高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.1 条件概率学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第二册4.1.1 条件概率学案设计，共10页。


高二(1)班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员．
问题1：从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？
[提示] eq \f(2,5)．
问题2：已知抽出的是女同学的前提下，该同学是共青团员的概率又是多少？
[提示] eq \f(1,2)．
知识点1 条件概率
P(A|B)与P(B|A)相同吗？
[提示] 不同，前者是事件B发生的条件下事件A发生的概率，而后者是事件A发生的条件下事件B发生的概率．一般情况下，它们也不相等．
当题目涉及“在……前提下”等字眼时，一般为条件概率，如题目中没有上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率．在条件概率的表示中，“|”之后的部分表示条件．
1．(对接教材)设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．
0.5 [根据条件概率公式知P＝eq \f(0.4,0.8)＝0.5．]
知识点2 条件概率的性质
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)P(A|A)＝1；
(3)如果B与C互斥，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1．( )
(2)P(B|A)≠P(A∩B)．( )
[答案] (1)× (2)√
类型1 利用定义求条件概率
【例1】 (对接教材)一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：
(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？
(2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？
[解] (1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A，“再摸出1个白球”为事件B，则“先后两次摸出白球”为事件AB，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果，所以P(A)＝eq \f(1,2)，P(A∩B)＝eq \f(2×1,4×3)＝eq \f(1,6)，所以P(B|A)＝eq \f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq \f(1,3)．所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为eq \f(1,3)．
(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A1，“再摸出1个白球”为事件B1，“两次都摸出白球”为事件A1B1，
P(A1)＝eq \f(1,2)，P(A1∩B1)＝eq \f(2×2,4×4)＝eq \f(1,4)，
所以P(B1|A1)＝eq \f(PA1∩B1,PA1)＝eq \f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq \f(1,2)．
所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为eq \f(1,2)．
1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意，弄清概率模型；
(2)计算P(A)，P(A∩B)；
(3)代入公式求P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)．
2．结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．
[跟进训练]
1．据某气象台统计，该地区下雨的概率为eq \f(4,15)，既刮四级以上的风又下雨的概率为eq \f(1,10)．设事件A为该地区下雨，事件B为该地区刮四级以上的风，则P(B|A)＝________．
eq \f(3,8) [由题意知P(A)＝eq \f(4,15)，P(AB)＝eq \f(1,10)，
故P(B|A)＝eq \f(PAB,PA)＝eq \f(\f(1,10),\f(4,15))＝eq \f(3,8)．]
类型2 利用基本事件个数求条件概率
在一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有2个红球，8个黄球．现从中任取一球后(不放回)，再取一球，则已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率为多少？
[提示] 法一：依题意，在第一个球取得红球的条件下，坛子中还有8个黄球，而坛子中此时共有9个球，故再取一球为黄球的概率为eq \f(8,9)．
法二：设“取出的第一个球为红色”为事件A，“取出的第二个球为黄色”为事件B，
则P(A)＝eq \f(2,10)＝eq \f(1,5)，
P(A∩B)＝eq \f(2×8,10×9)＝eq \f(8,45)，
所以P(B|A)＝eq \f(\f(8,45),\f(1,5))＝eq \f(8,9)．
【例2】 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：
(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；
(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；
(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．
[思路点拨] 第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．
[解] 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B．
(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝Aeq \\al(2,6)＝30，
根据分步乘法计数原理n(A)＝Aeq \\al(1,4)Aeq \\al(1,5)＝20，
于是P(A)＝eq \f(nA,nΩ)＝eq \f(20,30)＝eq \f(2,3)．
(2)因为n(A∩B)＝Aeq \\al(2,4)＝12，于是P(A∩B)＝eq \f(nA∩B,nΩ)＝eq \f(12,30)＝eq \f(2,5)．
(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为
P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)＝eq \f(\f(2,5),\f(2,3))＝eq \f(3,5)．
法二：因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20，
所以P(B|A)＝eq \f(nA∩B,nA)＝eq \f(12,20)＝eq \f(3,5)．
[母题探究]
(变结论)本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率．
[解] 设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到语言类节目为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件A∩C．
n(A)＝Aeq \\al(1,4)×Aeq \\al(1,5)＝20，
n(A∩C)＝Aeq \\al(1,4)×Aeq \\al(1,2)＝8，
∴P(C|A)＝eq \f(nA∩C,nA)＝eq \f(8,20)＝eq \f(2,5)．
1．两种求条件概率的方法：法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法．
2．计算条件概率的方法
(1)在缩小后的样本空间ΩA中计算事件B发生的概率，即P(B|A)．
(2)在原样本空间Ω中，先计算P(A∩B)，P(A)，再利用公式P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)，计算求得P(B|A)．
类型3 条件概率的综合应用
【例3】 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字．求：
