北京市房山区2024届高三一模数学试卷(含答案)

这是一份北京市房山区2024届高三一模数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知全集，集合，则( )
A.B.C.D.
2．抛物线的准线方程为( )
A.B.C.D.
3．已知i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数m的值是( )
A.B.3C.D.
4．已知角α的终边经过点，把角α的终边绕原点O逆时针旋转得到角β的终边，则( )
A.B.C.D.
5．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第三天走的路程为( )
A.12里B.24里C.48里D.96里
6．直线截圆所得劣弧所对的圆心角为，则r的值为( )
A.B.C.D.
7．“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8．已知，则下列命题为假命题的是( )
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，，则
9．在平面直角坐标系中，已知两点.若曲线C上存在一点P，使，则称曲线C为“合作曲线”，给出下列曲线：①；②；③ .其中“合作曲线”是( )
A.① ②B.② ③C.①D.②
10．若函数，则函数零点的个数为( )
A.1B.2C.1或2D.1或3
二、填空题
11．双曲线的离心率是________.
12．如图.已知矩形中，,，M，N分别是，的中点，则________.
13．若对任意，函数满足，且当时，都有，则函数的一个解析式是________.
14．如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A，不重合）.给出下列结论：
①存在点P，使得平面平面；
②对任意点P，都有；
③面积的最小值为；
④若是平面与平面的夹角，是平面与平面的夹角，则对任意点P，都有.其中所有正确结论的序号是________.
三、双空题
15．设，则________；当时，________.
四、解答题
16．如图，在五面体中，四边形是矩形，平面平面，是正三角形，，，.

(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值.
17．在中，，且.
(1)求的大小；
(2)再从条件 ① 、条件 ② 、条件 ③ 这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积.
条件 ① ：为锐角；
条件 ② ：；
条件 ③ ：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.
18．《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）：
在某市组织的考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：
甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；
乙：6.38，6.56，6.45，6.36，6.82，7.38；
丙：5.16，5.65，5.18，5.86.
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，
(1)估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学期望；
(3)在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m）如下表：
若丙第6次试跳的成绩为a，用,分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当时，写出a的值.（结论不要求证明）
19．已知椭圆的离心率为，左焦点为，过的直线交椭圆E于A、B两点，点为弦的中点，O是坐标原点，且由于M不与O，重合.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若P是延长线上一点，且的长度为，求四边形面积的取值范围.
20．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设，求函数的极大值；
(3)若，求函数的零点个数.
21．已知无穷数列是首项为1，各项均为正整数的递增数列，集合.若对于集合A中的元素k，数列中存在不相同的项，，，，使得，则称数列具有性质，记集合.
(1)若数列的通项公式为写出集合A与集合B；
(2)若集合A与集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素为t，集合B中的最小元素为s，当时，证明：；
(3)若满足，，证明：.
参考答案
1．答案：B
解析：因为全集，集合，
所以.
故选：B.
2．答案：C
解析：由题知，抛物线方程为，
则其准线方程为.
故选：C
3．答案：C
解析：，
因为复数是纯虚数，
所以，解得.
故选：C.
4．答案：D
解析：因为角α的终边经过点，
所以，
因为把角α的终边绕原点O逆时针旋转得到角β的终边，
所以，
所以.
故选：D.
5．答案：C
解析：由题意可得，此人6天中每天走的路程是公比为的等比数列，
设这个数列为，前n项和为，
则，解得，
所以，
即该人第三天走的路程为48里.
故选：C.
6．答案：B
解析：因直线l截圆M所得劣弧所对的圆心角为，
令劣弧的两个端点为A，B，则为等边三角形，
故圆心到直线的距离等于，
即，解得.
故选：B.
7．答案：A
解析：由可得：，
解得：，
所以“”能推出“”，
但“”推不出“”，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
8．答案：D
解析：对于A，因为，所以，故A结论正确；
对于B，当时，因为幂函数在上单调递增，所以，故B结论正确；
对于C，因为，所以，
而函数为减函数，所以，故C结论正确；
对于D，，
因为，所以，
所以，所以，故D结论错误.
故选：D.
9．答案：A
解析：设点，则，
由可得，即，
即曲线C上存在点，使得，即为“合作曲线”，
对于 ① ，由双曲线可得，
则双曲线上存在点满足，故 ① 为“合作曲线”；
对于 ② ，由椭圆可得，，
则椭圆上存在点P满足，故 ② 为“合作曲线”；
对于 ③ ，因为圆心到直线的结论，
故直线上不存在一点P满足，故 ③ 不为“合作曲线”；
故选：A
10．答案：A
解析：，
令，则，
则函数零点的个数即为函数，图象交点的个数，
令，
当时，，则，
所以函数在上单调递增，且，
当时，，
当时，，则，
所以函数在上单调递增，且，
又当时，当时，，
作出函数的大致图象如图所示，
由图可知函数，的图象有且仅有一个交点，
所以函数零点的个数为1个.
故选：A.
11．答案：
解析：由双曲线可得：，
所以双曲线的离心率是.
故答案为：.
12．答案：-6
解析：依题意，
，
所以
.
故答案为：-6
13．答案：（答案不唯一）
解析：由题意，可取，
函数是减函数，满足时，都有，
因为，
所以函数满足题意.
故答案为：.（答案不唯一）
14．答案：① ② ③
解析：① 因为，在上取点P使，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，故 ① 正确；
② 以为原点，以，，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图
，，，，
则，，
设，则，,
从而，，所以，故 ② 正确；
③ 由 ② ，，，
，，
当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为，故 ③ 正确；
④ 平面的法向量，平面的法向量，
设平面的法向量，
由即得，
令得，
则，，
令得或，而，故，
从而对存在点P，使得，而，不大于直角，
故，故 ④ 错误；
故答案为：① ② ③.
15．答案：1；17
，再由，即可求出n的值.
解析：令可得：，
的通项为：，
令可得，
令可得，
所以由可得，所以.
故答案为：1；17.
16．答案：（1）证明见解析；（2）
解析：（1）因为，平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以；
（2）如图，分别取，的中点O，M，连接，，

