A1，P，C1三点共线，且P为A1C1的中点．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1为等边三角形，所以∠A1BC1＝eq \f(π,3)，又P为A1C1的中点，所以可得∠PBC1＝eq \f(1,2)∠A1BC1＝eq \f(π,6).故选D.
4．D 由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．
5．D 过平面α外一点P，可以作无数条直线与α相交，但垂直α的只有一条，故A、B、C均错，D正确．
6．D ∵A、B∈γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，
∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．
7．C 两组对边分别相等的四边形可能是空间四边形，故A错误；
如图1，直线DD1与B1C1都是直线AB的异面直线，同样DD1与B1C1也是异面直线，故B错误；
如图2，设直线AB与CD是异面直线，则直线AC与BD一定不平行，否则若AC∥BD，有AC与BD确定一个平面α，则AC⊂α，BD⊂α，所以A∈α，B∈α，C∈α，D∈α，所以AB⊂α，CD⊂α，这与假设矛盾，故C正确；
如图1，AB∥CD，而直线AA1与AB相交，但与直线CD不相交，故D错误．
8．D 连接BD，则∠B1DB，∠DB1A分别是B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角，所以∠B1DB＝∠DB1A＝30°.所以BB1＝eq \f(1,2)DB1，BD＝eq \f(\r(3),2)DB1，AD＝eq \f(1,2)DB1.设BB1＝a，则DB1＝2a，AD＝BC＝a，BD＝eq \r(3)a，所以AB＝eq \r(BD2－AD2)＝eq \r(2)a，AC＝BD＝eq \r(3)a，CB1＝eq \r(BB eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＋BC2)＝eq \r(2)a.所以AB＝eq \r(2)AD，AC≠CB1，因此A，C项错误．易知∠DB1C是B1D与平面BB1C1C所成的角，且为锐角．因为DC＝eq \r(2)a，DB1＝2a，CB1＝eq \r(2)a，所以DC2＋CB eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝DB eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ，所以DC⊥CB1.在Rt△DCB1中，sin∠DB1C＝eq \f(DC,DB1)＝eq \f(\r(2),2)，所以∠DB1C＝45°，即B1D与平面BB1C1C所成的角为45°，因此D项正确．因为AD⊥平面ABB1A1，AD⊂平面AB1C1D，所以平面AB1C1D⊥平面ABB1A1，所以∠B1AB是AB与平面AB1C1D所成的角．在Rt△ABB1中，AB＝eq \r(2)a，BB1＝a，所以tan∠B1AB＝eq \f(BB1,AB)＝eq \f(\r(2),2)≠eq \f(\r(3),3)，所以∠B1AB≠30°，即AB与平面AB1C1D所成的角不是30°，因此B项错误．故选D.
9．B 对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B.
10.eq \f(\r(5),2)
解析：因为CD∥AB，所以∠BAE即为异面直线AE与CD所成的角．
设正方体的棱长为2，则BE＝eq \r(5).
因为AB⊥平面BB1C1C，
所以AB⊥BE.
在Rt△ABE中，tan∠BAE＝eq \f(BE,AB)＝eq \f(\r(5),2).
11．5
解析：与AB和CC1都相交的棱为BC，与AB相交且与CC1平行的棱为AA1，BB1，与AB平行且与CC1相交的有CD，C1D1，故符合条件的棱有5条．
12．②③④
解析：还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE与MN为异面直线，且所成的角为90°，即DE与MN垂直．
13．B 取DN中点O，连结MO，BO，
∵三棱锥A­BCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，
∴MO∥AN，∴∠BMO是异面直线BM与AN所成角，
设三棱锥A­BCD的所有棱长为2，
则AN＝BM＝DN＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，
MO＝eq \f(1,2)AN＝NO＝eq \f(1,2)DN.
BO＝eq \r(BN2＋NO2)＝eq \r(1＋\f(3,4))＝eq \f(\r(7),2)，
∴cs∠BMO＝eq \f(BM2＋MO2－BO2,2×BM×OM)＝eq \f(3＋\f(3,4)－\f(7,4),2×\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq \f(2,3).
∴异面直线BM与AN所成角的余弦值为eq \f(2,3).
14．B 对于①，梯形一定是平面图形，是真命题；对于②，当这一点在这一条直线上时，不确定，是假命题；对于③，两两相交，且交于一点的三条直线可不一定确定一个平面，是假命题；对于④，如果平面α外有两点A，B位于平面α两侧时，不满足，是假命题．故正确的命题个数为1个．
15．①②④
解析：对于①，当平面α外两点的连线与平面α垂直时，此时过两点有无数个平面与平面α垂直，所以①不正确；对于②，若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，平面α与β可能平行，也可能相交，所以②不正确；对于③，直线l与平面内的任意直线垂直时，得到l⊥α，所以③正确；对于④，两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条相交直线或两条平行直线或直线和直线外的一点，所以④不正确．
16．3eq \r(2)
解析：在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线时，只需要ME∥BC1，如图所示，
因为A1M＝2MD1，故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分点处，
故可得截面为MIHGFE，
设正方体的棱长为3a，
则ME＝2eq \r(2)a，MI＝eq \r(2)a，
IH＝2eq \r(2)a，HG＝eq \r(2)a，FG＝2eq \r(2)a，EF＝eq \r(2)a，
所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝9eq \r(2)a，
又因为正方体A1C的棱长为1，即3a＝1，
故截面多边形的周长为3eq \r(2).