人教B版高中数学选择性必修第二册第三章3-3第二课时二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用学案

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第2课时　二项式系数的性质、杨辉三角和二项式定理的应用我国古代数学的许多创新和发展都处于世界前列，如南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释(a＋b)n的展开式的各项系数．问题：观察上表，你能借助二项式系数的性质分析上表中的数吗？[提示]　利用组合数性质Ceq \o\al(m,n)＋Ceq \o\al(m＋1,n)＝Ceq \o\al(m＋1,n＋1)观察二项式系数的性质．知识点1　二项式系数的性质(1)Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋…＋Ceq \o\al(n,n)＝2n；(2)Ceq \o\al(1,n)＋Ceq \o\al(3,n)＋Ceq \o\al(5,n)＋…＝Ceq \o\al(0,n)＋Ceq \o\al(2,n)＋Ceq \o\al(4,n)＋…＝2n－1．即①二项展开式的二项式系数的和等于2n．②奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，且都等于2n－1．1．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(3,\r(3,x))))eq \s\up12(n)的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和的比值为64，则n等于(　　)A．4 B．5 C．6 D．7C　[令x＝1，得各项系数的和为4n，各二项式系数的和为2n，则eq \f(4n,2n)＝64，解得n＝6．]知识点2　杨辉三角具有的性质(1)每一行都是对称的，且两端的数都是1；(2)从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．(3)利用二项式系数的对称性可知，二项式系数Ceq \o\al(0,n)，Ceq \o\al(1,n)，Ceq \o\al(2,n)，…，Ceq \o\al(n－1,n)，Ceq \o\al(n,n)是先逐渐变大，再逐渐变小的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当n是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．2．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是(　　)A．第8项　 B．第7项C．第9项　 D．第10项C　[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]3．(对接教材)观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是________．11　2　11　3　3　11　4　a　4　11　5　10　10　5　16　[由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6．] 类型1　求展开式的系数和【例1】　设(1－2x)2 025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 025·x2 025(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 025的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 025的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|的值．[思路点拨]　先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．[解]　(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2 025＝(－1)2 025＝－1． ①(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 025＝32 025． ②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2 025)＝－1－32 025，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝eq \f(－1－32 025,2)．(3)∵Tr＋1＝Ceq \o\al(r,2 025)(－2x)r＝(－1)r·Ceq \o\al(r,2 025)·(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈N＋)，a2k＞0(k∈N)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 025|＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 025＝32 025．1．解决二项式系数和问题思维流程2．“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．[跟进训练]1．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6．[解]　(1)令x＝0，则a0＝－1；令x＝1，得a7＋a6＋…＋a1＋a0＝27＝128，①∴a1＋a2＋…＋a7＝129．