则，，
因为是正三角形，所以，，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
如图，以点O为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
故，
设平面的法向量为，
则有，可取，
因为平面，
所以即为平面的一条法向量，
则，
所以二面角的余弦值为.
17．答案：(1)；(2) ① ，；③ ，.
解析：（1）因为，所以，所以，由得，.
（2）选条件 ① ：为锐角；
由正弦定理即知，
因为为锐角，所以，所以存在且唯一确定.
，
从而.
选条件 ② ：，由得，从而可能是锐角，也可能是钝角，则不唯一，故不能选② ；
选条件③ ：，
由，得，所以，，
由正弦定理即得，
，
.
18．答案：(1)；(2)；(3)或.
解析：（1）甲以往的10次比赛成绩中，有4次达到国家二级及二级以上运动员标准，
用频率估计概率，估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率为；
（2）设甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员分别为事件A，B，C，
以往的比赛成绩中，用频率估计概率，有，，，
X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，
则X可能的取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
估计X的数学期望；
（3）甲的6次试跳成绩从小到大排列为：，
设这6次试跳成绩依次从小到大为，
丙的5次试跳成绩从小到大排列为：，
设丙的6次试跳成绩从小到大排列依次为，
当时，满足，成立；
当时，满足，成立.
所以或.
19．答案：(1)；(2)
解析：（1）
因为，得；又，所以，所以；
所以，所以椭圆的方程为.
（2）设过的直线为l，与椭圆两交点坐标分别为，，
由于M不与O，重合，可知直线l的斜率存在且不为0，
根据已知条件设直线方程为，联立直线方程与椭圆方程，
整理有；
，即，整理有：恒成立；
根据韦达定理：，；
因为M为弦的中点，所以；
因为M在直线l上，所以，解得，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
化为一般式为：；
设A到直线的距离为，点B到直线的距离也为，
因为M为弦的中点，由点到直线距离公式有：
，因为A、B位于两侧，
所以，
所以，
又因为，
所以，
设四边形面积为S，
根据题意有：，
因为，所以.
所以，所以.
所以四边形面积的取值范围是.
20．答案：(1)；
(2)答案见解析；
(3)1；
解析：（1）当时，，，
则，，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
（2），则，
则，
当时，，此时函数无极值；
当时，令，则或，令，则，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为；
当时，令，则或，令，则，
所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
而函数的定义域为，
所以此时函数无极值.
综上所述，当时，函数无极大值；
当时，的极大值为；
（3）令，则，
当时，，
所以时，函数无零点；
当时，由，得，所以，
则时，函数零点的个数即为函数图象交点的个数，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，且，当时，，
如图，作出函数的大致图象，

又，由图可知，所以函数，的图象只有1个交点，
即当时，函数只有1个零点；
综上所述，若，函数有1个零点.
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
21．答案：(1)，；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析；
解析：（1）定义，由题意可知，
若数列的通项公式为，可知，
所以，
因为2只能写成，不合题意，即；
，符合题意，即；
，符合题意，即；
，符合题意，即；
，符合题意，即；
，符合题意，即；
所以.
（2）因为，由题意可知：，且，
即，
因为，即存在不相同的项，使得
可知，所以.
（3）因为，，，
令，可得，则，即，
即集合A，B在内均不存在元素，此时我们认为集合A，B在内的元素相同；
(i)若集合A是空集，则B是空集，满足；
(ii)若集合A不是空集，集合A中的最小元素为t，可知，
由（2）可知：集合B存在的最小元素为s，且，
设存在，使得，
可知集合A，B在内的元素相同,
可知，则，
因为，即，则，
可知，
且，
即集合A，B在内的元素相同，可知集合A，B在内的元素相同，
现证对任意，，集合A，B在内的元素相同，
当，可知集合A，B在内的元素相同，成立；
假设，集合A，B在内的元素相同，
可知集合A，B在内的元素相同；
对于，因为，则，
若，则，可知，
可以认为集合A，B在内的元素相同；
若，则，
若存在元素M不属于集合C，
则元素M属于集合A，且，可知元素M属于集合B，
即数列中存在不相同的项，使得，
则，可知，
可知，
即集合A，B在内的元素相同；
综上所述：对任意，，集合A，B在内的元素相同，
所以集合A，B在内的元素相同，结合n的任意性，可知；
综上所述：.
项目
国际级运动健将
运动健将
一级运动员
二级运动员
三级运动员
男子跳远
8.00
7.80
7.30
6.50
5.60
女子跳远
6.65
6.35
5.85
5.20
4.50
第1跳
第2跳
第3跳
第4跳
第5跳
第6跳
甲
6.50
6.48
6.47
6.51
6.46
6.49
丙
5.84
5.82
5.85
5.83
5.86
a