高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.2 离散型随机变量的分布列随堂练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.2.2 离散型随机变量的分布列随堂练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则常数a的值为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(1,3)或eq \f(2,3) D．－eq \f(1,3)或－eq \f(2,3)
A [由离散型随机变量分布列的性质可得
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9a2－a＋3－8a＝1，,0≤9a2－a≤1，,0≤3－8a≤1，))解得a＝eq \f(1,3)．]
2．已知随机变量X的分布列为P(X＝k)＝eq \f(1,2k)，k＝1，2，…，则P(2＜X≤4)等于( )
A．eq \f(3,16) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,16) D．eq \f(1,5)
A [2＜X≤4时，X＝3，4．
所以P(2＜X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq \f(1,23)＋eq \f(1,24)＝eq \f(3,16)．]
3．已知随机变量X的分布列如下表所示，其中c＝2b－a，则P(|X|＝1)等于( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,4) C．eq \f(1,2) D．eq \f(2,3)
D [由条件知，2b＝a＋c．
由分布列的性质得a＋b＋c＝3b＝1，∴b＝eq \f(1,3)．
∴P(|X|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝－1)＝1－P(X＝0)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)．]
4．若P(X≤n)＝1－a，P(X≥m)＝1－b，其中mA．(1－a)(1－b) B．1－a(1－b)
C．1－(a＋b) D．1－b(1－a)
C [P(m≤X≤n)＝P(X≤n)－P(X＜m)＝1－a－[1－(1－b)]＝1－(a＋b)．]
5．(多选题)设离散型随机变量X的分布列为
则下列各式正确的是( )
A．P(X＝1.5)＝0 B．P(X＞－1)＝eq \f(9,10)
C．P(2＜X＜4)＝1 D．P(X＜0)＝0
AB [∵事件“X＝1.5”不存在，∴P(X＝1.5)＝0，∴A正确．∵P(X＞－1)＝1－P(X＝－1)＝eq \f(9,10)，
∴B正确．∵P(2＜X＜4)＝P(X＝3)＝eq \f(2,5)，P(X＜0)＝eq \f(1,10)，∴C，D均不正确．故选AB．]
二、填空题
6．在射击的试验中，令X＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1 射中，,0 未射中))如果射中的概率为0.8，则随机变量X的分布列为________．
[答案]
7．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中2b＝a＋c，且c＝ab，
则这名运动员得3分的概率是________．
eq \f(1,6) [由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝eq \f(1,2)，b＝eq \f(1,3)，c＝eq \f(1,6)，所以得3分的概率是eq \f(1,6)．]
三、解答题
8．设离散型随机变量X的分布列为
试求：
(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
[解] 由分布列的性质知0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3．
列表为
(1)2X＋1的分布列为
(2)|X－1|的分布列为
9．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S．
(1)设“使得m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举事件A包含的基本事件；
(2)设ξ＝m2，求ξ的分布列．
[解] (1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3，即S＝{x|－2≤x≤3}．
由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，
所以事件A包含的基本事件为
(－2，2)，(2，－2)，(－1，1)，(1，－1)，(0，0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1，0，1，2，3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0，1，4，9，且有
P(ξ＝0)＝eq \f(1,6)， P(ξ＝1)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)， P(ξ＝4)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)， P(ξ＝9)＝eq \f(1,6)．
故ξ的分布列为
1．随机变量ξ的分布列如下．
其中a＋c＝2b，则函数f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点的概率为( )
A．eq \f(1,6) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(5,6)
B [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))解得b＝eq \f(1,3)．
∵f(x)＝x2＋2x＋ξ有且只有一个零点，
∴Δ＝4－4ξ＝0，解得ξ＝1，
∴P(ξ＝1)＝eq \f(1,3)．故选B．]
2．(多选题)已知随机变量X的分布列如下．
若P(X2＜x)＝eq \f(11,12)，则实数x的值可以是( )
A．3 B．5 C．7 D．9
BCD [由随机变量X的分布列知X2的可能取值为0，1，4，9，且P(X2＝0)＝eq \f(4,12)，P(X2＝1)＝eq \f(3,12)＋eq \f(1,12)＝eq \f(4,12)，P(X2＝4)＝eq \f(1,12)＋eq \f(2,12)＝eq \f(3,12)，P(X2＝9)＝eq \f(1,12)．
∵P(X2＜x)＝eq \f(11,12)＝eq \f(4,12)＋eq \f(4,12)＋eq \f(3,12)，
∴实数x的取值范围是4＜x≤9，
故选BCD．]
3．随机变量η的分布列如下．
则x＝________，P(η≤3)＝________．
0 0.55 [由分布列的性质得0.2＋x＋0.35＋0.1＋0.15＋0.2＝1，
解得x＝0．故P(η≤3)＝P(η＝1)＋P(η＝2)＋P(η＝3)＝0.2＋0.35＝0.55．]
4．已知随机变量X只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次相差为d，则d的取值范围为________．
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(1,3))) [设X的分布列为
由离散型随机变量分布列的基本性质知
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a－d＋a＋a＋d＝1，,0≤a－d≤1，,0≤a＋d≤1，))解得－eq \f(1,3)≤d≤eq \f(1,3)．]
为了解城市的空气质量，某市环保局随机抽取了该市一年内100天的空气质量指数(AQI)的相关数据如下表所示：
(1)从空气质量指数属于[0，50]，[51，100]的天数中任取3天，求这3天中空气质量等级至少有2天为优的概率；
(2)已知某企业每天的经济损失Y(单位：元)与空气质量指数X的关系式为Y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，0≤X≤100,220，101≤X≤300，,1 480，X＞300))
请写出该企业一天的经济损失Y的分布列．
[解] (1)设ξ为选取的3天中空气质量等级为优的天数，则P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(2,6)C\\al(1,14),C\\al(3,20))＋eq \f(C\\al(3,6)C\\al(0,14),C\\al(3,20))＝eq \f(23,114)．
(2)由题意可知Y的取值范围为{0，220，1 480}．
P(Y＝0)＝P(0≤X≤100)＝eq \f(6＋14,100)＝eq \f(1,5)，
P(Y＝220)＝P(101≤X≤300)＝eq \f(18＋27＋25,100)＝eq \f(7,10)，
P(Y＝1 480)＝P(X＞300)＝eq \f(10,100)＝eq \f(1,10)，
因此Y的分布列为
X
0
1
P
9a2－a
3－8a
X
－1
0
1
P
a
b
c
X
－1
0
1
2
3
P
eq \f(1,10)
eq \f(1,5)
eq \f(1,10)
eq \f(1,5)
eq \f(2,5)
X
0
1
P
0.2
0.8
X
0
2
3
P
a
b
c
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
ξ
0
1
4
9
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,3)
eq \f(1,3)
eq \f(1,6)
ξ
0
1
2
P
a
b
c
X
－2
－1
0
1
2
3
P
eq \f(1,12)
eq \f(3,12)
eq \f(4,12)
eq \f(1,12)
eq \f(2,12)
eq \f(1,12)
η
1
2
3
4
5
6
P
0.2
x
0.35
0.1
0.15
0.2
X
x1
x2
x3
P
a－d
a
a＋d
AQI
[0，50]
[51，100]
[101，150]
[151，200]
[201，300]
大于300
空气质量
等级
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
天数
6
14
18
27
25
10
Y
0
220
1 480
P
eq \f(1,5)
eq \f(7,10)
eq \f(1,10)