(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率．
[思路点拨] (1)不超过2次，即第1次按对或第1次未按对第2次按对；
(2)条件概率，利用互斥事件的条件概率公式求解．
[解] 设第i次按对密码为事件Ai(i＝1，2)，则A＝A1∪(eq \(A,\s\up6(－))1A2)表示不超过2次按对密码．
(1)因为事件A1与事件eq \(A,\s\up6(－))1A2互斥，
由概率的加法公式得
P(A)＝P(A1)＋P(eq \(A,\s\up6(－))1A2)＝eq \f(1,10)＋eq \f(9×1,10×9)＝eq \f(1,5)．
(2)用B表示最后一位按偶数的事件，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P((eq \(A,\s\up6(－))1A2)|B)＝eq \f(1,5)＋eq \f(4×1,5×4)＝eq \f(2,5)．
1．利用公式P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．
2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．
[跟进训练]
2．在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第1个球是红球的条件下，第2个球是黄球或黑球的概率．
[解] 设“摸出第1个球为红球”为事件A，“摸出第2个球为黄球”为事件B，“摸出第2个球为黑球”为事件C．
则P(A)＝eq \f(1,10)，P(A∩B)＝eq \f(1×2,10×9)＝eq \f(1,45)，P(A∩C)＝eq \f(1×3,10×9)＝eq \f(1,30)．
所以P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)＝eq \f(1,45)÷eq \f(1,10)＝eq \f(2,9)， P(C|A)＝eq \f(PA∩C,PA)＝eq \f(1,30)÷eq \f(1,10)＝eq \f(1,3)．
所以P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝eq \f(2,9)＋eq \f(1,3)＝eq \f(5,9)．
所以所求的条件概率为eq \f(5,9)．
1．某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%．已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( )
A．0.2 B．0.33 C．0.5 D．0.6
A [记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)＝eq \f(0.03,0.15)＝0.2，
所以数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为0.2．]
2．抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两枚骰子的点数之积大于20的概率是( )
A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．eq \f(3,5)
B [抛掷红、黄两枚骰子共有6×6＝36个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，此时两枚骰子点数之积大于20包含4×6，6×4，6×5，6×6，共4个基本事件，所求概率为eq \f(1,3)．]
3．已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次．在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为( )
A．eq \f(3,5) B．eq \f(2,5) C．eq \f(2,3) D．eq \f(3,10)
B [记事件A＝{第一次取到的是合格高尔夫球}，事件B＝{第二次取到不合格高尔夫球}，事件AB＝{第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球}．由题意可得事件AB发生所包含的基本事件数n(A∩B)＝4×2＝8，事件A发生所包含的基本事件数n(A)＝4×5＝20，所以P(B|A)＝eq \f(nA∩B,nA)＝eq \f(8,20)＝eq \f(2,5)．]
4．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率为________．
0.75 [设“甲击中目标”为事件A，“目标被击中”为事件B，则所求概率为事件B发生的条件下A发生的条件概率．
∵P(AB)＝0.6，P(B)＝0.6×0.5＋0.6×0.5＋0.4×0.5＝0.8，∴P(A|B)＝eq \f(PAB,PB)＝eq \f(0.6,0.8)＝0.75．]
5．某种元件用满6 000小时未坏的概率是eq \f(3,4)，用满10 000小时未坏的概率是eq \f(1,2)，现有一个此种元件，已经用过6 000小时未坏，则它能用到10 000小时的概率为________．
eq \f(2,3) [设“用满6 000小时未坏”为事件A，“用满10 000小时未坏”为事件B，则
P(A)＝eq \f(3,4)，P(A∩B)＝P(B)＝eq \f(1,2)，所以P(B|A)＝eq \f(PA∩B,PA)＝eq \f(\f(1,2),\f(3,4))＝eq \f(2,3)．]
回顾本节内容，自主完成以下问题：
1．求解条件概率应注意哪些问题？
[提示] (1)在具体问题中，必须弄清楚哪是事件A，哪是事件B，即在哪个事件发生的条件下，求哪个事件的概率；
(2)重点抓住“把事件A发生作为条件”还是“把事件B发生作为条件”和“A与B同时发生”这两件事；
(3)正确理解事件A∩B，准确求出P(A∩B)．
(4)要注意结合题意分析事件A与B的关系，有时可从集合知识的角度来分析，若事件A发生时B一定发生，而B发生时A不一定发生，则有A⊆B，且P(A∩B)＝P(A)．
2．如何理解条件概率公式？
[提示] (1)如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)≠P(B|A)；
(2)已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)＝eq \f(nA∩B,nA)＝eq \f(\f(nA∩B,nΩ),\f(nA,nΩ))＝eq \f(PA∩B,PA)．
概率论的起源
概率论渗透到现代生活的方方面面．正如19世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题．你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定地了解．甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上．因此，整个人类知识系统是与这一理论相联系的……”有趣的是，这样一门被称为“人类知识的最重要的一部分”的数学却直接地起源于人类贪婪的产物——赌博，文明一点的说法，就是机会性游戏，即靠运气取胜的游戏．
希罗多德在他的巨著《历史》中记录道，早在公元前1500年，埃及人为了忘却饥饿，经常聚集在一起掷骰子，后来，到了公元前1200年，有了立方体的骰子，6个面上刻上数字，和现代的赌博工具已经没有区别．但概率论的概念直到文艺复兴后才出现，概率论出现如此迟缓，有人认为是人类的道德规范影响了对赌博的研究——既然赌博被视为不道德的，那么将机会性游戏作为科学研究的对象也就是大逆不道．第一个有意识地计算赌博胜算的是文艺复兴时期意大利的卡尔达诺，他计算了同时掷出两个骰子，出现的点数之和是哪个数字的可能性最大，结果发现是“7”．
17世纪，法国贵族德·梅勒在骰子赌博中有急事，必须中途停止赌博．双方各出的30个金币的赌资要靠对胜负的预测进行分配，但不知用什么样的比例分配才算合理．德·梅勒写信向当时法国最具声望的数学家帕斯卡请教．帕斯卡又和当时的另一位数学家费尔马长期通信讨论．于是，一个新的数学分支——概率论产生了．概率论从赌博游戏开始，最终服务于社会的每一个角落．
1．在具体情境中，了解条件概率．(难点)
2．掌握条件概率的计算方法．(重点)
3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题．(易错点)
1．通过条件概率的学习，体会数学抽象的素养．
2．借助条件概率公式解题，提升数学运算素养．
定义
一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)＞0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率
表示
P(A|B)
计算公式
P(A|B)＝eq \f(PA∩B,PB)