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初中数学冀教版九年级上册26.3 解直角三角形当堂达标检测题
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这是一份初中数学冀教版九年级上册26.3 解直角三角形当堂达标检测题，文件包含专题08解直角三角形专项培优训练教师版docx、专题08解直角三角形专项培优训练学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
试卷说明：本套试卷结合人教版数学九年级下册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。
一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2分）（2022秋•承德县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（ ）
A．sinC＝B．sinC＝C．sinC＝D．sinC＝
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，csC＝，tanC＝，
故A、B不符合题意；
在Rt△BAC中，sinC＝，
故C符合题意；
∵∠B+∠BAD＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
在Rt△BAD中，cs∠BAD＝，
∴csC＝cs∠BAD＝，
故D不符合题意；
故选：C．
2．（2分）（2022秋•成武县校级期末）如果Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（ ）
A．都扩大为原来的3倍B．都缩小为原来的
C．没有变化D．不能确定
解：∵Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍后，所得的三角形与Rt△ABC是相似的，
∴锐角A的大小是不变的，
∴锐角A的正弦、余弦值是没有变化，
故选：C．
3．（2分）（2023秋•龙口市期中）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则sinC的值是（ ）
A．B．C．D．
解：如图，
AC＝＝5，
在Rt△ACD中，sinC＝＝，
故选：D．
4．（2分）（2023•巴东县模拟）如图，在3×3的正方形网格中，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cs∠C＝（ ）
A．B．C．D．
解：连接BH，则BH⊥AC，
设小正方形的边长是1，
由勾股定理得：CH＝＝，BC＝＝，
∴csC＝＝＝．
故选：C．
5．（2分）（2022秋•广陵区校级期末）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是（ ）
A．B．7C．D．
解：连接OD，
∵AD⊥BC，O是AB中点，
∴，
∴OD＝OA＝OE＝OD
∴点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，
∴∠ABC＝∠AED，
∴．
故选：A．
6．（2分）（2022秋•离石区期末）正方形网格中，∠AOB如图所示放置（点A，C均在网格的格点上，且点C在OB上），则cs∠AOB的值为（ ）
A．B．C．D．
解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，
根据勾股定理，AO＝＝2，
AC＝＝，
OC＝＝，
所以，AO2＝AC2+OC2＝20，
所以，△AOC是直角三角形，
cs∠AOB＝＝＝．
故选：B．
7．（2分）（2023秋•雁塔区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，则cs∠DCB的值为（ ）
A．B．C．D．
解：在Rt△ABC中，AB＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B＝90°，
而∠A+∠B＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
而csA＝，
∴cs∠DCB＝．
故选：B．
8．（2分）（2022秋•辽宁期末）在△ABC中，AB＝10，，如果△ABC的形状和大小都被确定，那么线段AC的长度不可能为（ ）
A．6B．8C．10D．12
解：如图，当∠C＝90°时，
∵tanB＝＝，
∴设AC＝3x，BC＝4x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴9x2+16x2＝100，
∴x＝2或x＝﹣2舍去，
∴AC＝6，BC＝8，
∵△ABC的形状和大小都被确定，
∴AC＝6或AC≥10，
∴线段AC的长度不可能为8．
故选：B．
9．（2分）（2023•鹤庆县一模）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，D是AC上一点，∠CBD＝∠A，则sin∠CDB的值为（ ）
A．B．C．D．3
解：∵∠CBD＝∠A，CD＝CD，∠C＝90°，
∴△ABC∽△CDB，
∴∠CDB＝∠B，
∴sin∠CDB＝sin∠B，
∵tanA＝＝，
设CD＝1，则AC＝3，
∴AB＝＝＝，
∴sin∠B＝＝＝，
∴sin∠CDB＝．
故选：C．
二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.
