2024版高考数学微专题专练13导数与函数的单调性理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练13导数与函数的单调性理（附解析），共6页。


[基础强化]
一、选择题
1．函数f(x)＝3＋xlnx的单调递减区间是( )
A．(eq \f(1,e)，e) B．(0，eq \f(1,e))
C．(－∞，eq \f(1,e)) D．(eq \f(1,e)，＋∞)
2．已知函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，则下面判断正确的是( )
A．在区间(－2，1)上f(x)是增函数
B．在(1，3)上f(x)是减函数
C．在(4，5)上f(x)是增函数
D．当x＝4时，f(x)取极大值
3．若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则使得函数f(x－1)单调递减的一个充分不必要条件是x∈( )
A．[0，1] B．[3，5]
C．[2，3] D．[2，4]
4．[2022·安徽省高三月考]设a＝π－3，b＝sin6，c＝sin3，则a，b，c的大小关系是( )
A．b>a>cB．c>a>b
C．a>c>bD．a>b>c
5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A．[－eq \r(3)，eq \r(3)]
B．(－eq \r(3)，eq \r(3))
C．(－∞，－eq \r(3))∪(eq \r(3)，＋∞)
D．(－∞，－eq \r(3))
6．已知函数f(x)＝x2－alnx在(1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，1]
C．(－∞，2) D．(－∞，2]
7．若f(x)＝eq \f(lnx,x)，0A．f(a)>f(b) B．f(a)＝f(b)
C．f(a)1
8．已知函数y＝f(x)满足f′(x)＝x2－3x－4，则y＝f(x＋3)的单调减区间为( )
A．(－4，1) B．(－1，4)
C．(－∞，－eq \f(3,2)) D．(－∞，eq \f(3,2))
9．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0，1)
B．(－1，0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1，0)
D．(0，1)∪(1，＋∞)
二、填空题
10．[2022·江苏盐城三模]已知f′(x)为f(x)的导函数，且满足f(0)＝1，对任意的实数x总有2f′(x)－f(x)>2，则不等式f(x)＋2≥3eeq \s\up6(\f(x,2))的解集为________．
11．已知定义在[－π，π]上的函数f(x)＝xsinx＋csx，则f(x)的单调递增区间是________．
12．[2022·陕西渭南二模(理)]已知定义在R上的函数f(x)，满足以下条件：①当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，2)时，f′(x)<0；②f(2－x)＝f(x)；③f(x)的图像关于原点对称．请写出函数f(x)的一个解析式为f(x)＝________．
[能力提升]
13．[2022·江西省九校联考]已知函数y＝f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，且当x∈(－∞，0)，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝21.5f(21.5)，b＝(ln3)f(ln3)，c＝(lgeq \s\d9(\f(1,2))eq \f(1,4))f(lgeq \s\d9(\f(1,2))eq \f(1,4))，则( )
A．a>b>cB．b>a>c
C．c>a>bD．b>c>a
14．[2022·东北三省三校高三二模]已知实数a，b，c满足a<2，alna－2ln2＝a－2，beq \f(1,2)，clnc－eq \f(1,2)lneq \f(1,2)＝c－eq \f(1,2)，则( )
A．cC．a15．[2022·安徽省滁州市高三质量检测]已知函数f(x)＝eq \f(lnx,x2)，关于x的不等式1－eq \f(a,f（x）)>0的解集中有且只有一个整数，则实数a的范围是( )
A．[eq \f(ln3,3)，ln2) B．[eq \f(ln3,9)，eq \f(ln2,4))
C．[eq \f(2ln3,9)，ln2) D．[eq \f(ln6,9)，eq \f(ln2,2))
16．[2022·江西省赣州市期末]已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(0，＋∞)时，都有不等式f(x)－xf′(x)＞0成立，若a＝4eq \s\up6(\f(1,5))f(4－eq \f(1,5))，b＝eq \r(2)f(eq \f(\r(2),2))，c＝lgeq \s\d9(\f(1,3))9f(lgeq \s\d9(\f(1,3))eq \r(3))，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜cB．a＜c＜b
C．b＞a＞cD．a＞b＞c
专练13 导数与函数的单调性
1．B 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，由f′(x)<0，得02．C 由函数y＝f(x)与y＝f′(x)的关系可知，当x∈(－2，1)时，f(x)先减后增，故A不正确；当x∈(1，3)时，f(x)先增后减，故B不正确；当x∈(4，5)时，f′(x)>0，∴f(x)在(4，5)上单调递增，故C正确；由函数的图像可知函数在x＝4处取得极小值，故D不正确．
3．C 因为f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，所以f(x)在区间[1，3]上单调递减，f(x)的图像向右平移一个单位长度得到f(x－1)的图像，所以f(x－1)在区间[2，4]上单调递减．用集合的观点考虑“充分不必要条件”，在选项中，包含在区间[2，4]内的选项为C.故选C.
