四川省眉山市2024届高三下学期第三次诊断考试数学（文）试卷(含答案)

这是一份四川省眉山市2024届高三下学期第三次诊断考试数学（文）试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在复平面内,对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
2．设全集,集合,,则( )
A.B.
C.D.
3．采购经理指数(PMI),是国际上通用的监测宏观经济走势的先行性指数之一,具有较强的预测、预警作用.综合PMI产出指数是PMI指标体系中反映当期全行业(制造业和非制造业)产出变化情况的综合指数,指数高于时,反映企业生产经营活动较上月扩张;低于,则反映企业生产经营活动较上月收缩.2023年我国综合PMI产出指数折线图如下图所示:
根据该折线图判断,下列结论正确的是( )
A.2023年各月综合PMI产出指数的中位数高于
B.2023年各月,我国企业生产经营活动景气水平持续扩张
C.2023年第3月至12月,我国企业生产经营活动景气水平持续收缩
D.2023年上半年各月综合PMI产出指数的方差小于下半年各月综合PMI产出指数的方差
4．已知向量,,,则( )
A.B.C.D.
5．已知,,则( )
A.B.C.D.
6．执行如图所示的程序框图,则输出的( )
A.3B.4C.5D.6
7．下列各选项对应的函数中,其大致图象是上图所示的一项为( )
A.B.
C.D.
8．设O为坐标原点,过点的直线与抛物线的交于M,N两点,则( )
A.-4B.-2C.0D.4
9．如图,该组合体由一个正四棱柱和一个正四棱柱组合而成,已知,,,则( )
A.平面B.平面
C.平面D.平面
10．给出下述三个结论:(1)函数的最小正周期为;(2)函数在区间单调递增;(3)函数的图象关于直线对称.其中所有正确结论的编号是( )
A.(1)(2)(3)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(2)
11．已知双曲线,的左、右焦点分别为,.点A在C上,点B在y轴上,,,则C的离心率为( )
A.B.C.D.
12．若关于x的不等式恒成立,则的最大值为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．若x,y满足约束条件,则的最小值为______.
14．已知的三边长,,,则的面积为______.
15．已知函数是定义域为R的奇函数,且当时,.若,则______.
16．已知相互垂直的两个平面分别截球O的球面,得到两个圆,,其半径分别为,,若,,两圆的公共弦的中点为M,设,则______.
三、解答题
17．某公司为改进生产,现对近5年来生产经营情况进行分析.收集了近5年的利润y(单位:亿元)与年份代码x共5组数据(其中年份代码分别指2019年,2020年,…,2023年),并得到如下值:,,.
(1)若用线性回归模型拟合变量y与x的相关关系,计算该样本相关系数r,并判断变量y与x的相关程度(r精确到0.01);
(2)求变量y关于x的线性回归方程,并求2024年利润y的预报值.
附:(1);
(2)若,相关程度很强;,相关程度一般;,相关程度较弱;
(3)一组数据,,,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为;相关系数
18．已知数列的前n项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
19．如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD为矩形,平面平面ABCD,平面平面ABCD,,是等腰直角三角形且,,.
(1)证明:平面平面CDE；
(2)求平面ABF与平面CDE的距离.
20．已知椭圆的离心率是,左、右顶点分别为,,点在椭圆C上;
(1)求椭圆C的方程;
(2)若点P为直线上的动点,直线,分别交椭圆C于M,N两点,证明:直线MN过定点.
21．已知函数.
(1)若在上单调递增,求a的取值范围;
(2)若有两个不同极值点,.
①求a的取值范围;
②当时,证明:.
22．在直角坐标系xOy中,的圆心为,半径为2,以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
求的极坐标方程;
(2)过点O的直线交于P,Q两点,求的最大值.
23．已知函数.
(1)若对任意,使得恒成立,求a的取值范围;
(2)令的最小值为M.若正数a,b,c满足,求证:.
参考答案
1．答案：B
解析：由,对应的点位于第二象限,选择B.
2．答案：D
解析：由,所以,所以选项D正确.
3．答案：B
解析：根据图表可知,各月PMI的中位数小于,A错误;2023年各月,2023年我国综合PMI产出指数均大于,表明我国企业生产经营活动总体持续扩张,C错误,B正确;2023年上半年各月PMI比下半年各月PMI的波动大,则方差也大,故D错误.
4．答案：A
解析：由,,所以.
5．答案：B
解析：,即,而,从而.
6．答案：C
解析：,;
,;
,;
,;
,.故输出的i为5.