10．（2分）（2023春•浦东新区校级期末）如图，两条宽度都为l的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角α＝60°，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是 ．
解：∵AC＝＝，
∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为：
×1＝．
故答案为：．
11．（2分）（2023•思明区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AC上，且DE⊥AC，BD＝CD＝4，若，则DE＝ 2 ．
解：∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠A+∠DCB＝90°，
∴∠ABD＝∠A，
∴AD＝BD＝4，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
∴，
即，
∴DE＝2，
故答案为：2．
12．（2分）（2023秋•杨浦区期中）如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，AC＝AD＝3BD，∠DCB＝∠A，那么cs∠ACD的值是 ．
解：过A作AH⊥CD于H，如图：
设BD＝m，
∵AC＝AD＝3BD，
∴AC＝AD＝3m，AB＝4m，
∵∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，
∴△DCB∽△CAB，
∴＝＝，
即＝＝，
解得BC＝2m，CD＝m，
∵AC＝AD，AH⊥CD，
∴CH＝CD＝m，
在Rt△ACH中，cs∠ACH＝＝＝，
∴cs∠ACD＝；
故答案为：．
13．（2分）（2022秋•宛城区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AC＝10，csC＝，那么CD＝ ．
解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，csC＝，
∴BC＝AC•csC＝10×＝6，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴CD＝BC•csC＝6×＝，
故答案为：．
14．（2分）（2023•金东区二模）如图，一个立方体有盖盒子，棱长为8cm，当正方形PDCS合上时，点A与点P重合，点B与点S重合，此时，两个全等的长方形ADFE与长方形BCHG向内合上，且顶点E，G都落在AB边上，点E在点G的右侧，EG＝2cm．
（1）AE的长度是 5 cm．
（2）长方形ADFE和长方形BCHG，从底面ABCD翻开的过程中，当EG＝1cm且∠EAB最大时，∠EAB的余弦值为 ．
解：（1）∵两个全等的长方形ADFE与长方形BCHG向内合上，且顶点E，G都落在AB边上，
点E在点G的右侧，EG＝2cm．
∴AE＝BG，
∴AG＝BE，
∴2AG+2＝8，解得：AG＝3，
∴AE＝3+2＝5（cm），
故答案为：5；
（2）从底面ABCD翻开的过理中，当EG＝1cm且∠EAB最大时，如图：
过E作EM⊥AB于M，
由题意可得AE2﹣AM2＝BE2﹣BM2，
∴52﹣AM2＝62﹣（8﹣AM）2，
∴AM＝，
∴AM＝BN＝，
∴∠EAB的余弦值为＝．
答案为：．
15．（2分）（2023秋•碑林区校级期中）如图所示，在6×6的正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则cs∠BAC＝ ．
解：如图，连接BD，
∵AD＝＝2，AB＝＝，
∴cs∠BAC＝＝＝．
故答案为：．
16．（2分）（2023•武汉）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 2.7 cm（结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
解：如图，过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E，
在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，
∴CE＝BD＝2cm，
在△OCE中，∠COE＝37°，∠CEO＝90°，
∴tan37°＝，
∴OE＝2.7cm，
即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是2.7cm．
故答案为：2.7cm．
17．（2分）（2023•南岗区校级开学）将一副三角板按如图方式摆放，则∠ADC的正切值为 ．
解：如图，作AE⊥CD，交DC的延长线于点E．
由题意可得：∠ACE＝∠BCD＝45°，∠CAB＝60°，
设AE＝1，则AC＝，
∴BC＝tan∠CAB•AC＝，
∵Rt△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝，
∴DE＝1+，
∴tan∠ADC＝1÷（+1）＝．
18．（2分）（2023春•营口期末）在△ABC中，∠ABC＝105°，∠A＝30°，AC＝2，则AB＝ 4 ．
解：过点B作BD⊥AC于点D，如图：
∵∠A＝30°，∠ABC＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝45°，
设BD＝x，
在Rt△ABD中，BD＝x，∠A＝30°，，，
∴，，