4．C 令f(x)＝x－sinx，x∈(0，eq \f(π,2))，
则f′(x)＝1－csx>0，
所以函数f(x)＝x－sinx在(0，eq \f(π,2))上递增，
所以x－sinx>0，即x>sinx在x∈(0，eq \f(π,2))上恒成立，
又π－3∈(0，eq \f(π,2))，
所以π－3>sin (π－3)＝sin3>0，
又6∈(π，2π)，所以sin6<0，
所以π－3>sin3>sin6，
即a>c>b.
5．A 函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1的导数为f′(x)＝－3x2＋2ax－1.∵函数f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数，∴在(－∞，＋∞)上f′(x)≤0恒成立，即－3x2＋2ax－1≤0恒成立，∴Δ＝4a2－12≤0，解得－eq \r(3)≤a≤eq \r(3)，∴实数a的取值范围是[－eq \r(3)，eq \r(3)].故选A.
6．D 由f(x)＝x2－alnx，得f′(x)＝2x－eq \f(a,x)，
∵f(x)在(1，＋∞)上单调递增，∴2x－eq \f(a,x)≥0，即a≤2x2在(1，＋∞)上恒成立，∴a≤2.故选D.
7．C ∵f(x)＝eq \f(lnx,x)，∴f′(x)＝eq \f(1－lnx,x2)，当00，故f(x)在(0，e)上单调递增．又∵08．A 由f′(x)＝x2－3x－4<0，得－1∴f(x)的单调减区间为(－1，4)，
∴y＝f(x＋3)的单调减区间为(－4，1).
9．A 令F(x)＝eq \f(f（x）,x)，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F′(x)＝eq \f(xf′（x）－f（x）,x2)，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以F(x)＝eq \f(f（x）,x)在(0，＋∞)上单调递减，根据对称性，F(x)＝eq \f(f（x）,x)在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1).故选A.
10．[0，＋∞)
解析：设函数g(x)＝eq \f(f（x）＋2,e\s\up6(\f(x,2)))，则
g′(x)＝eq \f(f′（x）·e\s\up6(\f(x,2))－\f(1,2)·e\s\up6(\f(x,2))·[f（x）＋2],（e\s\up6(\f(x,2))）2)
＝eq \f(2f′（x）－f（x）－2,2e\s\up6(\f(x,2)))，
又∵2f′(x)－f(x)>2，∴g′(x)>0，
所以g(x)在R上单调递增，又g(0)＝f(0)＋2＝3，
故不等式f(x)＋2≥3eeq \s\up6(\f(x,2))可化为g(x)≥g(0)，
由g(x)的单调性可得该不等式的解集为[0，＋∞).
