2024版高考数学微专题专练47直线的倾斜角与斜率直线的方程理（附解析）

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[基础强化]
一、选择题
1．直线经过点(0，2)和点(3，0)，则它的斜率k为( )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(3,2)
C．－eq \f(2,3)D．－eq \f(3,2)
2．直线x＋eq \r(3)y＋1＝0的倾斜角是( )
A．eq \f(π,6)B．eq \f(π,3)
C．eq \f(2,3)πD．eq \f(5,6)π
3．已知直线l过点P(－2，5)，且斜率为－eq \f(3,4)，则直线l的方程为( )
A．3x＋4y－14＝0B．3x－4y＋14＝0
C．4x＋3y－14＝0D．4x－3y＋14＝0
4．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“α>eq \f(π,3)”是“k>eq \r(3)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．[2022·宿州模拟]若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1＜k2＜k3B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1D．k1＜k3＜k2
6．[2022·湖北黄冈一模]过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A．x－y＋1＝0
B．x＋y－3＝0
C．2x－y＝0或x＋y－3＝0
D．2x－y＝0或x－y＋1＝0
7．[2022·沈阳模拟]直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足( )
A．ab>0，bc<0B．ab>0，bc>0
C．ab<0，bc>0D．ab<0，bc<0
8．直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是( )
A．[0，π) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪[eq \f(3,4)π，π)
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪(eq \f(π,2)，π)
9．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，则k的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，2))
B．(－∞，eq \f(3,4)]∪[2，＋∞)
C．(－∞，1]∪[2，＋∞)
D．[1，2]
二、填空题
10．若A(4，3)，B(5，a)，C(6，5)三点共线，则a的值为________．
11．曲线y＝x3－2x＋4在点(1，3)处的切线的倾斜角为________．
12．过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率为1，则m＝________．
[能力提升]
13．[2022·长沙调研]设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则点P横坐标的取值范围为( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，－\f(1,2)))B．[－1，0]
C．[0，1] D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，1))
14．[2022·衡水模拟]1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为( )
A．0°B．1°
C．2°D．3°
专练47 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
1．C k＝eq \f(0－2,3－0)＝－eq \f(2,3).
2．D 由x＋eq \r(3)y＋1＝0，得y＝－eq \f(\r(3),3)x－eq \f(\r(3),3)，
∴直线的斜率k＝－eq \f(\r(3),3)，其倾斜角为eq \f(5,6)π.
3．A 由点斜式得y－5＝－eq \f(3,4)(x＋2)，即：3x＋4y－14＝0.
4．B ∵当eq \f(π,2)<α<π时，k<0，∴α>eq \f(π,3)D⇒/k>eq \r(3)；
当k>eq \r(3)时，eq \f(π,3)<αeq \r(3)⇒eq \f(π,3)<α∴α>eq \f(π,3)是k>eq \r(3)的必要不充分条件．
5．D 因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0＜k3＜k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1＜0，所以k1＜k3＜k2.
6．D 当直线过原点时，满足题意，方程为y＝2x，即2x－y＝0；
当直线不过原点时，设方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，
∵直线过(1，2)，∴eq \f(1,a)－eq \f(2,a)＝1，∴a＝－1，
∴方程为x－y＋1＝0.
7．A ax＋by＋c＝0可化为y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b)，又直线过一、二、四象限，
∴－eq \f(a,b)<0且－eq \f(c,b)>0，即ab>0，bc<0.
8．B 设直线的倾斜角为θ，0≤θ<π，
由题意得tanθ＝－sinα∈[－1，1]，
∴θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪[eq \f(3,4)π，π).
9．B 直线kx－y＋1－k＝0恒过P(1，1)，kPA＝2，kPB＝eq \f(3,4)，∴k的取值范围是(－∞，eq \f(3,4)]∪[2，＋∞).
10．4
解析：由题意得kAC＝kBC，∴eq \f(5－3,6－4)＝eq \f(5－a,6－5)，得a＝4.
11．45°
解析：y′＝3x2－2，当x＝1时，y′＝3－2＝1，∴k＝1，其倾斜角为45°.
12．1
解析：由题意得，eq \f(4－m,m＋2)＝1，得m＝1.
13．A 由题意知，y′＝2x＋2，
设P(x0，y0)，则在点P处的切线的斜率k＝2x0＋2.
因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))，则0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤－eq \f(1,2).
14．C ∵O，O3都为五角星的中心点，
∴OO3平分第三颗小星的一个角，
又五角星的内角为36°，可知∠BAO3＝18°，
过O3作x轴的平行线O3E，如图，
则∠OO3E＝α≈16°，
∴直线AB的倾斜角为18°－16°＝2°.