在Rt△BCD中，BD＝x，∠C＝45°，，
∴，
∵，
∴x＝2，
∴AB＝2x＝4．
故答案为：4．
19．（2分）（2023•高碑店市三模）将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则：
（1）tanB＝ ；
（2）BC＝ 8 ．
解：（1）依题意得：FH∥BC，EH＝1，FH＝2，如图所示：
∴∠B＝∠EFH，
∴，
故答案为：．
（2）依题意得：DE∥FH，DE＝2，CD＝3，
∴∠EFH＝∠AED，
∴，
∴AD＝1，
∴AC＝AD+CD＝1+3＝4，
∵，
∴BC＝2AC＝8．
故答案为：8．
20．（2分）（2021秋•南岗区校级期末）如图，△ABC中，BA＝CB＝AD，∠ACD＝30°，tan∠BAC＝，CD＝6+8，则线段BC长度为 10 ．
解：过点A作AH⊥CD于点H，过点B作BT⊥AC于点T．
∵tan∠BAC＝＝，
∴可以假设BT＝4k，AT＝3k，
∵BA＝BC，BT⊥AC，
∴AT＝TC＝3k，AB＝BC＝AD＝＝＝5k，
∵∠ACD＝30°，∠AHC＝90°，AC＝6k，
∴AH＝3k，
∴CH＝AC•cs30°＝3k，DH＝＝＝4k，
∴CD＝DH+CH＝4k+3k＝6+8，
∴k＝2，
∴BC＝10．
三、解答题：本大题共8小题，21-22题每小题6分，23-28题每小题8分，共60分．
21．（6分）（2023秋•杨浦区期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是边AC的中点，连接BD，求∠DBC的正弦值．
解：过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N，如图：
∵AB＝AC＝5，BC＝8，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝4，
∴AM＝＝＝3，
∵点D是边AC的中点，AM∥DN，
∴CD＝AC＝2.5，DN是△ACM的中位线，
∴DN＝AM＝1.5，CN＝CM＝2，
∴BN＝BC﹣CN＝8﹣2＝6，
在Rt△DBN中，BD＝＝＝，
∴sin∠DBN＝＝＝，
即sin∠DBC＝．
22．（6分）（2022秋•太仓市期末）已知△ABC中，∠A＝30°，AB＝4．
（1）如图1，若∠C＝90°，则AC＝ ；（结果保留根号）
（2）如图2，若∠C＝45°，求AC的长．（结果保留根号）
解：（1）∵∠A＝30°，AB＝4，∠C＝90°，
∴csA＝，
∴，
解得：AC＝，
故答案为：；
（2）过点B作BD⊥AC交AC于点D，如图，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝4，∠C＝45°，
∴csA＝，CD＝BD，BD＝AB＝2，
∴，
解得：AD＝2，
∴CD＝BD＝2，
∴AC＝AD+CD＝2+2．
23．（8分）（2023秋•龙口市期中）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，解这个直角三角形．
解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
∵sinA＝，tanA＝，
即＝，＝，
∴AB＝2，AC＝3．
24．（8分）（2023•徐汇区二模）如图，AD、AE分别是△ABC边BC上的高和中线，已知 ，∠C＝45°．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠BAE的值．
解：（1）∵AE是△ABC边BC上中线，BC＝8，
∴BE＝EC＝BC＝4．
∵AD是△ABC边BC上的高，∠C＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，AD＝DC，
∴tanB＝＝，
设AD＝x，则DC＝x，BD＝3x．
∵BD+DC＝BC＝8，
∴3x+x＝8，
解得x＝2，
∴AD的长为2；
（2）如图，作EF⊥AB于F．
由（1）知EC＝4，DC＝2，
∴ED＝EC﹣DC＝4﹣2＝2，
∴AE＝＝＝2．
在Rt△BEF中，∵tanB＝＝，
∴可设EF＝y，则BF＝3y．
∵EF2+BF2＝BE2，
∴y2+（3y）2＝42，
解得y＝，
∴EF＝，
∴sin∠BAE＝＝＝．
25．（8分）（2022秋•沈丘县月考）材料：学习了三角函数之后，我们知道，如果已知一个直角三角形的两条边的长或知道直角三角形的一条边的长及其中一个锐角的度数，可以解直角三角形，从而得到这个直角三角形其他边的长度和其他角的度数．由“SAS”定理可知，如果已知任意一个三角形的两条边的长度及这两条边的夹角的度数，那么这个三角形的第三条边一定可以求出来．
应用材料解答下列问题：
如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝60°，BD是AC边上的高，求AB的长．
解：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠BDA＝90°，
在Rt△BDC中，BC＝6，∠C＝60°，
∴CD＝BC•cs60°＝6×＝3，
BD＝BC•sin60°＝6×＝3，
∵AC＝8，
∴AD＝AC﹣CD＝5，
在Rt△ABD中，AB＝＝＝2，
∴AB的长为2．
