人教B版高中数学选择性必修第二册第三章3-3第一课时二项式定理学案

这是一份人教B版高中数学选择性必修第二册第三章3-3第一课时二项式定理学案，共8页。

3.3　二项式定理与杨辉三角第1课时　二项式定理三个箱子均装着标有a，b字母的两个大小，形状一样的球，从每个箱子摸出一个球，共摸出3个球，有哪些可能结果？每一种结果有多少种情形？问题：类比上述结果你能联想出(a＋b)3展开式的形式吗？[提示]　(a＋b)3＝Ceq \o\al(0,3)a3b0＋Ceq \o\al(1,3)a2b＋Ceq \o\al(2,3)ab2＋Ceq \o\al(3,3)a0b3．知识点　二项式定理及相关的概念1．二项式定理中，项的系数与二项式系数相同吗？[提示]　二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指Ceq \o\al(0,n)，Ceq \o\al(1,n)，…，Ceq \o\al(n,n)，而项的系数是指该项中除了变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．2．二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式的第k＋1项是否相同？[提示]　不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Ceq \o\al(k,n)an－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为Ceq \o\al(k,n)bn－kak．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　)(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　)(3)Ceq \o\al(k,n)an－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　)(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式的展开式的二项式系数相同． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(x＋1)n的展开式共11项，则n等于(　　)A．9　　　B．10　　　C．11　　　D．12B　[由n＋1＝11，可知n＝10．] 类型1　二项式定理的正用、逆用【例1】　(1)用二项式定理展开eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3,2x2)))eq \s\up12(5)．(2)化简：Ceq \o\al(0,n)(x＋1)n－Ceq \o\al(1,n)(x＋1)n－1＋Ceq \o\al(2,n)(x＋1)n－2－…＋(－1)rCeq \o\al(r,n)(x＋1)n－r＋…＋(－1)nCeq \o\al(n,n)．[思路点拨]　(1)二项式的指数为5，且为两项的和，可直接按二项式定理展开．(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．[解]　(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3,2x2)))eq \s\up12(5)＝Ceq \o\al(0,5)(2x)5＋Ceq \o\al(1,5)(2x)4·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2x2)))＋…＋Ceq \o\al(5,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2x2)))eq \s\up12(5)＝32x5－120x2＋eq \f(180,x)－eq \f(135,x4)＋eq \f(405,8x7)－eq \f(243,32x10)．(2)原式＝Ceq \o\al(0,n)(x＋1)n＋Ceq \o\al(1,n)(x＋1)n－1(－1)＋Ceq \o\al(2,n)(x＋1)n－2·(－1)2＋…＋Ceq \o\al(r,n)(x＋1)n－r(－1)r＋…＋Ceq \o\al(n,n)(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn．1．展开二项式可以按照二项式定理进行．展开时注意二项式定理的结构特征，准确理解二项式的特点是展开二项式的前提条件．2．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．3．对于化简多个式子的和时，可以考虑二项式定理的逆用．对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数．[跟进训练]1．(1)求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq \s\up12(4)的展开式；(2)化简：1＋10Ceq \o\al(1,n)＋102Ceq \o\al(2,n)＋…＋10nCeq \o\al(n,n)．[解]　(1)法一：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq \s\up12(4)＝Ceq \o\al(0,4)(3eq \r(x))4＋Ceq \o\al(1,4)(3eq \r(x))3·eq \f(1,\r(x))＋Ceq \o\al(2,4)(3eq \r(x))2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq \s\up12(2)＋Ceq \o\al(3,4)(3eq \r(x))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq \s\up12(3)＋Ceq \o\al(4,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))eq \s\up12(4)＝81x2＋108x＋54＋eq \f(12,x)＋eq \f(1,x2)．法二：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))eq \s\up12(4)＝eq \f(3x＋14,x2)＝eq \f(1,x2)(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1)＝81x2＋108x＋54＋eq \f(12,x)＋eq \f(1,x2)．(2)原式＝1＋10Ceq \o\al(1,n)＋102Ceq \o\al(2,n)＋…＋10nCeq \o\al(n,n)＝(1＋10)n＝11n． 