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湖北省黄冈中学2024届高三下学期二模数学试卷（Word版附解析）
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这是一份湖北省黄冈中学2024届高三下学期二模数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知分别满足下列关系，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题人：黄冈中学 方诚 陈晓洁 李烦
审题单位：圆创教育教学研究中心
本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟.
考试时间：2024年5月16日下年15：00-17：00
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号犊写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
3.某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ）
A.42 B.48 C.96 D.124
4.已知角，角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，终边分别过，则（ ）
A.-2或 B.2或 C. D.-2
5.已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（ ）
A.9 B.3 C. D.10
6.已知函数的定义域为，若函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
7.过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条清近线于点，且点在点之间，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差
B.数据的第60百分位数为7
C.若样本数据的平均数为3，则的平均数为10
D.用简单随机抽样的方法从51个样本中抽取2个样本，则每个样本被抽到的概率都是
10.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点满足，则下列说法中正确的是（ ）
A.平面
B.若平面，则动点的轨迹是一条线段
C.若，则四面体的体积为定值
D.若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为
11.如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，记圆心的轨迹为曲线，则（ ）
A.的方程为
B.的最小值为
C.
D.曲线在点处的切线与线段垂直
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中常数项为__________.
13.已知等差数列的前项和为是等比数列，若，且，则的最小值为__________.
14.已知函数与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
已知向量.图象上相邻的最高点与最低点之间的距离.
（1）求的值及的单调递增区间；
（2）设的内角的对边分别为，且，求的值域.
16.（本题满分15分）
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且.
（1）求证平面；
（2）若点为线段上的动点.当直线与平面所成角的正弦值最大时，求平面与平面所成角的大小.
17.（本题满分15分）
某校高三年级拟派出甲､乙､丙三人去参加校运动会跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中
（1）甲､乙､丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）若甲､乙､丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值；
（3）在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列.
18.（本题满分17分）
已知双曲线的左､右焦点分别为，焦距为4，虚半轴长为1.如图，直线与双曲线的右支交于两点，其中点在第一象限.与关于原点对称，连接与，其中垂直于的平分线，垂足为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求证：直线与直线的斜率之积为定值；
（3）求的最小值.
19.（本题满分17分）
第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中分别表示在点处的一阶､二阶导数）
（1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？
（2）若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围；
（3）若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若是数列的前项和，证明.
湖北省黄冈中学5月第二次模拟考试
数学试卷参考答案
1.【详解】因为，由韦恩图可知，阴影部分表示，所以.故选：B.
2.【详解】因为，所以，所以.故选：B.
3.【详解】.故选：A.
4.【详解】记为坐标原点，因为，所以，所以点，均在以原点为圆心为半径的圆上.连接，取的中点，连接，则，不妨设，则，所以.故选：D.
5.【详解】根据条件得：的最大值为.故选C.
6.【详解】因为函数为奇函数，所以有，又因为为偶函数，所以于是有，所以函数的周期为4，因为，所以，所以，于是，故选：B.
7.【详解】设渐近线的倾斜角为，则，又到渐近线的距离为，又，解得双曲线的渐近线方程为.故选：B.
8.【详解】因为，所以即
所以，故有.故选：B.
9.【详解】对于A，易知，而，所以，A正确；对于B，共有7个数据，而，故第60百分位数为错误；对于C，若样本数据，的平均数为2，则的平均数为，C正确；对于D，由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率都是，D正确.故选：ACD.
10.【详解】若平面，则，又，则平面，显然不成立，选项错误；取中点，连接，易知，则平面平面，而平面，则点在平面内，而点在平面内，故点的轨迹为线段，B选项正确；，因为，，所以，所以三点共线，所以点在上，而，所以平面，所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，选项正确，对于：由题意可知：平面平面，则，又因为平面，所以平面平面，则，故和均为直角三角形.所以与的交点即为三棱锥的外接球的球心，半径，此外接球的体积.故不正确.故选：BC.