26．（8分）（2022秋•阳泉期末）“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶．她看到汽车尾部自动升起的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图．图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A顺时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置的示意图．王红测得AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．根据王红提供的信息解答下列问题：
（1）求点D'到BC的距离；
（2）求点E运动的距离．
解：（1）如图2，过点D′作D′H⊥AD于H，连接AE，AE′，由题意可知，D′E′＝DE＝30cm，AD′＝AD＝90cm，∠DAD′＝∠EAE′＝60°，
在Rt△AD′H中，AD′＝90cm，∠HAD′＝60°，
∴D′H＝AD′＝45（cm），
∴点D′到BC的距离为D′H+DC＝45+30+40＝（70+45）cm，
答：点D'到BC的距离为（70+45）cm；
（2）在Rt△ADE中，AD＝90cm，DE＝30cm，
∴AE＝＝＝30（cm），
∴弧EE′的长为＝10π（cm），
答：点E运动的距离为10π cm．
27．（8分）（2023•三元区模拟）如图，△ABC中，BA＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，与外角∠ACD的平分线交于点E．
（1）求sinA的值；
（2）求点E到直线BD的距离．
解：（1）∵AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，
∴∠ABF＝∠FBC，BF⊥AC，AF＝AC＝5．
在Rt△ABF中，
BF＝＝12．
∴sinA＝＝．
（2）过点E作EG⊥BD，垂足为G．
∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EG⊥BD，
∴EF＝EG．
在Rt△ABF中，
∵sin∠ABF＝＝，
在Rt△EBG中，
∵sin∠EBC＝sin∠ABF＝＝＝，
∴13EF＝5×12+5EF．
∴8EF＝60．
∴EF＝．
答：点E到直线BD的距离是．
28．（8分）（2022秋•江阴市期中）定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足ac+a2＝b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
（1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是 假 （填“真”或“假”）命题．
（2）如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数．
（3）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A．
①当∠A＝28°时，你能把这一个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由．
②请证明△ABC为“类勾股三角形”．
解：（1）如图1，假设Rt△ABC是类勾股三角形，
∴ab+a2＝c2，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，
∴ab+b2＝a2+b2，
∴ab＝a2，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴等腰直角三角形是类勾股三角形，
即：原命题是假命题，
故答案为：假；
（2）∵AB＝BC，AC＞AB，
∴a＝c，b＞c，
∵△ABC是类勾股三角形
∴ac+a2＝b2，
∴c2+a2＝b2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝28°，
∴∠ABC＝56°，
根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝96°，
∵把这个三角形分成两个等腰三角形，
∴Ⅰ、分割线分∠ACB，
（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，
∵∠ABC＝56°，
∴∠BCD＝∠BDC＝62°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝96°﹣62°＝34°，
∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝56°时，
∴∠BDC＝68°，
∴∠ACD＝40°，
∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝56°时，
∴∠ACD＝56°﹣28°＝28°．
∴△ACD是等腰三角形，
图形如图2所示：两个等腰三角形的顶角的度数分别为124°和68°．
Ⅱ、分割线分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；
Ⅲ、分割线分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；
②如图，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A，作CG⊥AB于G，
∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，
∵∠B＝2∠A，
∴∠CDB＝∠B，
∴CD＝CB＝a，
∵∠ACD＝∠A，
