2024版高考数学微专题专练14导数与函数的极值最值理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练14导数与函数的极值最值理（附解析），共7页。

[基础强化]
一、选择题
1．函数f(x)＝eq \f(1,2)x2－lnx的最小值为( )
A．eq \f(1,2)B．1
C．0 D．不存在
2．函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－4x＋4的极大值为( )
A．eq \f(28,3)B．6
C．eq \f(26,3)D．7
3．[2021·全国乙卷]设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则( )
A.a＜bB．a＞b
C．ab＜a2D．ab＞a2
4．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于( )
A．11或18B．11
C．18D．17或18
5．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是( )
A.(－1，2)
B．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
C.(－3，6)
D．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
6．[2022·全国甲卷(理)，6]当x＝1时，函数f(x)＝alnx＋eq \f(b,x)取得最大值－2，则f′(2)＝( )
A．－1B．－eq \f(1,2)
C．eq \f(1,2)D．1
7．若ex≥k＋x在R上恒成立，则实数k的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞)
C．(－∞，－1] D．[－1，＋∞)
8．[2022·江西鹰潭二模]已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(1,2)ax2＋2bx＋c的极大值点x1∈(0，1)，极小值点x2∈(1，2)，则eq \f(b－3,a＋2)的取值范围是( )
A．(－eq \f(1,3)，0)∪(0，eq \f(1,2))
B．(－∞，－3)∪(2，＋∞)
C.(－3，2)
D．(－eq \f(1,3)，eq \f(1,2))
9．[2022·陕西省西安中学二模]已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3＋eq \f(1,2)ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若f(x1)＝x1，则关于x的方程f2(x)＋af(x)＋b＝0的不同实根个数为( )
A．2B．3
C．4D．5
二、填空题
10．[2022·天津河西二模]若函数f(x)＝x3＋ax2－x－9在x＝－1处取得极值，则f(2)＝________．
11．[2022·湖南常德一模]设函数f(x)＝x(x＋1)·(x－2m)的两个极值点为x1，x2，若f(x1)＋f(x2)＞0，则实数m的取值范围是________．
12．[2022·广东茂名二模]已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,elnx)，x＞1,x3－3x＋a，x≤1))，若存在实数t使得函数y＝[f(x)]2－(t＋2)f(x)＋2t有7个不同的零点，则实数a的取值范围是________．
[能力提升]
13．[2022·江西省临川第一中学模拟]已知f(x)＝eq \f(1,2)x2－2ax，g(x)＝3a2lnx－b，其中a＞0.设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点，且在该点的切线相同，则实数b的最小值为( )
A．eq \f(1,3e)B．3e
C．－6e2D．－eq \f(1,6e2)
14．[2022·江西省南昌市模拟]已知函数f(x)＝lnx－ax(x≥1)，若f(x1)＝f(x2)＝m(x1＜x2)，且x2－x1＝1，则实数a的最大值为( )
A.2B．eq \f(1,2)
C．ln2D．e
15．[2022·河南省六市三模]若不等式|x－a|－2lnx≥0恒成立，则a的取值范围是________．
16．[2022·全国乙卷(理)，16]已知x＝x1和x＝x2分别是函数f(x)＝2ax－ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点．若x10，由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a＋2b,3)))上单调递减，所以x＝a为函数f(x)的极大值点，满足题意；
②若eq \f(a＋2b,3)＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递增，无极值点，不满足题意；
③若eq \f(a＋2b,3)a.
当ab.
综上，可知必有ab>a2成立．故选D.
4．C f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＋2a＋b＝0，,1＋a＋b＋a2＝10，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－3－2a，,a2－a－12＝0，))
⇒eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝－11，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝3.))
当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝3))时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，
∴在x＝1处不存在极值．
当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝－11))时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，
∴x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(11,3)，1))，f′(x)0，符合题意．∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝－11.))
∴f(2)＝8＋16－22＋16＝18.
5．B ∵函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，且f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6，由题意得方程3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不同的实数解，∴Δ＝4m2－12(m＋6)>0，解得m6，∴实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞).故选B.
6．B 由题意，得f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝eq \f(a,x)－eq \f(b,x2)＝eq \f(ax－b,x2).又当x＝1时，f(x)取得最大值－2，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＜0，,f′（1）＝0，,f（1）＝－2，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＜0，,a－b＝0，,b＝－2，))所以a＝b＝－2，则f′(x)＝eq \f(－2x＋2,x2)，所以f′(2)＝eq \f(－2×2＋2,22)＝－eq \f(1,2).故选B.
7．A 由ex≥k＋x恒成立，∴k≤(ex－x)min，设f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－1，由f′(x)>0，得x>0，由f′(x)x2，不符合题意，舍去．(2)若0elgaeq \f(e,（lna）2)，所以aeq \s\up6(\f(1,lna))