人教B版高中数学选择性必修第二册课时分层作业18离散型随机变量的方差含答案

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课时分层作业(十八)　离散型随机变量的方差一、选择题1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝pk·(1－p)1－k(k＝0，1)，则E(X)，D(X)的值分别是(　　)A．0和1　　　 B．p和p2C．p和1－p　　 D．p和(1－p)pD　[由X的分布列知，P(X＝0)＝1－p，P(X＝1)＝p，故E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p，易知X服从两点分布，∴D(X)＝p(1－p)．]2．已知随机变量X的分布列为设Y＝2X＋3，则D(Y)＝(　　)A．eq \f(8,3) B．eq \f(5,3) C．eq \f(2,3) D．eq \f(1,3)A　[∵E(X)＝0×eq \f(1,3)＋1×eq \f(1,3)＋2×eq \f(1,3)＝1，∴D(X)＝(0－1)2×eq \f(1,3)＋(1－1)2×eq \f(1,3)＋(2－1)2×eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，∴D(Y)＝D(2X＋3)＝4D(X)＝eq \f(8,3)．]3．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D(ξ)＝(　　)A．eq \f(15,8) B．eq \f(15,4) C．eq \f(5,2) D．5A　[两枚硬币同时出现反面的概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4)，故ξ～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,4)))，因此D(ξ)＝10×eq \f(1,4)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq \f(15,8)．故选A．]4．某次考试共有12道选择题，每道选择题5分，每道选择题有四个选项且只有一个选项是正确的，学生A对12道选择题中每道题的四个选项都没有把握，最后选择题的总得分为X，学生B对12道选择题中每道题的四个选项都能判断其中有一个选项是错误的，对其他三个选项都没有把握，最后选择题的总得分为Y，则D(Y)－D(X)的值为(　　)A．eq \f(125,12) B．eq \f(35,12) C．eq \f(27,4) D．eq \f(23,4)A　[设学生A答对题的个数为m，则总得分X＝5m，由题可知m～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12，\f(1,4)))，D(m)＝12×eq \f(1,4)×eq \f(3,4)＝eq \f(9,4)，所以D(X)＝25×eq \f(9,4)＝eq \f(225,4)．同理设学生B答对题的个数为n，则总得分Y＝5n，由题可知n～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12，\f(1,3)))，D(n)＝12×eq \f(1,3)×eq \f(2,3)＝eq \f(8,3)，所以D(Y)＝25×eq \f(8,3)＝eq \f(200,3)．所以D(Y)－D(X)＝eq \f(200,3)－eq \f(225,4)＝eq \f(125,12)．故选A．]5．若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq \f(2,3)，P(X＝x2)＝eq \f(1,3)，且x1＜x2，又已知E(X)＝eq \f(4,3)，D(X)＝eq \f(2,9)，则x1＋x2的值为(　　)A．eq \f(5,3) B．eq \f(7,3) C．3 D．eq \f(11,3)C　[∵E(X)＝eq \f(2,3)x1＋eq \f(1,3)x2＝eq \f(4,3)．∴x2＝4－2x1，D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－x1))eq \s\up12(2)×eq \f(2,3)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)－x2))eq \s\up12(2)×eq \f(1,3)＝eq \f(2,9)．∵x1＜x2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2，))∴x1＋x2＝3．]二、填空题6．一农场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D(ξ)＝________．0.196　[因为随机变量ξ～B(10，0.02)，所以D(ξ)＝10×0.02×0.98＝0.196．]7．随机变量ξ的取值为0，1，2．若P(ξ＝0)＝eq \f(1,5)，E(ξ)＝1，则D(ξ)＝________．eq \f(2,5)　[设P(ξ＝1)＝a，P(ξ＝2)＝b，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,5)＋a＋b＝1，,a＋2b＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,5)，,b＝\f(1,5)，))所以D(ξ)＝eq \f(1,5)＋eq \f(3,5)×0＋eq \f(1,5)×1＝eq \f(2,5)．]8．已知随机变量X的分布列如下表：其中a>0，b>0．且E(X)＝2，则b＝________，D(2X－1)＝________．eq \f(1,4)　24　[由题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋b＋\f(1,4)＝1,EX＝0×\f(1,2)＋2b＋\f(1,4)a＝2))，解得b＝eq \f(1,4)，a＝6．所以D(X)＝(0－2)2×eq \f(1,2)＋(2－2)2×eq \f(1,4)＋(6－2)2×eq \f(1,4)＝6，所以D(2X－1)＝22·D(X)＝24．]