∴AD＝CD＝a，
∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，
∵CG⊥AB
∴DG＝BG＝（c﹣a），
∴AG＝AD+DG＝a+（c﹣a）＝（a+c），
在Rt△ACG中，CG2＝AC2﹣AG2＝b2﹣[（c+a）]2，
在Rt△BCG中，CG2＝BC2﹣BG2＝a2﹣[（c﹣a）]2，
∴b2﹣[（a+c）]2＝a2﹣[（c﹣a）]2，
∴b2＝ac+a2，
∴△ABC是“类勾股三角形”
试卷说明：本套试卷结合人教版数学九年级下册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。
一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2分）（2022秋•承德县期末）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（ ）
A．sinC＝B．sinC＝C．sinC＝D．sinC＝
解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，csC＝，tanC＝，
故A、B不符合题意；
在Rt△BAC中，sinC＝，
故C符合题意；
∵∠B+∠BAD＝90°，∠B+∠C＝90°，
∴∠C＝∠BAD，
在Rt△BAD中，cs∠BAD＝，
∴csC＝cs∠BAD＝，
故D不符合题意；
故选：C．
2．（2分）（2022秋•成武县校级期末）如果Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦值是（ ）
A．都扩大为原来的3倍B．都缩小为原来的
C．没有变化D．不能确定
解：∵Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍后，所得的三角形与Rt△ABC是相似的，
∴锐角A的大小是不变的，
∴锐角A的正弦、余弦值是没有变化，
故选：C．
3．（2分）（2023秋•龙口市期中）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则sinC的值是（ ）
A．B．C．D．
解：如图，
AC＝＝5，
在Rt△ACD中，sinC＝＝，
故选：D．
4．（2分）（2023•巴东县模拟）如图，在3×3的正方形网格中，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cs∠C＝（ ）
A．B．C．D．
解：连接BH，则BH⊥AC，
设小正方形的边长是1，
由勾股定理得：CH＝＝，BC＝＝，
∴csC＝＝＝．
故选：C．
5．（2分）（2022秋•广陵区校级期末）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是（ ）
A．B．7C．D．
解：连接OD，
∵AD⊥BC，O是AB中点，
∴，
∴OD＝OA＝OE＝OD
∴点A、D、B、E在以O为圆心，1为半径的同一个圆上，
∴∠ABC＝∠AED，
∴．
故选：A．
6．（2分）（2022秋•离石区期末）正方形网格中，∠AOB如图所示放置（点A，C均在网格的格点上，且点C在OB上），则cs∠AOB的值为（ ）
A．B．C．D．
解：如图，C为OB边上的格点，连接AC，
根据勾股定理，AO＝＝2，
AC＝＝，
OC＝＝，
所以，AO2＝AC2+OC2＝20，
所以，△AOC是直角三角形，
cs∠AOB＝＝＝．
故选：B．
7．（2分）（2023秋•雁塔区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BC＝3，AC＝4，则cs∠DCB的值为（ ）
A．B．C．D．
解：在Rt△ABC中，AB＝＝5，
∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B＝90°，
而∠A+∠B＝90°，
∴∠A＝∠DCB，
而csA＝，
∴cs∠DCB＝．
故选：B．
8．（2分）（2022秋•辽宁期末）在△ABC中，AB＝10，，如果△ABC的形状和大小都被确定，那么线段AC的长度不可能为（ ）
A．6B．8C．10D．12
解：如图，当∠C＝90°时，
∵tanB＝＝，
∴设AC＝3x，BC＝4x，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴9x2+16x2＝100，
∴x＝2或x＝﹣2舍去，
∴AC＝6，BC＝8，
∵△ABC的形状和大小都被确定，
∴AC＝6或AC≥10，
∴线段AC的长度不可能为8．
故选：B．
9．（2分）（2023•鹤庆县一模）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，D是AC上一点，∠CBD＝∠A，则sin∠CDB的值为（ ）
A．B．C．D．3
解：∵∠CBD＝∠A，CD＝CD，∠C＝90°，
∴△ABC∽△CDB，
∴∠CDB＝∠B，
∴sin∠CDB＝sin∠B，
∵tanA＝＝，
设CD＝1，则AC＝3，
∴AB＝＝＝，
∴sin∠B＝＝＝，
∴sin∠CDB＝．
故选：C．
二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.
10．（2分）（2023春•浦东新区校级期末）如图，两条宽度都为l的纸条，交叉重叠放在一起，它们的夹角α＝60°，它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是 ．
解：∵AC＝＝，