(2)令x＝－1，得－a7＋a6－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－4)7，②由①－②得2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256．(3)由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋a6)＝128＋(－4)7，∴a0＋a2＋a4＋a6＝－8 128． 类型2　二项式系数的性质及应用【例2】　已知f(x)＝(eq \r(3,x2)＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992．(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[思路点拨]　求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”．[解]　令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知，4n－2n＝992．∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5．(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3＝Ceq \o\al(2,5)(xeq \s\up12(eq \f(2,3)))3(3x2)2＝90x6，T4＝Ceq \o\al(3,5)(xeq \s\up12(eq \f(2,3)))2(3x2)3＝270xeq \s\up12(eq \f(22,3))．(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝Ceq \o\al(r,5)3r·xeq \s\up12(eq \f(2,3)(5＋2r))．假设Tr＋1项系数最大，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(C\o\al(r,5)3r≥C\o\al(r－1,5)·3r－1，,C\o\al(r,5)3r≥C\o\al(r＋1,5)·3r＋1，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(5！,5－r！r！)×3≥\f(5！,6－r！r－1！)，,\f(5！,5－r！r！)≥\f(5！,4－r！r＋1！)×3，))∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(3,r)≥\f(1,6－r)，,\f(1,5－r)≥\f(3,r＋1).))∴eq \f(7,2)≤r≤eq \f(9,2)，∵r∈N，∴r＝4．∴展开式中系数最大的项为T5＝Ceq \o\al(4,5)xeq \s\up12(eq \f(2,3)) (3x2)4＝405xeq \s\up12(eq \f(26,3))．1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式组的方法求得．[跟进训练]2．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2＋\f(1,x)))n的展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n＝________；展开式中的系数最大的项是________．4　108x5　[eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2＋\f(1,x)))eq \s\up12(n)的展开式中的各二项式系数的和为2n．令x＝1，则各项系数的和为(3＋1)n＝22n，依题意得22n－2n＝240，(2n＋15)(2n－16)＝0，2n＝16，n＝4．所以二项式为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x2＋\f(1,x)))eq \s\up12(4)，其展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \o\al(r,4)·(3x2)4－r·(x－1)r＝34－r·Ceq \o\al(r,4)·x8－3r，所以展开式中的系数为34－r·Ceq \o\al(r,4)．令r＝0，1，2，3，4，得系数的取值为34＝81，33·Ceq \o\al(1,4)＝108，32·Ceq \o\al(2,4)＝54，3Ceq \o\al(3,4)＝12，30·Ceq \o\al(4,4)＝1，所以展开式中的系数最大的项是34－1·Ceq \o\al(1,4)·x8－3＝108x5．] 类型3　与“杨辉三角”有关的问题【例3】　如图所示，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…．记其前n项和为Sn，求S19的值．[思路点拨]　由图知，数列中的首项是Ceq \o\al(2,2)，第2项是Ceq \o\al(1,2)，第3项是Ceq \o\al(2,3)，第4项是Ceq \o\al(1,3)，…，第17项是Ceq \o\al(2,10)，第18项是Ceq \o\al(1,10)，第19项是Ceq \o\al(2,11)．[解]　S19＝(Ceq \o\al(2,2)＋Ceq \o\al(1,2))＋(Ceq \o\al(2,3)＋Ceq \o\al(1,3))＋(Ceq \o\al(2,4)＋Ceq \o\al(1,4))＋…＋(Ceq \o\al(2,10)＋Ceq \o\al(1,10))＋Ceq \o\al(2,11)＝(Ceq \o\al(1,2)＋Ceq \o\al(1,3)＋Ceq \o\al(1,4)＋…＋Ceq \o\al(1,10))＋(Ceq \o\al(2,2)＋Ceq \o\al(2,3)＋…＋Ceq \o\al(2,10)＋Ceq \o\al(2,11))＝(2＋3＋4＋…＋10)＋Ceq \o\al(3,12)＝54＋220＝274．