三、解答题9．设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数．(1)求X的分布列、期望及方差；(2)求Y的分布列、期望及方差．[解]　(1)X的可能取值为0，1，2．若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P(X＝0)＝eq \f(C\o\al(3,10),C\o\al(3,12))＝eq \f(6,11)，同理，有P(X＝1)＝eq \f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,10),C\o\al(3,12))＝eq \f(9,22)，P(X＝2)＝eq \f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,10),C\o\al(3,12))＝eq \f(1,22)．∴X的分布列为∴E(X)＝0×eq \f(6,11)＋1×eq \f(9,22)＋2×eq \f(1,22)＝eq \f(1,2)，D(X)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(6,11)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(9,22)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,22)＝eq \f(3,22)＋eq \f(9,88)＋eq \f(9,88)＝eq \f(15,44)．(2)Y的可能取值为1，2，3，显然X＋Y＝3．法一：P(Y＝1)＝P(X＝2)＝eq \f(1,22)，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝eq \f(9,22)，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝eq \f(6,11)，∴Y的分布列为E(Y)＝1×eq \f(1,22)＋2×eq \f(9,22)＋3×eq \f(6,11)＝eq \f(5,2)，D(Y)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(1,22)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(5,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(9,22)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(5,2)))eq \s\up12(2)×eq \f(6,11)＝eq \f(15,44)．法二：E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝eq \f(5,2)，D(Y)＝D(3－X)＝(－1)2D(X)＝eq \f(15,44)．10．某投资公司在年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为eq \f(7,9)和eq \f(2,9)；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq \f(3,5)，eq \f(1,3)，eq \f(1,15)．针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合适的项目，并说明理由．[解]　对于项目一，该项目年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为eq \f(7,9)和eq \f(2,9)，设按该项目投资获利为ζ万元，则随机变量ζ的分布列为因此E(ζ)＝300×eq \f(7,9)－150×eq \f(2,9)＝200(万元)，D(ζ)＝(300－200)2×eq \f(7,9)＋(－150－200)2×eq \f(2,9)＝35 000．对于项目二，该项目年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为eq \f(3,5)，eq \f(1,3)，eq \f(1,15)，设按该项目投资获利为η万元，则随机变量η的分布列为因此E(η)＝500×eq \f(3,5)＋0×eq \f(1,15)－300×eq \f(1,3)＝200(万元)，D(η)＝(500－200)2×eq \f(3,5)＋(0－200)2×eq \f(1,15)＋(－300－200)2×eq \f(1,3)＝140 000．故E(ζ)＝E(η)，D(ζ)＜D(η)．这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥．综上所述，建议该公司选择项目一投资．1．(多选题)已知 0＜a＜eq \f(1,4)，随机变量ξ的分布列如下．当 a 增大时，则(　　)A．E(ξ)增大　 B．E(ξ)减小C．D(ξ)减小　 D．D(ξ)增大AD　[0＜a＜eq \f(1,4)，由随机变量ξ的分布列，得：E(ξ)＝a－eq \f(3,4)，∴当 a 增大时，E(ξ)增大；D(ξ)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－a＋\f(3,4)))eq \s\up12(2)×eq \f(3,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－a＋\f(3,4)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－a))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－a＋\f(3,4)))eq \s\up12(2)×a＝－a2＋ eq \f(5,2)a＋eq \f(3,16)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(5,4)))eq \s\up12(2)＋eq \f(7,4)，∵0