∴它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为：
×1＝．
故答案为：．
11．（2分）（2023•思明区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D在AC上，且DE⊥AC，BD＝CD＝4，若，则DE＝ 2 ．
解：∵BD＝CD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠DBC＝90°，∠A+∠DCB＝90°，
∴∠ABD＝∠A，
∴AD＝BD＝4，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE＝90°，
∴，
即，
∴DE＝2，
故答案为：2．
12．（2分）（2023秋•杨浦区期中）如图，已知在△ABC中，点D在边AB上，AC＝AD＝3BD，∠DCB＝∠A，那么cs∠ACD的值是 ．
解：过A作AH⊥CD于H，如图：
设BD＝m，
∵AC＝AD＝3BD，
∴AC＝AD＝3m，AB＝4m，
∵∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，
∴△DCB∽△CAB，
∴＝＝，
即＝＝，
解得BC＝2m，CD＝m，
∵AC＝AD，AH⊥CD，
∴CH＝CD＝m，
在Rt△ACH中，cs∠ACH＝＝＝，
∴cs∠ACD＝；
故答案为：．
13．（2分）（2022秋•宛城区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，AC＝10，csC＝，那么CD＝ ．
解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝10，csC＝，
∴BC＝AC•csC＝10×＝6，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝90°，
∴CD＝BC•csC＝6×＝，
故答案为：．
14．（2分）（2023•金东区二模）如图，一个立方体有盖盒子，棱长为8cm，当正方形PDCS合上时，点A与点P重合，点B与点S重合，此时，两个全等的长方形ADFE与长方形BCHG向内合上，且顶点E，G都落在AB边上，点E在点G的右侧，EG＝2cm．
（1）AE的长度是 5 cm．
（2）长方形ADFE和长方形BCHG，从底面ABCD翻开的过程中，当EG＝1cm且∠EAB最大时，∠EAB的余弦值为 ．
解：（1）∵两个全等的长方形ADFE与长方形BCHG向内合上，且顶点E，G都落在AB边上，
点E在点G的右侧，EG＝2cm．
∴AE＝BG，
∴AG＝BE，
∴2AG+2＝8，解得：AG＝3，
∴AE＝3+2＝5（cm），
故答案为：5；
（2）从底面ABCD翻开的过理中，当EG＝1cm且∠EAB最大时，如图：
过E作EM⊥AB于M，
由题意可得AE2﹣AM2＝BE2﹣BM2，
∴52﹣AM2＝62﹣（8﹣AM）2，
∴AM＝，
∴AM＝BN＝，
∴∠EAB的余弦值为＝．
答案为：．
15．（2分）（2023秋•碑林区校级期中）如图所示，在6×6的正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则cs∠BAC＝ ．
解：如图，连接BD，
∵AD＝＝2，AB＝＝，
∴cs∠BAC＝＝＝．
故答案为：．
16．（2分）（2023•武汉）如图，将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，OA与尺下沿重合，OB与尺上沿的交点B在尺上的读数为2cm，若按相同的方式将37°的∠AOC放置在该刻度尺上，则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是 2.7 cm（结果精确到0.1cm，参考数据sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
解：如图，过点B作BD⊥OA于D，过点C作CE⊥OA于E，
在△BOD中，∠BDO＝90°，∠DOB＝45°，
∴CE＝BD＝2cm，
在△OCE中，∠COE＝37°，∠CEO＝90°，
∴tan37°＝，
∴OE＝2.7cm，
即OC与尺上沿的交点C在尺上的读数是2.7cm．
故答案为：2.7cm．
17．（2分）（2023•南岗区校级开学）将一副三角板按如图方式摆放，则∠ADC的正切值为 ．
解：如图，作AE⊥CD，交DC的延长线于点E．
由题意可得：∠ACE＝∠BCD＝45°，∠CAB＝60°，
设AE＝1，则AC＝，
∴BC＝tan∠CAB•AC＝，
∵Rt△BCD是等腰直角三角形，
∴CD＝，
∴DE＝1+，
∴tan∠ADC＝1÷（+1）＝．
18．（2分）（2023春•营口期末）在△ABC中，∠ABC＝105°，∠A＝30°，AC＝2，则AB＝ 4 ．
解：过点B作BD⊥AC于点D，如图：
∵∠A＝30°，∠ABC＝105°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝45°，
设BD＝x，
在Rt△ABD中，BD＝x，∠A＝30°，，，
∴，，
在Rt△BCD中，BD＝x，∠C＝45°，，
∴，
∵，
∴x＝2，
∴AB＝2x＝4．
故答案为：4．
19．（2分）（2023•高碑店市三模）将正方体的一种展开图按如图方式放置在直角三角形纸片上，若小正方形的边长为1，则：
（1）tanB＝ ；
（2）BC＝ 8 ．
解：（1）依题意得：FH∥BC，EH＝1，FH＝2，如图所示：
