2024版高考数学微专题专练36基本不等式理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练36基本不等式理（附解析），共4页。

[基础强化]
一、选择题
1．函数y＝2x＋eq \f(2,2x)的最小值为( )
A．1B．2
C．2eq \r(2) D．4
2．若a>0，b>0且2a＋b＝4，则eq \f(1,ab)的最小值为( )
A．2B．eq \f(1,2)
C．4D．eq \f(1,4)
3．下列结论正确的是( )
A．当x>0且x≠1时，lgx＋eq \f(1,lgx)≥2
B．当x∈(0，eq \f(π,2)]时，sinx＋eq \f(4,sinx)的最小值为4
C．当x>0时，eq \r(x)＋eq \f(1,\r(x))≥2
D．当00，y>0，x＋2y＝1，则eq \f(xy,2x＋y)的最大值为( )
A.eq \f(1,4)B．eq \f(1,5)
C．eq \f(1,9)D．eq \f(1,12)
6．[2022·福建宁德模拟]已知点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点).若eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AC,\s\up6(→))，则eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的最小值为( )
A．4B．6
C．8D．9
7．[2022·安徽淮北一模]函数f(x)＝lga(2x－1)＋1(a＞0，a≠1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－2＝0上，其中m(n－1)＞0，则eq \f(1,m)＋eq \f(4,n－1)的最小值为( )
A．2eq \r(3)B．3eq \r(2)
C．8D．9
8．[2022·河南安阳模拟]已知a，b为正实数，且a＋b＝6＋eq \f(1,a)＋eq \f(9,b)，则a＋b的最小值为( )
A．6B．8
C．9D．12
9．[2022·安徽马鞍山三模]若a＞0，b＞0，lga＋lgb＝lg (a＋3b)，则a＋b的最小值为( )
A．4eq \r(3)B．4＋2eq \r(3)
C．6D.3＋3eq \r(3)
二、填空题
10．已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋eq \f(1,8b)的最小值为________.
11．[2022·江西九江一模]若a，b为正实数，直线2x＋(2a－4)y＋1＝0与直线2bx＋y－2＝0互相垂直，则ab的最大值为________．
12．[2022·浙江绍兴模拟]若直线ax－by－3＝0(a＞0，b＞0)过点(1，－1)，则eq \r(a＋1)＋eq \r(b＋2)的最大值为________．
[能力提升]
13．若a，b都是正数，则(1＋eq \f(b,a))(1＋eq \f(4a,b))的最小值为( )
A．7B．8
C．9D．10
14．若对于任意的x>0，不等式eq \f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．a≥eq \f(1,5)B．a>eq \f(1,5)
C．a0，所以y＝2x＋eq \f(2,2x)≥2eq \r(2x·\f(2,2x))＝2eq \r(2)，当且仅当2x＝eq \f(2,2x)，即x＝eq \f(1,2)时取“＝”．故选C.
2．B ∵a>0，b>0，∴4＝2a＋b≥2eq \r(2ab)(当且仅当2a＝b，即：a＝1，b＝2时等号成立)，∴00，∴a＝eq \f(4b,b－3)，由a>0，得b>3.∴a＋b＝b＋eq \f(4b,b－3)＝b＋eq \f(4（b－3）＋12,b－3)＝(b－3)＋eq \f(12,b－3)＋7≥2eq \r(12)＋7＝4eq \r(3)＋7，即a＋b的最小值为7＋4eq \r(3).
5．C x＋2y＝1⇒y＝eq \f(1－x,2)，则eq \f(xy,2x＋y)＝eq \f(x－x2,3x＋1).
∵x>0，y>0，x＋2y＝1，
∴0