11.【详解】对于A：设动圆的半径为，由条件得，则，且不重合，故点的轨迹为以为焦点的椭圆（去掉重合的点），则曲线的方程为错误；对于：由图可知与互补，当点为椭圆短轴端点时，最大，此时，所以，则的最大值为，所以的最小值为，正确；对于.，当且仅当时等号成立，正确；对于：设点
，则过点的椭圆的切线方程为，切线斜率为，又，所以，则
得，解得，所以，又，因为-2，所以，所以，所以，所以，即曲线在点处的切线与线段垂直，D正确.故选：BCD.
12.【详解】根据二项式的展开式：；当时，常数项为60.
13【详解】，且，故.
，所以，所以最小值为5.
14.【详解】令，令，则，令，则.令在上单调递增；在上单调递减；又，则有且只有两根，分别为0，1.则函数图像与轴有且仅有两个不同的交点，等价于方程组有且只有一组实数根.令，则，当时，，则此时在上递增，又.即，则有且只有一组实数根.当时，方程组有且只有一组实数根，等价于函数图象与直线图象有两个交点，临界情况为两条直线与图象相切.当与相切，设对应切点为，因，则相应切线方程
为；当与相切，设对应切点为，则相应切线方程为，则.综上，.
15.【详解】（1）
由条件图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为.
则，解得：，则：，解得：.
.令，
解得：，由，知故的单调递增区间为.
（2）由余弦定理：，
又，故，又，故.
由，所以的值域为.
16.【详解】（1）如图，设交于点，连接，由圆锥的性质可知底面，因为平面，所以，又因为是底面圆的内接正三角形，由，可得，
，解得，又，所以，即，
又因为，所以，所以，即，
又平面，直线平面平面，所以直线平面.
（2）因为平面，所以平面，又平面，所以平面平面
易知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图
所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设，可得，
设直线与平面所成的角为，
则，
即，
令，
则
，
当且仅当时，等号成立，所以当时，有最大值4，
即当时，的最大值为1，此时点，所以，易知即为平面与平面所成的角，又
故当直线与平面所成角的正弦值最大时，平面与平面所成角为.
17.【详解】（1）甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为，丙进入决赛的概率为，而，故，所以，甲进入决赛的可能性最大.
（2）甲､乙､丙三人中恰有两人进入决赛的概率为
，整理可得，因为，解得.
（3）由题意可知，甲､乙､丙进入决赛的概率分别为，由题意可知，随机变量的可能取值有
，
，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
18.【详解】（1）因为双曲线的虚半轴长为1，所以，故
所以，则双曲线的标准方程为
（2）证明：不妨设，因为点与点关于原点对称，
所以，易知直线的斜率存在，不妨设直线的斜率为，
记，因为直线为的平分线，所以，
因为两点均在双曲线上，所以，
此时，则，
同理得，
因为，又，
所以，
整理得，则，
故直线与直线的斜率之积为定值；
（3）由（2）知，因为，所以，
联立，又，解得，
所以，
不妨设直线的方程为，因为点在直线上，
解得，所以直线的方程为，
易知，
因为直线的斜率为，不妨设直线的方程为，
因为点在直线上，解得，
所以直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
因为，所以，
此时，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故当时，取得最小值，最小值为3.
19.【详解】（1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则，即抛物线方程为，即，则，又抛物线在点处的曲率，则，即在该抛物线上处的曲率为.
（2）在上为奇函数，又在上为减函数.不等式对于恒成立，等价于对于恒成立.又因为两个函数都是偶函数，记，则曲线恒在曲线上方.，又因为
所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率.即又因为所以，解得：，因此，的取值范围为
（3）由题可得.所以曲线在点处的切线方程是：.即.令，得.即.显然.由，知，同理，故.从而，设，即.所以，数列成等比数列.故.即.
从而所以当时，显然.当时，.综上，.1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
B
B
A
D
C
B
B
B
ACD
BC
BCD
0
1
2
3
命题人：黄冈中学 方诚 陈晓洁 李烦
审题单位：圆创教育教学研究中心
本试卷共4页，19题.满分150分.考试用时120分钟.