∴∠B＝∠EFH，
∴，
故答案为：．
（2）依题意得：DE∥FH，DE＝2，CD＝3，
∴∠EFH＝∠AED，
∴，
∴AD＝1，
∴AC＝AD+CD＝1+3＝4，
∵，
∴BC＝2AC＝8．
故答案为：8．
20．（2分）（2021秋•南岗区校级期末）如图，△ABC中，BA＝CB＝AD，∠ACD＝30°，tan∠BAC＝，CD＝6+8，则线段BC长度为 10 ．
解：过点A作AH⊥CD于点H，过点B作BT⊥AC于点T．
∵tan∠BAC＝＝，
∴可以假设BT＝4k，AT＝3k，
∵BA＝BC，BT⊥AC，
∴AT＝TC＝3k，AB＝BC＝AD＝＝＝5k，
∵∠ACD＝30°，∠AHC＝90°，AC＝6k，
∴AH＝3k，
∴CH＝AC•cs30°＝3k，DH＝＝＝4k，
∴CD＝DH+CH＝4k+3k＝6+8，
∴k＝2，
∴BC＝10．
三、解答题：本大题共8小题，21-22题每小题6分，23-28题每小题8分，共60分．
21．（6分）（2023秋•杨浦区期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是边AC的中点，连接BD，求∠DBC的正弦值．
解：过A作AM⊥BC于M，过D作DN⊥BC于N，如图：
∵AB＝AC＝5，BC＝8，AM⊥BC，
∴BM＝CM＝BC＝4，
∴AM＝＝＝3，
∵点D是边AC的中点，AM∥DN，
∴CD＝AC＝2.5，DN是△ACM的中位线，
∴DN＝AM＝1.5，CN＝CM＝2，
∴BN＝BC﹣CN＝8﹣2＝6，
在Rt△DBN中，BD＝＝＝，
∴sin∠DBN＝＝＝，
即sin∠DBC＝．
22．（6分）（2022秋•太仓市期末）已知△ABC中，∠A＝30°，AB＝4．
（1）如图1，若∠C＝90°，则AC＝ ；（结果保留根号）
（2）如图2，若∠C＝45°，求AC的长．（结果保留根号）
解：（1）∵∠A＝30°，AB＝4，∠C＝90°，
∴csA＝，
∴，
解得：AC＝，
故答案为：；
（2）过点B作BD⊥AC交AC于点D，如图，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝4，∠C＝45°，
∴csA＝，CD＝BD，BD＝AB＝2，
∴，
解得：AD＝2，
∴CD＝BD＝2，
∴AC＝AD+CD＝2+2．
23．（8分）（2023秋•龙口市期中）Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，解这个直角三角形．
解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°．
∵sinA＝，tanA＝，
即＝，＝，
∴AB＝2，AC＝3．
24．（8分）（2023•徐汇区二模）如图，AD、AE分别是△ABC边BC上的高和中线，已知 ，∠C＝45°．
（1）求AD的长；
（2）求sin∠BAE的值．
解：（1）∵AE是△ABC边BC上中线，BC＝8，
∴BE＝EC＝BC＝4．
∵AD是△ABC边BC上的高，∠C＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，AD＝DC，
∴tanB＝＝，
设AD＝x，则DC＝x，BD＝3x．
∵BD+DC＝BC＝8，
∴3x+x＝8，
解得x＝2，
∴AD的长为2；
（2）如图，作EF⊥AB于F．
由（1）知EC＝4，DC＝2，
∴ED＝EC﹣DC＝4﹣2＝2，
∴AE＝＝＝2．
在Rt△BEF中，∵tanB＝＝，
∴可设EF＝y，则BF＝3y．
∵EF2+BF2＝BE2，
∴y2+（3y）2＝42，
解得y＝，
∴EF＝，
∴sin∠BAE＝＝＝．
25．（8分）（2022秋•沈丘县月考）材料：学习了三角函数之后，我们知道，如果已知一个直角三角形的两条边的长或知道直角三角形的一条边的长及其中一个锐角的度数，可以解直角三角形，从而得到这个直角三角形其他边的长度和其他角的度数．由“SAS”定理可知，如果已知任意一个三角形的两条边的长度及这两条边的夹角的度数，那么这个三角形的第三条边一定可以求出来．
应用材料解答下列问题：
如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，∠C＝60°，BD是AC边上的高，求AB的长．
解：∵BD⊥AC，
∴∠BDC＝∠BDA＝90°，
在Rt△BDC中，BC＝6，∠C＝60°，
∴CD＝BC•cs60°＝6×＝3，
BD＝BC•sin60°＝6×＝3，
∵AC＝8，
∴AD＝AC﹣CD＝5，
在Rt△ABD中，AB＝＝＝2，
∴AB的长为2．
26．（8分）（2022秋•阳泉期末）“十一”期间，王红与家人开车去乡下看望爷爷和奶奶．她看到汽车尾部自动升起的后备箱，于是根据实际情况画出了相关的示意图．图1是王红家私家车侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，图2是在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A顺时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置的示意图．王红测得AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．根据王红提供的信息解答下列问题：
（1）求点D'到BC的距离；
（2）求点E运动的距离．
解：（1）如图2，过点D′作D′H⊥AD于H，连接AE，AE′，由题意可知，D′E′＝DE＝30cm，AD′＝AD＝90cm，∠DAD′＝∠EAE′＝60°，