7．答案：C
解析：根据图象可知,的图象关于y轴对称,为偶函数,且.对于A,B,均满足,为奇函数,不合题意;对于选项C和D,,为偶函数,当时,,D选项不符题意,可验证C项满足条件.
8．答案：A
解析：设,,直线MN的方程为:,联立方程得,,故,,从而,故选A.
9．答案：C
解析：如图,因为,,,在平面中有,所以,平面,不平行于平面;同理,不平行于平面;易得,,所以,又,,所以平面.
10．答案：B
解析：对于(1)由,最小正周期为,结论(1)不正确;对于(2),由,有,,此时在区间单调递增,结论(2)正确;对于(3),,对称轴由,确定,当时,,结论(3)正确.
11．答案：D
解析：设,则,,由于,关于y轴对称,故,又因为,所以,,所以,,所以,故选D.
12．答案：C
解析：依题意,,,不等式化为,设,则,当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以,在处取得极大值,也即最大值.又时,.由题知不等式恒成立,所以的图象恒在的图象的上方,显然不符题意;当时,为直线的横截距,其最大值为的横截距,再令,可得,且当直线与在点处相切时,横截距取得最大值.此时,切线方程为,,,所以取得最大值为.
13．答案：-6
解析：作出约束条件表示的可行域为以,,三点为顶点的及其内部,作出直线并平移,当直线经过点时,在y轴上的截距最小,此时目标函数取得最小值.
14．答案：
解析：由余弦定理有,所以,所以的面积.
15．答案：-2
解析：函数是定义域为R的奇函数,且当时,,由于,所以,所以.
16．答案：2
解析：如图,设,,则在中,,在中,,两式相减,得,在中,,所以,可得.
17．答案：(1),变量y与x的相关程度很强
(2),78亿元
解析：(1)依题意,,
,则,r>0.75,故变量y与x的相关程度很强.
(2)令变量y与x的线性回归方程为.
,
所以,
所以,变量y关于x的回归方程为.2024年,即时,(亿元).
所以,该公司2024年利润y的预报值为78(亿元).
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)由,
当时,,得,
当时,,
整理得,,
又,所以,
所以数列是首项为3,公比为3的等比数列,
所以.
(2)由(1)可得,,
所以,,
两式相减得.
.
所以.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)如图,取AB,CD的中点M,N,连接ME,EN,NF,FM.因为,平面平面ABCD,平面平面,所以平面ABCD.
同理,平面ABCD.又和是等腰直角三角形,所以,四边形MENF为平行四边形,所以,又因为,,,所以平面平面CDE.
(2)如图,连接MN,过M作于H.
因为平面,平面ABCD,所以.
因为,平面平面ABCD,平面平面所以平面ABE,所以.
同理可得,.
又因为,,
所以,所以.
因为N是DC的中点,所以,
又因为,所以平面MEN,
所以.
因为,,所以平面DCE.
因为平面ABF,所以MH是平面ABF与平面CDE的距离.
在中,易得,,,
所以,.即平面ABF与平面CDE的距离为.
20．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由题知,,则,故椭圆C的方程可表示为.由点在椭圆C上知,,故,,即椭圆C的方程为.
(2)由(1)知,,设,,.则,.联立直线与椭圆C方程得,,故,,.联立直线与椭圆C方程得,,故,,.取,
则,.
从而,故,即直线MN过定点.
21．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)由于,则.
因为在上单调递增,
所以,恒成立,即,也即恒成立,令,则,
可知时,,单调递增,此时;当时,,单调递减,此时,故时,,所以,即,所以,在上单调递增时,a的取值范围是.
(2)(1)由(1)知,,
因为有两个极值点,,即有两个实数根,,由(1)知,,
可知时,,单调递增,此时;当时,,单调递减,此时,
所以即有两个实数根时,.
则有两个极点时,.
(2)由即得,
要证明,只需证明.
令,则,
欲证明,也即证明,
只需证明即可,令,
可知,则在时单调递增,故,则,令在时单调递增,则,故,即,
所以.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)由题知,的直角坐标方程为,即,
故的极坐标方程为.
(2)设,,,.
联立直线PQ和圆C的方程得:
则,.
故,
故当时,取得最大值.
23．答案：(1)
(2)证明见解析
解析：(1)当时,;当时,;当时,.则的最小值为4.由于对任意,使得恒成立,
所以,解得,
故a的取值范围是.
(2)由(1)可知的最小值为,则,
则.
当且仅当,,且取“=”,即,取“=”.
所以.