2024版高考数学微专题专练40空间几何体的表面积和体积理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练40空间几何体的表面积和体积理（附解析），共8页。
[基础强化]
一、选择题
1．已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12eq \r(2)π B．12π
C．8eq \r(2)π D．10π
2．[2022·全国甲卷(理)，4]如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为( )
A．8B．12
C．16D．20
3．已知某几何体的三视图如图所示(俯视图中曲线为四分之一圆弧)，则该几何体的表面积为( )
A．1－eq \f(π,4)B．3＋eq \f(π,2)
C．2＋eq \f(π,4)D．4
4．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.eq \f(2π,3)B．eq \f(4π,3)
C．eq \f(5π,3)D．2π
5．[2022·江西省南昌市高三模拟]圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为( )
A．eq \f(20,3)cmB．15cm
C．10eq \r(3)cmD．20cm
6．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是( )
A．2πR2B．eq \f(9,4)πR2
C．eq \f(8,3)πR2D．eq \f(3,2)πR2
7．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为( )
A．8＋eq \f(4\r(3)π,3)B．8＋eq \f(2\r(3)π,3)
C．4＋eq \f(4\r(3)π,3)D．4＋eq \f(8\r(3)π,3)
8．[2022·全国乙卷(理)，9]已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A．eq \f(1,3)B.eq \f(1,2)
C．eq \f(\r(3),3)D．eq \f(\r(2),2)
9．[2021·全国甲卷]已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O－ABC的体积为( )
A．eq \f(\r( ,2),12)B．eq \f(\r( ,3),12)
C．eq \f(\r( ,2),4)D．eq \f(\r( ,3),4)
二、填空题
10．[2020·全国卷Ⅲ]已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．
11．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．
12．[2022·安徽省高三联考]在三棱锥P­ABC中，侧棱PA＝PB＝PC＝eq \r(10)，∠BAC＝eq \f(π,4)，BC＝2eq \r(2)，则此三棱锥外接球的表面积为________.
[能力提升]
13．[2022·全国甲卷(理)，9]甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若eq \f(S甲,S乙)＝2，则eq \f(V甲,V乙)＝( )
A．eq \r(5)B.2eq \r(2)
C.eq \r(10)D.eq \f(5\r(10),4)
14．[2022·江西省赣州市一模]在半径为2的球O的表面上有A，B，C三点，AB＝2eq \r(2).若平面OAB⊥平面ABC，则三棱锥O­ABC体积的最大值为( )
A．eq \f(2,3)B．eq \f(2\r(2),3)
C．eq \f(4,3)D．eq \f(4\r(2),3)
15．[2022·安徽省高三一模]半正多面体亦称阿基米德多面体，是由边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，其中八个面为正三角形，六个面为正方形，它们的边长都相等，称这样的半正多面体为二十四等边体．现有一个体积为V1的二十四等边体，其外接球体积为V2，则eq \f(V2,V1)＝________．
16．[2022·江西省高三质量监测]如图，在棱长为4的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在面AA1B1B内，记PD，PC与平面DD1C1C所成角分别为α、β，且tanβ＝3tanα，则四棱锥P­AB1C1D体积的最小值是________．
专练40 空间几何体的表面积和体积
1．B 设圆柱的底面半径为r，由题意得高h＝2r，
∴(2r)2＝8，得r＝eq \r(2)，
∴S圆柱表＝2πr2＋2πrh＝4π＋8π＝12π.
2．B 如图，将三视图还原成直观图．该直观图是一个侧放的直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，底面ABCD是直角梯形，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，AA1＝2.所以底面面积S＝eq \f(（2＋4）×2,2)＝6，设该直四棱柱的高为h，则该几何体的体积V＝Sh＝6×2＝12.故选B.
3．D
由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去一个以1为底面圆的半径，高为1的圆柱的eq \f(1,4)，如图所示，故其表面积S＝1×1＋1×1＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1×1－\f(π,4)))＋eq \f(2π,4)×1＝1＋1＋2－eq \f(π,2)＋eq \f(π,2)＝4.
4．C
过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示．
由于V圆柱＝π·AB2·BC＝π×12×2＝2π，V圆锥＝eq \f(1,3)π·CE2·DE＝eq \f(1,3)π×12×(2－1)＝eq \f(π,3)，
所以该几何体的体积V＝V圆柱－V圆锥＝2π－eq \f(π,3)＝eq \f(5π,3).
5．B 由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积．设玻璃球的半径为r，即圆柱形玻璃杯的底面半径为r，则玻璃球的体积为eq \f(4πr3,3)，圆柱的底面面积为πr2, 若放入一个玻璃球后，水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为2r，所以eq \f(4πr3,3)＝πr2(2r－10)，
解得r＝15 (cm).
6．B 设内接圆柱的底面半径为r(00，解得0