2024版高考数学微专题专练44空间向量及其运算理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练44空间向量及其运算理（附解析），共6页。


[基础强化]
一、选择题
1．[2022·重庆八中高三月考]若{a，b，c}构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是( )
A．{a＋b，b＋c，c＋a}
B．{a－b，b－c，c－a}
C．{a＋b，c，a＋b＋c}
D．{a－b＋c，a＋b－c，3a－b＋c}
2．已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值为( )
A．eq \f(3,2)B．－2
C．0D．eq \f(3,2)或－2
3．已知空间两点P(－1，2，－3)，Q(3，－2，－1)，则P，Q两点间的距离是( )
A．6 B．2eq \r(2) C．36 D．2eq \r(5)
4．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，AA1＝c，则下列向量中与eq \(BM,\s\up6(→))相等的向量是( )
A．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋cB．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
C．－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋cD．eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
5．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(7，5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )
A．eq \f(62,7)B．eq \f(63,7)C．eq \f(64,7)D．eq \f(65,7)
6．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E为PD中点，若eq \(PA,\s\up6(→))＝a，eq \(PB,\s\up6(→))＝b，eq \(PC,\s\up6(→))＝c，则eq \(BE,\s\up6(→))＝( )
A.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
B．eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c
C．eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＋eq \f(1,2)c
D．eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋eq \f(3,2)c
7．已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是( )
A．(－1，1，0) B．(1，－1，0)
C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)
8．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，y，2)，且a⊥(a＋b)，则y的值为( )
A．6B．10C．12D．14
9．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝( )
A．a2B．eq \f(1,2)a2C．eq \f(1,4)a2D．eq \f(\r(3),4)a2
二、填空题
10．已知a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝eq \r(29)，且λ>0，则λ＝________．
11．在空间直角坐标系中，以点A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(x，4，3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为________．
12．在三棱锥O－ABC中，M，N分别为OA，BC的中点，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则eq \(MN,\s\up6(→))＝________．
[能力提升]
13．[2022·长春一中高三测试]已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列向量的数量积一定不为0的是( )
A.AD1·B1C
B．BD1·eq \(AC,\s\up6(→))
C．eq \(AB,\s\up6(→))·AD1
D．BD1·eq \(BC,\s\up6(→))
14．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为2，O是底面ABCD的中心，E，F分别为CC1，AD的中点，则异面直线OE与FD1所成角的余弦值为( )
A．eq \f(\r(10),5) B．eq \f(\r(15),5) C．eq \f(4,5) D．eq \f(2,3)
15.
如图所示，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A．eq \r(3)B．eq \r(2)C．1D．eq \r(3－\r(2))
16．[2022·江苏南通模拟]已知正四棱台ABCD­A1B1C1D1的上、下底面边长分别为1和2，P是上底面A1B1C1D1的边界上一点．若eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最小值为eq \f(1,2)，则该正四棱台的体积为( )
A．eq \f(7,2) B．3 C．eq \f(5,2) D．1
专练44 空间向量及其运算
1．A 令c＋a＝λ(a＋b)＋μ(b＋c)，则λ，μ∈∅，A正确；因为c－a＝－(a－b)－(b－c)，所以{a－b，b－c，c－a}不能构成基底；因为a＋b＋c＝(a＋b)＋c，所以{a＋b，c，a＋b＋c}不能构成基底；因为3a－b＋c＝2(a－b＋c)＋(a＋b－c)，所以{a－b＋c，a＋b－c，3a－b＋c}不能构成基底．
2．B ∵a∥b，∴b＝λa，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2＝（2m＋1）λ，,m＝3λ，,－m＝λ（m－1），))得m＝－2.
3．A |PQ|＝eq \r([3－（－1）]2＋（－2－2）2＋[－1－（－3）]2)＝eq \r(16＋16＋4)＝eq \r(36)＝6.
4．A 由题意知eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋AA1＋A1M＝－a＋c＋eq \f(1,2)(a＋b)＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.
5．D ∵a，b，c共面，∴c＝xa＋yb.
∴(7，5，λ)＝(2x，－x，3x)＋(－y，4y，－2y)，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝7，,－x＋4y＝5，,3x－2y＝λ，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(17,7)，,x＝\f(33,7)，,λ＝\f(65,7)．))
6．C ∵E为PD的中点，∴eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(\(BP,\s\up6(→))＋\(BD,\s\up6(→)),2)
＝eq \f(1,2)(－eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)(－eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PA,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PB,\s\up6(→)))
＝－eq \f(3,2)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(PC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)a－eq \f(3,2)b＋eq \f(1,2)c
7．B ∵|a|＝eq \r(12＋02＋（－1）2)＝eq \r(2)，设b＝(－1，1，0)，|b|＝eq \r(2)，a·b＝－1<0，故A不正确；对于B，设c＝(1，－1，0)，a·c＝1，|c|＝eq \r(2).∴cs〈a，c〉＝eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(1,2)，
∴〈a，c〉＝60°，同理可得C、D不正确．
8．C a＋b＝(－2，y－1，5)，∵a⊥(a＋b)，
∴－2×2－(y－1)＋3×5＝0，得y＝12.