解决“杨辉三角”问题的一般方法[跟进训练]3．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左至右的第14个数与第15个数的比为2∶3．34　[由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以Ceq \o\al(13,n)∶Ceq \o\al(14,n)＝2∶3，即eq \f(14,n－13)＝eq \f(2,3)，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3．] 类型4　二项式定理的应用1．不用计算器，你能用二项式定理求0.9986的近似值，使误差小于0.001吗？[提示]　把0.998变成1－0.002，然后应用二项式定理展开．因为0.9986＝(1－0.002)6＝1－Ceq \o\al(1,6)×0.002＋Ceq \o\al(2,6)×0.0022－Ceq \o\al(3,6)×0.0023＋…＋Ceq \o\al(6,6)×0.0026．第三项T3＝15×0.0022＝0.000 06<0.001，以后各项更小，所以0.9986≈1－0.012＝0.988．2．你能用二项式定理证明eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))eq \s\up12(n)＞2(n∈N＋，且n≥2)吗？[提示]　∵eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))eq \s\up12(n)＝1＋Ceq \o\al(1,n)eq \f(1,n)＋Ceq \o\al(2,n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))eq \s\up12(2)＋…＋Ceq \o\al(n,n)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))eq \s\up12(n)＝2＋eq \f(C\o\al(2,n),n2)＋…＋eq \f(1,nn)，又n≥2且n∈N＋，∴eq \f(C\o\al(2,n),n2)＋eq \f(C\o\al(3,n),n3)＋…＋eq \f(1,nn)＞0．∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))eq \s\up12(n)＞2(n∈N＋，且n≥2)．【例4】　(对接教材)(1)用二项式定理证明：1110－1能被100整除；(2)求9192被100除所得的余数．[解]　(1)证明：∵1110－1＝(10＋1)10－1＝(1010＋Ceq \o\al(1,10)·109＋Ceq \o\al(2,10)·108＋…＋Ceq \o\al(9,10)·10＋1)－1＝1010＋Ceq \o\al(1,10)·109＋Ceq \o\al(2,10)·108＋…＋102＝100(108＋Ceq \o\al(1,10)·107＋Ceq \o\al(2,10)·106＋…＋1)，∴1110－1能被100整除．(2)9192＝(100－9)92＝Ceq \o\al(0,92)·10092－Ceq \o\al(1,92)·10091·9＋Ceq \o\al(2,92)·10090·92－…＋Ceq \o\al(92,92)992，展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．∵992＝(10－1)92＝Ceq \o\al(0,92)·1092－Ceq \o\al(1,92)·1091＋…＋Ceq \o\al(90,92)·102－Ceq \o\al(91,92)·10＋1，前91项能被100整除，后两项和为－919，因余数为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，故9192被100除可得余数为81．[母题探究](变条件)求Ceq \o\al(1,27)＋Ceq \o\al(2,27)＋…＋Ceq \o\al(27,27)除以9的余数．[解]　Ceq \o\al(1,27)＋Ceq \o\al(2,27)＋…＋Ceq \o\al(27,27)＝227－Ceq \o\al(0,27)＝89－1＝(9－1)9－1＝Ceq \o\al(0,9)·99－Ceq \o\al(1,9)·98＋…＋Ceq \o\al(8,9)·9－Ceq \o\al(9,9)－1＝9(Ceq \o\al(0,9)·98－Ceq \o\al(1,9)·97＋…＋Ceq \o\al(8,9))－2＝9(Ceq \o\al(0,9)·98－Ceq \o\al(1,9)·97＋…＋Ceq \o\al(8,9)－1)＋7．显然上式括号内的数是正整数，故Ceq \o\al(1,27)＋Ceq \o\al(2,27)＋…＋Ceq \o\al(27,27)除以9的余数为7．利用二项式定理可以解决余数和整除性问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．整除性问题或求余数问题的处理方法：(1)必须构造一个与题目条件有关的二项式．(2)用二项式定理处理这类问题，通常把被除数的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)的几项就可以了．1．二项式(x－1)n的奇数项二项式系数和是64，则n等于(　　)A．5　　B．6　　C．7　　D．8C　[二项式(a＋b)n的展开式中，奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，∴2n－1＝64，∴n＝7．故选C．]