考试时间：2024年5月16日下年15：00-17：00
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号犊写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足为虚数单位，则（ ）
A. B. C. D.
3.某班元旦晚会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（ ）
A.42 B.48 C.96 D.124
4.已知角，角的顶点均为坐标原点，始边均与轴的非负半轴重合，终边分别过，则（ ）
A.-2或 B.2或 C. D.-2
5.已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（ ）
A.9 B.3 C. D.10
6.已知函数的定义域为，若函数为奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
7.过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，交另一条清近线于点，且点在点之间，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.已知分别满足下列关系：，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.已知随机变量服从二项分布：，设，则的方差
B.数据的第60百分位数为7
C.若样本数据的平均数为3，则的平均数为10
D.用简单随机抽样的方法从51个样本中抽取2个样本，则每个样本被抽到的概率都是
10.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，点满足，则下列说法中正确的是（ ）
A.平面
B.若平面，则动点的轨迹是一条线段
C.若，则四面体的体积为定值
D.若为正方形的中心，则三棱锥外接球的体积为
11.如图，圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点，记圆心的轨迹为曲线，则（ ）
A.的方程为
B.的最小值为
C.
D.曲线在点处的切线与线段垂直
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.的展开式中常数项为__________.
13.已知等差数列的前项和为是等比数列，若，且，则的最小值为__________.
14.已知函数与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本题满分13分）
已知向量.图象上相邻的最高点与最低点之间的距离.
（1）求的值及的单调递增区间；
（2）设的内角的对边分别为，且，求的值域.
16.（本题满分15分）
如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且.
（1）求证平面；
（2）若点为线段上的动点.当直线与平面所成角的正弦值最大时，求平面与平面所成角的大小.
17.（本题满分15分）
某校高三年级拟派出甲､乙､丙三人去参加校运动会跑项目.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别为和，其中
（1）甲､乙､丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
（2）若甲､乙､丙三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值；
（3）在（2）的条件下，设进入决赛的人数为，求的分布列.
18.（本题满分17分）
已知双曲线的左､右焦点分别为，焦距为4，虚半轴长为1.如图，直线与双曲线的右支交于两点，其中点在第一象限.与关于原点对称，连接与，其中垂直于的平分线，垂足为.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求证：直线与直线的斜率之积为定值；
（3）求的最小值.
19.（本题满分17分）
第二十五届中国国际高新技术成果交易会（简称“高交会”）在深圳闭幕.会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟.观察它的外观造型，我们会被其优美的曲线折服.现代产品外观特别讲究线条感，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中分别表示在点处的一阶､二阶导数）
（1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则在该抛物线上点处的曲率是多少？
（2）若函数，不等式对于恒成立，求的取值范围；
（3）若动点的切线沿曲线运动至点处的切线，点的切线与轴的交点为.若是数列的前项和，证明.
湖北省黄冈中学5月第二次模拟考试
数学试卷参考答案
1.【详解】因为，由韦恩图可知，阴影部分表示，所以.故选：B.
2.【详解】因为，所以，所以.故选：B.
3.【详解】.故选：A.
4.【详解】记为坐标原点，因为，所以，所以点，均在以原点为圆心为半径的圆上.连接，取的中点，连接，则，不妨设，则，所以.故选：D.
5.【详解】根据条件得：的最大值为.故选C.
6.【详解】因为函数为奇函数，所以有，又因为为偶函数，所以于是有，所以函数的周期为4，因为，所以，所以，于是，故选：B.
7.【详解】设渐近线的倾斜角为，则，又到渐近线的距离为，又，解得双曲线的渐近线方程为.故选：B.
8.【详解】因为，所以即
所以，故有.故选：B.
9.【详解】对于A，易知，而，所以，A正确；对于B，共有7个数据，而，故第60百分位数为错误；对于C，若样本数据，的平均数为2，则的平均数为，C正确；对于D，由古典概型可知：从51个体中抽取2个个体，每个个体被抽到的概率都是，D正确.故选：ACD.
10.【详解】若平面，则，又，则平面，显然不成立，选项错误；取中点，连接，易知，则平面平面，而平面，则点在平面内，而点在平面内，故点的轨迹为线段，B选项正确；，因为，，所以，所以三点共线，所以点在上，而，所以平面，所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，选项正确，对于：由题意可知：平面平面，则，又因为平面，所以平面平面，则，故和均为直角三角形.所以与的交点即为三棱锥的外接球的球心，半径，此外接球的体积.故不正确.故选：BC.
