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江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题
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这是一份江西省南昌市第十九中学2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在中，（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若，则实数x的值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量满足，且的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人（ ）
A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形
7．古希腊数学家帕普斯（Pappus，约A．D．290—A．D．350）利用如图所示的几何图形，由
直观简洁地证明了当为锐角时的一个三角函数公式，这个公式是（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，a，b，c分别为角A,B,C的对边，若则（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题（每题6分，错选0分，未选全3分）
9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．当时，最小值为
C．当有两个解时，a的取值范围是
D．当为锐角三角形时，a的取值范围是
三、填空题（每题5分）
12．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点G是的重心，且，则角C的大小为___________．
13．中，角A的平分线交边BC于点D，，则角平分线AD的长为___________．
14．如图，是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，8FB9 上有5个不同的点，设，则___________．
四、解答题
15．（13分）已知，求下列各式的值．
（1）；（2）．
16．（15分）己知向量，且．
（1若，求x的值；
（2）求的取值范围．
17．（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小：
（2）若的面积，求的周长．
18．（17分）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为，与小岛D相距为．为钝角，且．
（1）求小岛A与小岛D之间的距离；
（2）求四个小岛所形成的四边形的面积；
（3）记为为，求的值．
19．（17分）已知函数的图象如图所示，点B、D、F为与x轴的交点，点C，E分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值．
（1）求参数的值；
（2）若，求向量与向量夹角的余弦值；
（3）若点P为函数图象上的动点，当点P在C，E之间运动时，恒成立，求A的取值范围．
南昌十九中2023-2024学年下学期高一期中考试（数学）试卷
参考答案
1．A 2．C 3．B 4．B 5．D 6．D 7．B 8．D 9．ACD 10．AD 11．ABD
8．【详解】，所以，设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：．
9．【详解】依题可得，即，则或，因为，所以或或．故选：ACD
10．【详解】，故A正确B错误；
由，所以，又，
所以，故C错误D正确．
11．【详解】中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，
若，则，故A正确；
当时，，
当时等号成立，所以最小值为，故B正确；
由正弦定理，则，当有两个解时，且，则所以a的取值范围是，故C错误；
因为，当为锐角三角形时，，解得，则，所以，所以a的取值范围是，故D正确．
12．
【详解】记AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，则，
由重心性质可知，，所以
所以，即，
由平面向量基本定理可知，即，
所以，，因为，所以．
13．．
【详解】依题意，设，由，可得，，解得：．故答案为：．
14．90
【详解】因为是三个边长为2的等边三角形，所以为等腰三角形，
，所以，延长交于点D，如图所示，
则，所以，所以，
所以
，所以．
15．【详解】（1）由，解得．原式；
（2）原式．
16．【详解】（1）首先有．
由知，结合可知．
（2）首先有
当时，的取值范围是，所以的取值范围是
17．【详解】（1）在中，由，得，由正弦定理得，即，又，即，于是，由，得，因此，又，所以．
（2）由的面积，得，得，
又，由余弦定理，得，则，
于是，解得，
所以的周长为．
18．【详解】（1），且A为钝角，，在中，由余弦定理可得
，，即，
解得：或（舍去）．小岛A与小岛D之间的距离为．
（2）A、B、C、D四点共圆，A与C互补，则．
在中，由余弦定理得：，
，得，解得（舍去）或．
（平方海里），
∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里．
（3）方法1：在中，由正弦定理得：，即，解．
为锐角，则，
又，，
．
方法2
在三角形中，；；；由余弦定理可得：
；；
又，
．
19．【详解】（1）由题意可得在处取得最小值，则，
所以，则．
（2）由题，，则，
则，
，设向量与向量的夹角为，则，，．
（3），是上动点，设，
，，易知，在或处有最小值，