9．C
依题意，点E，F为BC，AD的中点，如图所示，eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))·eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,4)(a2cs60°＋a2cs60°)＝eq \f(1,4)a2.
10．3
解析：∵λa＋b＝(4，1－λ，λ)，
∴|λa＋b|＝eq \r(42＋（1－λ）2＋λ2)＝eq \r(29)，∴17＋2λ2－2λ＝29，
∴λ＝3或λ＝－2(舍).
11．2
解析：由题意得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝|eq \(AC,\s\up6(→))|，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝(6，－2，－3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(x－4，3，－6)
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6（x－4）－6＋18＝0，,（x－4）2＝4，))得x＝2.
12.eq \f(1,2)(b＋c－a)
解析：eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)(b＋c－a)
13．D
14．B ∵eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)AC1＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋AA1)，
FD1＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋AA1，
∴eq \(OE,\s\up6(→))·FD1＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＋AA1)·(eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋AA1)＝eq \f(1,2)(eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·AA1＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))2＋eq \(AD,\s\up6(→))·AA1＋eq \f(1,2)AA1·eq \(AD,\s\up6(→))＋AA12)＝3.
而|eq \(OE,\s\up6(→))|＝eq \f(1,2)eq \r(22＋22＋22)＝eq \r(3)，|FD1|＝eq \r(5)，
∴cs〈eq \(OE,\s\up6(→))，FD1〉＝eq \f(\(OE,\s\up6(→))·FD1,|\(OE,\s\up6(→))||FD1|)＝eq \f(\r(15),5).
15．D ∵eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))，
∴|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝|eq \(BF,\s\up6(→))|2＋|eq \(FE,\s\up6(→))|2＋|eq \(ED,\s\up6(→))|2＋2(eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→))·eq \(BF,\s\up6(→)))＝1＋1＋1＋2(0＋0－eq \f(\r(2),2))＝3－eq \r(2).
∴|eq \(BD,\s\up6(→))|＝eq \r(3－\r(2)).
16．A 由题意可知，以O为坐标原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，如图所示
A(0，－eq \r(2)，0)，C(0，eq \r(2)，0)，由对称性，点P在A1B1，B1C1，A1D1，C1D1是相同的，
故只考虑P在B1C1上时，设正四棱台的高为h，则
B1(eq \f(\r(2),2)，0，h)，C1(0，eq \f(\r(2),2)，h)，
设P(x，y，z)，PC1＝(－x，eq \f(\r(2),2)－y，h－z)，
B1C1＝(－eq \f(\r(2),2)，eq \f(\r(2),2)，0)，
因为P在B1C1上，所以PC1＝λB1C1(0≤λ≤1)，
∴P(eq \f(\r(2),2)λ，eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(2),2)λ，h)，
∴eq \(PA,\s\up6(→))＝(－eq \f(\r(2),2)λ，－eq \r(2)－eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)λ，－h)
＝(－eq \f(\r(2),2)λ，－eq \f(3\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)λ，－h)，
∴eq \(PC,\s\up6(→))＝(－eq \f(\r(2),2)λ，eq \r(2)－eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)λ，－h)
＝(－eq \f(\r(2),2)λ，eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)λ，－h)，
所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)λ2＋(eq \f(\r(2),2)λ－eq \f(3\r(2),2))(eq \f(\r(2),2)λ＋eq \f(\r(2),2))＋h2
＝eq \f(1,2)λ2＋eq \f(1,2)λ2＋eq \f(1,2)λ－eq \f(3,2)λ－eq \f(3,2)＋h2
＝λ2－λ－eq \f(3,2)＋h2＝(λ－eq \f(1,2))2－eq \f(7,4)＋h2.
由二次函数的性质知，当λ＝eq \f(1,2)时，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))取得最小值为h2－eq \f(7,4)，
又因为eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PC,\s\up6(→))的最小值为eq \f(1,2)，所以h2－eq \f(7,4)＝eq \f(1,2)，解得h＝±eq \f(3,2)(负舍)，
故正四棱台的体积为V＝eq \f(1,3)(S1＋eq \r(S1S2)＋S2)h＝eq \f(1,3)(2×2＋eq \r(2×2×1×1)＋1×1)×eq \f(3,2)＝eq \f(7,2).