11.【详解】对于A：设动圆的半径为，由条件得，则，且不重合，故点的轨迹为以为焦点的椭圆（去掉重合的点），则曲线的方程为错误；对于：由图可知与互补，当点为椭圆短轴端点时，最大，此时，所以，则的最大值为，所以的最小值为，正确；对于.，当且仅当时等号成立，正确；对于：设点
，则过点的椭圆的切线方程为，切线斜率为，又，所以，则
得，解得，所以，又，因为-2，所以，所以，所以，所以，即曲线在点处的切线与线段垂直，D正确.故选：BCD.
12.【详解】根据二项式的展开式：；当时，常数项为60.
13【详解】，且，故.
，所以，所以最小值为5.
14.【详解】令，令，则，令，则.令在上单调递增；在上单调递减；又，则有且只有两根，分别为0，1.则函数图像与轴有且仅有两个不同的交点，等价于方程组有且只有一组实数根.令，则，当时，，则此时在上递增，又.即，则有且只有一组实数根.当时，方程组有且只有一组实数根，等价于函数图象与直线图象有两个交点，临界情况为两条直线与图象相切.当与相切，设对应切点为，因，则相应切线方程
为；当与相切，设对应切点为，则相应切线方程为，则.综上，.
15.【详解】（1）
由条件图象上的相邻的最高点与最低点之间的距离为.
则，解得：，则：，解得：.
.令，
解得：，由，知故的单调递增区间为.
（2）由余弦定理：，
又，故，又，故.
由，所以的值域为.
16.【详解】（1）如图，设交于点，连接，由圆锥的性质可知底面，因为平面，所以，又因为是底面圆的内接正三角形，由，可得，
，解得，又，所以，即，
又因为，所以，所以，即，
又平面，直线平面平面，所以直线平面.
（2）因为平面，所以平面，又平面，所以平面平面
易知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图
所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设，可得，
设直线与平面所成的角为，
则，
即，
令，
则
，
当且仅当时，等号成立，所以当时，有最大值4，
即当时，的最大值为1，此时点，所以，易知即为平面与平面所成的角，又
故当直线与平面所成角的正弦值最大时，平面与平面所成角为.
17.【详解】（1）甲进入决赛的概率为，乙进入决赛的概率为，丙进入决赛的概率为，而，故，所以，甲进入决赛的可能性最大.
（2）甲､乙､丙三人中恰有两人进入决赛的概率为
，整理可得，因为，解得.
（3）由题意可知，甲､乙､丙进入决赛的概率分别为，由题意可知，随机变量的可能取值有
，
，
，
所以，随机变量的分布列如下表所示：
18.【详解】（1）因为双曲线的虚半轴长为1，所以，故
所以，则双曲线的标准方程为
（2）证明：不妨设，因为点与点关于原点对称，
所以，易知直线的斜率存在，不妨设直线的斜率为，
记，因为直线为的平分线，所以，
因为两点均在双曲线上，所以，
此时，则，
同理得，
因为，又，
所以，
整理得，则，
故直线与直线的斜率之积为定值；
（3）由（2）知，因为，所以，
联立，又，解得，
所以，
不妨设直线的方程为，因为点在直线上，
解得，所以直线的方程为，
易知，
因为直线的斜率为，不妨设直线的方程为，
因为点在直线上，解得，
所以直线的方程为，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，
因为，所以，
此时，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故当时，取得最小值，最小值为3.
19.【详解】（1）已知抛物线的焦点到准线的距离为3，则，即抛物线方程为，即，则，又抛物线在点处的曲率，则，即在该抛物线上处的曲率为.
（2）在上为奇函数，又在上为减函数.不等式对于恒成立，等价于对于恒成立.又因为两个函数都是偶函数，记，则曲线恒在曲线上方.，又因为
所以在处三角函数的曲率不大于曲线的曲率.即又因为所以，解得：，因此，的取值范围为
（3）由题可得.所以曲线在点处的切线方程是：.即.令，得.即.显然.由，知，同理，故.从而，设，即.所以，数列成等比数列.故.即.
从而所以当时，显然.当时，.综上，.1
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B
B
A
D
C
B
B
B
ACD
BC
BCD
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