在Rt△AD′H中，AD′＝90cm，∠HAD′＝60°，
∴D′H＝AD′＝45（cm），
∴点D′到BC的距离为D′H+DC＝45+30+40＝（70+45）cm，
答：点D'到BC的距离为（70+45）cm；
（2）在Rt△ADE中，AD＝90cm，DE＝30cm，
∴AE＝＝＝30（cm），
∴弧EE′的长为＝10π（cm），
答：点E运动的距离为10π cm．
27．（8分）（2023•三元区模拟）如图，△ABC中，BA＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，与外角∠ACD的平分线交于点E．
（1）求sinA的值；
（2）求点E到直线BD的距离．
解：（1）∵AB＝BC＝13，AC＝10，∠ABC的平分线与边AC交于点F，
∴∠ABF＝∠FBC，BF⊥AC，AF＝AC＝5．
在Rt△ABF中，
BF＝＝12．
∴sinA＝＝．
（2）过点E作EG⊥BD，垂足为G．
∵CE平分∠ACD，EF⊥AC，EG⊥BD，
∴EF＝EG．
在Rt△ABF中，
∵sin∠ABF＝＝，
在Rt△EBG中，
∵sin∠EBC＝sin∠ABF＝＝＝，
∴13EF＝5×12+5EF．
∴8EF＝60．
∴EF＝．
答：点E到直线BD的距离是．
28．（8分）（2022秋•江阴市期中）定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足ac+a2＝b2则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题：
（1）命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是 假 （填“真”或“假”）命题．
（2）如图1所示、若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，请求∠A的度数．
（3）如图2所示，在△ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A．
①当∠A＝28°时，你能把这一个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由．
②请证明△ABC为“类勾股三角形”．
解：（1）如图1，假设Rt△ABC是类勾股三角形，
∴ab+a2＝c2，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，
∴ab+b2＝a2+b2，
∴ab＝a2，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴等腰直角三角形是类勾股三角形，
即：原命题是假命题，
故答案为：假；
（2）∵AB＝BC，AC＞AB，
∴a＝c，b＞c，
∵△ABC是类勾股三角形
∴ac+a2＝b2，
∴c2+a2＝b2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠A＝45°，
（3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝28°，
∴∠ABC＝56°，
根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝96°，
∵把这个三角形分成两个等腰三角形，
∴Ⅰ、分割线分∠ACB，
（Ⅰ）、当∠BCD＝∠BDC时，
∵∠ABC＝56°，
∴∠BCD＝∠BDC＝62°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝96°﹣62°＝34°，
∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅱ）、当∠BCD＝∠ABC＝56°时，
∴∠BDC＝68°，
∴∠ACD＝40°，
∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立；
（Ⅲ）、当∠BDC＝∠ABC＝56°时，
∴∠ACD＝56°﹣28°＝28°．
∴△ACD是等腰三角形，
图形如图2所示：两个等腰三角形的顶角的度数分别为124°和68°．
Ⅱ、分割线分∠ABC，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立；
Ⅲ、分割线分∠BAC，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立；
②如图，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A，作CG⊥AB于G，
∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A，
∵∠B＝2∠A，
∴∠CDB＝∠B，
∴CD＝CB＝a，
∵∠ACD＝∠A，
∴AD＝CD＝a，
∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a，
∵CG⊥AB
∴DG＝BG＝（c﹣a），
∴AG＝AD+DG＝a+（c﹣a）＝（a+c），
在Rt△ACG中，CG2＝AC2﹣AG2＝b2﹣[（c+a）]2，
在Rt△BCG中，CG2＝BC2﹣BG2＝a2﹣[（c﹣a）]2，
∴b2﹣[（a+c）]2＝a2﹣[（c﹣a）]2，
∴b2＝ac+a2，
∴△ABC是“类勾股三角形”
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