2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是(　　)A．1　　B．－1　　C．215　　D．315B　[令x＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1．]3．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x3＋\f(1,x2)))eq \s\up12(n) (n∈N＋)的展开式中只有第6项系数最大，则该展开式中的常数项为(　　)A．210　　B．252　　C．462　　D．10A　[由于展开式中只有第6项的系数最大，且其系数等于其二项式系数，所以展开式项数为11，从而n＝10，于是得其常数项为Ceq \o\al(6,10)＝210．]4．设(－3＋2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a1＋a2＋a3的值为________．－15　[令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1．①又Tk＋1＝Ceq \o\al(k,4)(－3)4－k(2x)k，∴当k＝4时，x4的系数a4＝16．②由①－②得a0＋a1＋a2＋a3＝－15．]5．如图所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________．46　[由题图可知第10行的第2个数为(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46．]回顾本节内容，自主完成以下问题：1．如何用赋值法求展开式的所有项或部分项的系数和？[提示]　求展开式中的所有项或部分项的系数和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0，1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．2．二项式定理的应用主要体现在哪些方面？[提示]　对于二项式定理的应用主要体现在估算、证明及整除上，注意近似计算可用(1＋x)n≈1＋nx，具体情况视精确度而定．数学家杨辉的故事说到杨辉，大家肯定会想到耳熟能详的“杨辉三角”．而说起杨辉的这一成就，还得从偶然的一件小事说起．一天，台州府的地方官杨辉出外巡游，路上，前面铜锣开道，后面衙役殿兵，中间大轿抬起，好不威风．走着走着，只见开道的镗锣停了下来，前面传来孩童的大声喊叫声，接着是衙役恶狠狠的训斥声．杨辉忙问怎么回事，差人来报：“孩童不让过，说等他把题目算完后才让走，要不就绕道．”杨辉一看来了兴趣，连忙下轿抬步，来到前面．衙役急忙说：“要不要把这孩童哄走？”杨辉摸着孩童头说：“为何不让本官从此处经过？”孩童答道：“不是不让经过，我是怕你们把我的算式踩掉，我又想不起来了．”“什么算式？”“就是把1到9的数字分三行排列，不论直着加，横着加，还是斜着加，结果都等于15．我们先生让我们下午一定要把这道题做好．我正算到关键之处．”杨辉连忙蹲下身，仔细地看那孩童的算式，觉得这个数字在哪见过，仔细一想，原来是西汉学者戴德编纂的《大戴礼》书中所写的文章中提及的．杨辉和孩童俩人连忙一起算了起来，直到天已过午，俩人才舒了一口气，结果出来了，他们又验算了一下，觉得结果全是15，这才站了起来．孩童望着这位慈祥和善的地方官说：“耽搁您的时间了，到我家吃饭吧！”杨辉一听，说：“好，好，下午我也去见见你先生．”孩童望着杨辉，泪眼汪汪，杨辉心想，这里肯定有什么蹊跷，温和地问道：“到底是怎么回事？”孩童这才一五一十把原因道出：原来这孩童并未上学，家中穷得连饭都吃不饱，哪有钱读书．而这孩童给地主家放牛，每到学生上学时，他就偷偷地躲在学生的窗下偷听，今天上午先生出了这道题，这孩童用心自学，终于把它解决了．杨辉听到此，感动万分，一个小小的孩童，竟有这番苦心，实在不易．便对孩童说：“这是10两银子，你拿回家去吧．下午你到学校去，我在那儿等你．”下午，杨辉带着孩童找到先生，把这孩童的情况向先生说了一遍，又掏出银两，给孩童补了名额，孩童一家感激不尽．自此，这孩童方才有了真正的先生．教书先生对杨辉的清廉为人非常敬佩，于是俩人谈论起数学．杨辉说道：“方才我和孩童做的那道题好像是《大戴礼》书中的？”那先生笑着说：“是啊，《大戴礼》虽然是一部记载各种礼仪制度的文集，但其中也包含着一定的数学知识．方才你说的题目，就是我给孩子们出的数学游戏题．”教书先生看到杨辉疑惑的神情，又说道：“南北朝的甄鸾在《数术记遗》一书中就写过：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”杨辉默念一遍，发现他说的正与上午他和孩童摆的数字一样，便问道：“你可知道这个九宫图是如何造出来的？”教书先生也不知出处．杨辉回到家中，反复琢磨，一有空闲就在桌上摆弄着这些数字，终于发现了其中的规律．他把这条规律总结成四句话：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出．就是说：一开始将九个数字从大到小斜排三行，然后将9和1对换，左边7和右边3对换，最后将位于四角的4、2、6、8分别向外移动，排成纵横三行，就构成了九宫图．后来，杨辉又将散见于前人著作和流传于民间的有关这类问题加以整理，得到了“五五图”“六六图”“衍数图”“易数图”“九九图”“百子图”等许多类似的图．杨辉把这些图总称为纵横图，并于1275年写进自己的数学著作《续古摘奇算法》一书中，并流传后世．1．掌握二项式系数的性质及其应用．(重点)2．了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以说明．(难点)3．掌握二项式定理的应用．(难点)1．通过学习二项式系数的性质，培养逻辑推理的素养．2．借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的素养．