在或处有最大值，当或时，有最小值，
即当P在C或E时，有最小值，此时或，若，则，，，又，解得，
若，则，又，解得，综上可得．
1．在中，（ ）
A． B． C． D．
2．已知，若，则实数x的值为（ ）
A． B．2 C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量满足，且的夹角为，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人（ ）
A．不能作出这样的三角形 B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形 D．能作出一个钝角三角形
7．古希腊数学家帕普斯（Pappus，约A．D．290—A．D．350）利用如图所示的几何图形，由
直观简洁地证明了当为锐角时的一个三角函数公式，这个公式是（ ）
A． B．
C． D．
8．在中，a，b，c分别为角A,B,C的对边，若则（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多选题（每题6分，错选0分，未选全3分）
9．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则A的大小可能为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
11．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．当时，最小值为
C．当有两个解时，a的取值范围是
D．当为锐角三角形时，a的取值范围是
三、填空题（每题5分）
12．已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点G是的重心，且，则角C的大小为___________．
13．中，角A的平分线交边BC于点D，，则角平分线AD的长为___________．
14．如图，是三个边长为2的等边三角形，且有一条边在同一直线上，8FB9 上有5个不同的点，设，则___________．
四、解答题
15．（13分）已知，求下列各式的值．
（1）；（2）．
16．（15分）己知向量，且．
（1若，求x的值；
（2）求的取值范围．
17．（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求角C的大小：
（2）若的面积，求的周长．
18．（17分）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为，与小岛D相距为．为钝角，且．
（1）求小岛A与小岛D之间的距离；
（2）求四个小岛所形成的四边形的面积；
（3）记为为，求的值．
19．（17分）已知函数的图象如图所示，点B、D、F为与x轴的交点，点C，E分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值．
（1）求参数的值；
（2）若，求向量与向量夹角的余弦值；
（3）若点P为函数图象上的动点，当点P在C，E之间运动时，恒成立，求A的取值范围．
南昌十九中2023-2024学年下学期高一期中考试（数学）试卷
参考答案
1．A 2．C 3．B 4．B 5．D 6．D 7．B 8．D 9．ACD 10．AD 11．ABD
8．【详解】，所以，设外接圆的半径为R，由正弦定理可得：．
9．【详解】依题可得，即，则或，因为，所以或或．故选：ACD
10．【详解】，故A正确B错误；
由，所以，又，
所以，故C错误D正确．
11．【详解】中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，
若，则，故A正确；
当时，，
当时等号成立，所以最小值为，故B正确；
由正弦定理，则，当有两个解时，且，则所以a的取值范围是，故C错误；
因为，当为锐角三角形时，，解得，则，所以，所以a的取值范围是，故D正确．
12．
【详解】记AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，则，
由重心性质可知，，所以
所以，即，
由平面向量基本定理可知，即，
所以，，因为，所以．
13．．
【详解】依题意，设，由，可得，，解得：．故答案为：．
14．90
【详解】因为是三个边长为2的等边三角形，所以为等腰三角形，
，所以，延长交于点D，如图所示，
则，所以，所以，
所以
，所以．
15．【详解】（1）由，解得．原式；
（2）原式．
16．【详解】（1）首先有．
由知，结合可知．
（2）首先有
当时，的取值范围是，所以的取值范围是
17．【详解】（1）在中，由，得，由正弦定理得，即，又，即，于是，由，得，因此，又，所以．
（2）由的面积，得，得，
又，由余弦定理，得，则，
于是，解得，
所以的周长为．
18．【详解】（1），且A为钝角，，在中，由余弦定理可得
，，即，
解得：或（舍去）．小岛A与小岛D之间的距离为．
（2）A、B、C、D四点共圆，A与C互补，则．
在中，由余弦定理得：，
，得，解得（舍去）或．
（平方海里），
∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方海里．
（3）方法1：在中，由正弦定理得：，即，解．
为锐角，则，
又，，
．
方法2
在三角形中，；；；由余弦定理可得：
；；
又，
．
19．【详解】（1）由题意可得在处取得最小值，则，
所以，则．
（2）由题，，则，
则，
，设向量与向量的夹角为，则，，．
（3），是上动点，设，
，，易知，在或处有最小值，
在或处有最大值，当或时，有最小值，
即当P在C或E时，有最小值，此时或，若，则，，，又，解得，
若，则，又，解得，综上可得．
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