2024版高考数学微专题专练31等比数列及其前n项和理（附解析）

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[基础强化]
一、选择题
1．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝( )
A．eq \r(2)B．2
C．eq \r(5)D．3
2．已知等比数列{an}满足a1＝eq \f(1,8)，4a2a4＝4a3－1，则a2＝( )
A．±eq \f(1,4)B．eq \f(1,4)
C．±eq \f(1,16)D．eq \f(1,16)
3．[2022·江西省赣州市期末]已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1·a6＝9，则lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a6＝( )
A．6B．9
C．27D．81
4．[2022·江西省南昌市模拟]数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，则a4＝( )
A．8B．16
C．12D．24
5．[2022·珠海模拟]在等比数列{an}中，a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ＝a9且a8＞a9，则使得an－eq \f(1,a1)>0的自然数n的最大值为( )
A．10B．9
C．8D．7
6．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－eq \f(8,9)，则当Tn取得最大值时，n的值为( )
A．2B．3
C．4D．6
7．[2022·江西省赣州市一模]等比数列{an}满足a8＋a10＝eq \f(1,2)，a11＋a13＝1，则a20＋a22＝( )
A．8B．4
C．－4D．－8
8．[2022·全国乙卷(理)，8]已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝( )
A．14B．12
C．6D.3
9．[2022·陕西省西安中学三模]在等比数列{an}中，a7，a11是方程x2＋5x＋2＝0的两根，则eq \f(a3·a9·a15,a5·a13)的值为( )
A．－eq \f(2＋\r(2),2)B．－eq \r(2)
C．eq \r(2)D．－eq \r(2)或eq \r(2)
二、填空题
10．[2022·江西省南昌市月考]若等比数列{an}的前n项的和为Sn，且满足S2＝3，S3－S1＝6，则a6＝________．
11．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.
12．[2022·吉林省质量监测(三)]已知数列{an}是首项为3，公比为q的等比数列，Sn是其前n项的和，若a3a4＋a5＝0，则q＝________；S3＝________．
[能力提升]
13．[2022·北京模拟]《九章算术》中有述：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．意思是：“今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．”请问当莞长高到长度是蒲的5倍时，需要经过的天数是(结果精确到0.1，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)( )
A．2.9天B．3.9天
C．4.9天D．5.9天
14．[2022·浙江模拟]设{an}为等比数列，Sn和Tn分别为{an}的前n项和与前n项积，则下列选项错误的是( )
A．若S2023≥S2022，则{Sn}不一定是递增数列
B．若T2024≥T2023，则{Tn}不一定是递增数列
C.若{Sn}为递增数列，则可能存在a2022a2021一定成立
15．[2022·上海模拟]若数列{an}满足eq \f(1,an＋1)－eq \f(3,an)＝0，则称{an}为“追梦数列”．已知数列{eq \f(1,bn＋1)}为“追梦数列”，且b1＝2，则数列{bn}的通项公式bn＝________．
16．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．
专练31 等比数列及其前n项和
1．B 由题意可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(a1（1－q6）,1－q)＝9×\f(a1（1－q3）,1－q)，,\f(a1（1－q5）,1－q)＝62，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(q3＝8，,\f(a1（1－q5）,1－q)＝62，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(q＝2，,a1＝2，))选B.
2．A 因为4a2a4＝4a3－1，所以4a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) q4＝4a1q2－1，又a1＝eq \f(1,8)，解得q＝±2，所以a2＝a1·q＝eq \f(1,8)×(±2)＝±eq \f(1,4).故选A.
3．A ∵等比数列{an}的各项均为正数，且a1·a6＝9,
∴lg3a1＋lg3a2＋…＋lg3a6＝lg3(a1·a2·…·a6)＝lg3(a1·a6)3＝lg393＝6.
4．B 因为数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，
所以令m＝n＝1，则a1＋1＝a1a1＝2×2＝4，即a2＝4，
令m＝n＝2，则a2＋2＝a2a2＝4×4＝16，即a4＝16.
5．C 因为a eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(7)) ＝a9，即(a1q6)2＝a1q8，所以a5＝1，又因为a8>a9，所以数列{an}为正项单调递减数列，所以01＝q0，所以nS2022，所以{Sn}不是递增数列，故选项A正确；
对于选项B，当{an}为：1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…时，T2023＝－1，T2024＝1，T2025＝－1，
满足T2024≥T2023，但{Tn}不是递增数列，故选项B正确；
对于选项C，当{an}为：1，eq \f(1,2)，eq \f(1,4)，eq \f(1,8)，…，时，Sn＝eq \f(1－\f(1,2n),1－\f(1,2))＝2(1－eq \f(1,2n))，满足{Sn}为递增数列，此时a2022＝eq \f(1,22021)