类型2　二项式系数与项的系数问题【例2】　(1)求二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,x)))eq \s\up12(6)的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；(2)(对接教材)求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))eq \s\up12(9)的展开式中x3的系数．[思路点拨]　利用二项式定理求展开式中的某一项的系数，可以通过二项展开式的通项公式进行求解．[解]　(1)由已知得二项展开式的通项为Tk＋1＝Ceq \o\al(k,6)(2eq \r(x))6－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq \s\up12(k)＝(－1)kCeq \o\al(k,6)·26－k·xeq \s\up12(3－eq \f(3,2)k)，∴T6＝－12xeq \s\up12(－eq \f(9,2))．∴第6项的二项式系数为Ceq \o\al(5,6)＝6，第6项的系数为－12．(2)Tk＋1＝Ceq \o\al(k,9)x9－k·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,x)))eq \s\up12(k)＝(－1)k·Ceq \o\al(k,9)·x9－2k，令9－2k＝3，∴k＝3，即展开式中第4项含x3，其系数为(－1)3·Ceq \o\al(3,9)＝－84．1．二项式系数都是组合数Ceq \o\al(k,n)(k＝0，1，2，…，n)，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式的展开式中“项的系数”这两个概念．2．第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为Ceq \o\al(k,n)．例如，在(1＋2x)7的展开式中，第4项是T4＝Ceq \o\al(3,7)17－3(2x)3，其二项式系数是Ceq \o\al(3,7)＝35，而第4项的系数是Ceq \o\al(3,7)23＝280．[跟进训练]2．求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(2,3x2)))eq \s\up12(5)的展开式的第3项的系数和常数项．[解]　T3＝Ceq \o\al(2,5)(x3)3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3x2)))eq \s\up12(2)＝Ceq \o\al(2,5)·eq \f(4,9)x5，所以第3项的系数为Ceq \o\al(2,5)·eq \f(4,9)＝eq \f(40,9)．通项Tk＋1＝Ceq \o\al(k,5)(x3)5－keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3x2)))eq \s\up12(k)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq \s\up12(k)·Ceq \o\al(k,5)x15－5k，令15－5k＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝Ceq \o\al(3,5)(x3)2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3x2)))eq \s\up12(3)＝eq \f(80,27)． 类型3　求展开式中的特定项1．如何求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(4)展开式中的常数项？[提示]　利用二项展开式的通项Ceq \o\al(k,4)x4－k·eq \f(1,xk)＝Ceq \o\al(k,4)x4－2k求解，令4－2k＝0，则k＝2，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))eq \s\up12(4)展开式中的常数项为Ceq \o\al(2,4)＝eq \f(4×3,2)＝6．2．(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？[提示]　(a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项再把积相加而得到．3．如何求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))(2x＋1)3展开式中含x的项？[提示]　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))(2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋eq \f(1,x)中的x与eq \f(1,x)分别与(2x＋1)3展开式中常数项Ceq \o\al(3,3)＝1及x2项Ceq \o\al(1,3)22x2＝12x2分别相乘再把积相加得x·Ceq \o\al(3,3)＋eq \f(1,x)·Ceq \o\al(1,3)(2x)2＝x＋12x＝13x．即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))(2x＋1)3展开式中含x的项为13x．【例3】　已知在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,x)－\f(3,\r(3,x))))eq \s\up12(n)的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2项的系数．[思路点拨]　eq \x(写出通项Tk＋1)→eq \x(\a\al(令k＝5，x的指数为零))→eq \x(1求出n值)→eq \x(修正通项公式)→eq \x(\a\al(2求x2项的系数))[解]　通项公式为：Tk＋1＝Ceq \o\al(k,n)xeq \s\up12(eq \f(n－k,3)) (－3)kxeq \s\up12(eq －\f(k,3))＝Ceq \o\al(k,n)(－3)kxeq \s\up12(eq \f(n－2k,3))．(1)∵第6项为常数项，∴k＝5时，有eq \f(n－2k,3)＝0，即n＝10．(2)令eq \f(10－2k,3)＝2，得k＝eq \f(1,2)(10－6)＝2，∴所求的系数为Ceq \o\al(2,10)(－3)2＝405．[母题探究](变结论)求展开式中所有的有理项．[解]　由题意得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(10－2k,3)∈Z，,0≤k≤10，k∈Z.))