11.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
解析：∵f′(x)＝sinx＋xcsx－sinx＝xcsx，
由f′(x)>0得－π∴f(x)的单调增区间为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
12．sin (eq \f(π,2)x)(答案不唯一)
解析：因为f(x)的图像关于原点对称，所以f(x)为奇函数；
由f(2－x)＝f(x)可知，函数f(x)的图像关于直线x＝1对称；
所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)＝－f(2－x)＝f(x－2)，所以f(x)的周期为4；
又当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，2)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减．
结合所学函数，记f(x)＝sin (eq \f(π,2)x)，x∈R，
则f(－x)＝sin (－eq \f(π,2)x)＝－sin (eq \f(π,2)x)＝－f(x)，满足③；
f(2－x)＝sineq \f(π,2)(2－x)＝sin (π－eq \f(π,2)x)＝sin (eq \f(π,2)x)＝f(x)，满足②；
由0eq \f(π,2)所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，满足①.
13．D 函数y＝f(x－1)的图像关于直线x＝1对称，可知函数y＝f(x)的图像关于直线x＝0对称，即y＝f(x)为偶函数，构造g(x)＝xf(x)，当x∈(－∞，0)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0，故y＝g(x)在(－∞，0)上单调递减，且易知g(x)为奇函数，故y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递减，由21.5>2＝lgeq \s\d9(\f(1,2))eq \f(1,4)>ln3>0，所以g(21.5)14．D 由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(alna－a＝2ln2－2,blnb－b＝\r(2)ln\r(2)－\r(2),clnc－c＝\f(1,2)ln\f(1,2)－\f(1,2)))；
令f(x)＝xlnx－x，则f′(x)＝lnx，
∴当x∈(0，1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0；
∴f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
∴f(x)min＝f(1)＝－1；
又f(e)＝0，当x∈(0，1)时，f(x)<0；
∴方程f(x)＝t(－1∴0∵eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(f（a）＝f（2）,f（b）＝f（\r(2)）,f（c）＝f（\f(1,2)）))，又0∴0又f(2)>f(eq \r(2))，∴f(a)>f(b)，∴a综上所述：a15．B 因为f(1)＝eq \f(ln1,1)＝0，所以x＝1不是不等式1－eq \f(a,f（x）)>0的一个解，
当x>1时，f(x)＝eq \f(lnx,x2)>0，
则1－eq \f(a,f（x）)>0⇔f(x)－a>0⇔a不等式1－eq \f(a,f（x）)>0有且只有一个整数解等价于a即f(x)的图像在直线y＝a的上方只有一个整数解
f′(x)＝eq \f(1－2lnx,x3)，
令f′(x)＝0，则x＝eq \r(e)，
当x∈(0，eq \r(e))时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(eq \r(e)，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
作出f(x)的图像，
由图像可知a的取值范围为f(3)≤a即eq \f(ln3,9)≤a16．A ∵当x∈(0，＋∞)时不等式f(x)－xf′(x)＞0成立，
∴(eq \f(f（x）,x))′＝eq \f(f′（x）x－f（x）,x2)＜0，
∴g(x)＝eq \f(f（x）,x)在(0，＋∞)上是减函数．
则a＝4eq \s\up6(\f(1,5))f(4－eq \f(1,5))＝eq \f(f（4－\f(1,5)）,4－\f(1,5))＝g(4－eq \f(1,5))，b＝eq \r(2)f(eq \f(\r(2),2))＝eq \f(f（\f(\r(2),2)）,\f(\r(2),2))＝g(eq \f(\r(2),2))，
c＝lgeq \s\d9(\f(1,3))9f(lgeq \s\d9(\f(1,3))eq \r(3))＝－2f(－eq \f(1,2))＝eq \f(f（－\f(1,2)）,－\f(1,2))＝g(－eq \f(1,2))，
又∵函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，
∴g(x)＝eq \f(f（x）,x)是定义在R上的偶函数，
则g(－eq \f(1,2))＝g(eq \f(1,2))，
∵4－eq \f(1,5)＝eq \f(1,\r(5,4))＝eq \f(1,\r(10,16))>eq \f(1,\r(10,25))＝eq \f(\r(2),2)＞eq \f(1,2)，
∵g(x)在(0，＋∞)上是减函数，
∴g(4－eq \f(1,5))＜g(eq \f(\r(2),2))＜g(eq \f(1,2))，
则a＜b＜c.