广西河池市普通高中2024届高三下学期毕业班适应性模拟测试数学试卷(含答案)

这是一份广西河池市普通高中2024届高三下学期毕业班适应性模拟测试数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设全集,集合,,则( )
A.B.C.D.
2．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.假设空间站要安排甲、乙、丙共3名航天员开展实验,每个舱安排一个人,则不同的安排方法一共有( )
A.3种B.4种C.5种D.6种
3．双曲线的一条渐近线方程为,则( )
A.B.C.3D.
4．设,则,,,的极差是( )
A.B.
C.D.
5．记单调递增的等差数列的前n项和为,若且,则( )
A.70B.65C.55D.50
6．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论:平面内与两点距离的比为常数的点的轨迹是圆,后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点,,动点满足,若点P的轨迹与圆有且仅有三条公切线,则( )
A.B.1C.2D.3
7．已知且,则“”是“函数为偶函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8．已知抛物线,过焦点的直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,P为平面上一点,O为的重心,则的面积的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知i为虚数单位,复数,为方程的两个根,则下列选项中正确的有( )
A.
B.
C.复数在复平面上对应的点在第二象限
D.
10．如图,已知三棱柱,平面,,,E,D分别是,的中点,则下列说法正确的是( )
A.平面
B.平面
C.直线AD与直线DE的夹角为
D.若,则平面与平面的夹角为
11．已知函数,则( )
A.在R上是增函数
B.的极大值点为,
C.有唯一的零点
D.的图象与直线相切的点的横坐标为,
三、填空题
12．样本数据24,8,35,23,7,10,11,30的分位数为______.
13．若实数,且,则的最小值为______.
14．已知数列满足,,对有,k为正整数,使成立的k的值为______.
四、解答题
15．已知中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角A;
(2)若,求的周长的最大值,并求出此时角B,角C的大小.
16．某大学研究机构选择了网络游戏这一项目作为研究,来了解网络游戏对大学生的影响.该机构共在某高校发放50份问卷调查,有34名男同学,16名女同学参加了这次问卷调查活动,调查的结果如下图:
(1)完成下面的列联表,并依据的独立性检验,能否认为大学生喜欢玩网游与性别有关?
(2)视本次问卷中的频率为概率,在该校所有学生中任意抽査5名学生,记其中玩过网游的人数为X,求和.
附：,其中.
17．如图,平面,,,,点P是AB的中点,连接PE.
(1)证明：平面BCD;
(2)求PE与平面BDE所成角的正弦值.
18．已知函数,定义域为.
(1)讨论的单调性;
(2)求当函数有且只有一个零点时,a的取值范围.
19．已知椭圆的离心率为,点A为左顶点,点B为上顶点,,不经过点A,B的直线l过原点且与椭圆交于M,N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线BM的斜率为,的斜率为,证明:为定值;
(3)求A,B,M,N四个点组成的四边形的面积的最大值,并求出此时直线l的方程.
参考答案
1．答案：B
解析：,,,,.故选B.
2．答案：D
解析：由题意可知共有种方式.故选D.
3．答案：C
解析：双曲线的渐近线为,其中一条渐近线方程为,因此.故选C.
4．答案：A
解析：因为,得到,所以极差为.故选A.
5．答案：B
解析：设,d为公差,由于,则,化简得,由于数列单调递增,因此,解出,因此,则.故选B.
6．答案：D
解析：由题意设,易知,即可得,整理得点P的轨迹方程为,因为点P的轨迹与圆C有且仅有三条公切线,因此两圆外切,圆C:的圆心坐标为,半径为r,因此,解出.故选D.
7．答案：A
解析：若函数为偶函数,,因此在定义域R上恒成立,则,即,因此是的充分不必要条件.故选A.
8．答案：C
解析：设,,,设,与联立得,且,所以,,则,因为O为的重心,所以,求出,则,点到直线l的距离,因此.故选C.
9．答案：ABD
解析：不妨令的两个根为,,因此,故A正确;,故B正确;
复数在复平面上对应的点在第一象限或者第四象限,故C错误;
由于,故D正确.故选ABD.
10．答案：ABD
解析：因为D,E分别是,的中点,所以,又平面,平面,则平面,故A正确;
因为平面,所以平面ABC,即,又,且,平面,则平面,即,又,且,平面,则平面,故B正确;由于D为中点,且,,因此是等腰直角三角形,E是的中点,则,故C错误;
连接,由于,,易知平面,则,因此平面与平面的夹角为,由于,因此,则,因此,故D正确.故选ABD.
11．答案：BC
解析：由题意知,令,则,,因此函数存在减区间,故A错误;
由上述可知,其极大值点为,,故B正确;
函数,由上述可知在单调递增,在单调递减,其中,,,故在存在一个零点,当时,,当时,,因此有唯一的零点,故C正确;
设切点为,则,因此切线为,于是故,,故D错误.故选BC.
12．答案：23
解析：将样本数据从小到大排列为7,8,10,11,23,24,30,35,其中,所以分位数为从小到大排列的第5个数,即为23.
13．答案：4
解析：由可得,因为,所以,即,则,则,当且仅当时等号成立,故的最小值为4.
14．答案：32
解析：由于,则,解出,同理,,,,,…,因此数列是以6为周期的数列,则,解出.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)由于,利用正弦定理知,且,因此,
因为C为的内角,,则,
又因为,故角A为；
(2)利用正弦定理.
因此的周长
由于,因此当时,的周长取最大值.
16．答案：(1)表格见解析,认为大学生喜欢玩网游与性别无关
(2)
解析：(1)完成列联表如下:
零假设为:大学生喜欢网游与性别无关,
,
根据小概率值的独立性检验,我们推断成立,
即认为大学生喜欢玩网游与性别无关;
(2)视频率为概率,该校任意一学生玩过网游的概率为,
由,有,
.
17．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)取BC中点Q,连接PQ,QD,由于P,Q分别为AB,BC的中点,因此,且,
由题意可知且,因此,即四边形DEPQ为平行四边形,所以,
又因为平面,平面BCD,则平面BCD
(2)由于平面ABC,且,因此AB,AC,AD两两垂直,以A为坐标原点,,,分别为x轴,y轴,z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,于是,,设平面BDE的一个法向量为,有不妨令,则,
因为,所以PE与平面BDE所成角的正弦值为.
18．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)由题意知,
当时,显然在上单调递增,
当时,二次函数对称轴,令,则,此时在上单调递减,在上单调递增,
分当时,在恒成立,因此在上单调递增,
当时,二次函数对称轴,令,则,此时在和上单调递增,在上单调递减,
综上所述,时,在上单调递减,在上单调递增,时,在上单调递增,时,在和上单调递增,在上单调递减；
(2)当时,显然无零点,
当时,即为,因此,
设,则,
令,,则,当时,,当时,,因此
则在上恒成立,在上单调递减,又易知在上恒成立.
因此,,则,故,
综上所述,.
19．答案：(1)
(2)证明见解析
(3)
解析：(1)由题意可知,,且,解出,,
则椭圆C的方程为;
(2)由对称性,设,,则,
则,因此为定值;
(3)设直线,当直线l的斜率为正时,设,,,所以,
由得,
则,,
由于当且仅当,
因此,四边形面积最大时,直线,
当直线l的斜率为负时,设,,,
所以因此,
由于当且仅当,
因此,
综上所述,A,B,M,N四个点组成的四边形的面积的最大值为,此时直线.
玩过网游
没玩过网游
总计
男生
女生
总计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.076
3.841
6.635
7.879
10.828
玩过网游
没玩过网游
总计
男生
22
12
34
女生
8
8
16
总计
30
20
50