令eq \f(10－2k,3)＝m(m∈Z)，则10－2k＝3m，即k＝5－eq \f(3,2)m．∵k∈Z，∴m应为偶数，m＝2，0，－2，即k＝2，5，8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236，295 245x－2．1．求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项，Tk＝Ceq \o\al(k－1,n)an－k＋1bk－1；(2)求含xk的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项．2．求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．[跟进训练]3．(1)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．(2)若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(a),x2)))eq \s\up12(6)展开式的常数项为60，则常数a的值为________．(1)207　(2)4　[(1)含x5的项应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘，再把积相加的结果，∴其系数为Ceq \o\al(5,10)＋Ceq \o\al(2,10)(－1)＝207．(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(a),x2)))eq \s\up12(6)的展开式的通项是Tk＋1＝Ceq \o\al(k,6)x6－k·(－eq \r(a))kx－2k＝Ceq \o\al(k,6)x6－3k(－eq \r(a))k，令6－3k＝0，得k＝2，即当k＝2时，Tk＋1为常数项，即常数项是Ceq \o\al(2,6)a，根据已知得Ceq \o\al(2,6)a＝60，解得a＝4．]1．在(x－eq \r(3))10的展开式中，含x6的项的系数是(　　)A．－27Ceq \o\al(6,10)　　　B．27Ceq \o\al(4,10)　　　 C．－9Ceq \o\al(6,10)　　　 D．9Ceq \o\al(4,10)D　[含x6的项是T5＝Ceq \o\al(4,10)x6(－eq \r(3))4＝9Ceq \o\al(4,10)x6，所以含x6的项的系数是9Ceq \o\al(4,10)．]2．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))eq \s\up12(8)的展开式中常数项是(　　)A．－28 B．－7 C．7 D．28C　[Tk＋1＝Ceq \o\al(k,8)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)))eq \s\up12(8－k)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(3,x))))eq \s\up12(k)＝(－1)k·Ceq \o\al(k,8)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(8－k)·xeq \s\up12(8－eq \f(4,3)k)，当8－eq \f(4,3)k＝0，即k＝6时，T7＝(－1)6·Ceq \o\al(6,8)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)＝7．]3．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,\r(3,4x))))eq \s\up12(6)的展开式的中间项为(　　)A．－40 B．－40x2 C．40 D．40x2B　[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,\r(3,4x))))eq \s\up12(6)的展开式共有7项，中间项为T4＝Ceq \o\al(3,6)(2x)3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(3,4x))))eq \s\up12(3)＝20×23×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))×xeq \s\up12(3－eq \f(1,3)×3)＝－40x2．]4．(1－x)10的展开式中第7项为________．210x6　[T7＝Ceq \o\al(6,10)(－x)6＝210x6．]5．化简：Ceq \o\al(0,n)2n＋Ceq \o\al(1,n)2n－1＋…＋Ceq \o\al(k,n)2n－k＋…＋Ceq \o\al(n,n)＝________．3n　[原式＝(2＋1)n＝3n．]回顾本节内容，自主完成以下问题：1．二项式定理有何特点？[提示]　展开式的特点：(1)展开式共有n＋1项，各项中a，b的指数和都是n．(2)a按降幂排列，指数由n逐项减1直到0；b按升幂排列，指数由0逐项加1直到n．(3)二项展开式的通项公式中b的指数和组合数的上标相同．2．二项展开式的通项公式有哪些方面的应用？[提示]　二项展开式的通项公式体现了二项展开式的项数、系数、a与b的指数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大项等)及系数等方面有着广泛的应用．1．能用计数原理证明二项式定理．2．掌握二项式定理及二项展开式的通项公式．(重点)3．能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)1．通过二项式定理的学习，培养逻辑推理的素养．2．借助二项式定理及展开式的通项公式解题，提升数学运算的素养．二项式定理定义公式(a＋b)n＝Ceq \o\al(0,n)an＋Ceq \o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \o\al(n,n)bn(n∈N＋)称为二项式定理二项式系数Ceq \o\al(k,n)(k＝0，1，2，…，n)称为第k＋1项的二项式系数二项式通项Ceq \o\al(k,n)an－kbk是展开式中的第k＋1项，可记做Tk＋1＝Ceq \o\al(k,n)an－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N＋)二项展开式Ceq \o\al(0,n)an＋Ceq \o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq \o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \o\al(n,n)bn(n∈N＋)