初中数学人教版八年级上册12.1 全等三角形同步测试题

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一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题2分）（2023春·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，在中，D是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点E，连接，若，，则C到的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，交于点M，由翻折知，，垂直平分，证为等边三角形，利用含30度的直角三角形性质及勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，交于点M，

∵，D是边上的中点，
∴，
由翻折知，，垂直平分，
∴，，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，
，，
∴，
，
∴C到的距离为，
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
2．（本题2分）（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在四边形与中，．下列条件中：①；②；③；④．添加上述条件中的其中一个，可使四边形≌四边形，上述条件中符合要求的有（ ）
A．①②③B．①③④C．①④D．①②③④
【答案】B
【分析】连接，通过证明，，故①符合要求，同理可得③④符合要求，即可得到结论．
【详解】解：连接，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形与中，
，
，，，
∴四边形≌四边形．
故①符合要求；
同理根据③④的条件证得四边形≌四边形．
综上所述，符合要求的条件是①③④，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了全等形，全等三角形的判定和性质，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：．
3．（本题2分）（2022春·广东清远·八年级统考期末）如图，已知中，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点以的速度运动． 经过（ ）秒后，与全等．

A．B．C．或D．无法确定
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质，进行分类讨论，列出方程即可求解．
【详解】
如图，设两点分别从两点同时出发运动时，
则，，
∴，，
∵是中点，
∴，
①当时，
∴，即，解得：，
此时，不符合题意，舍去，
②当时，
∴，即，解得：，
综上可知：，
故选：．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质，学会用分类讨论的思想思考问题．
4．（本题2分）（2023春·河北唐山·八年级统考期末）如图，将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为点，连接，下列结论一定正确的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据旋转的性质得出，进而得出是两个顶角相等的等腰三角形，即可求解．
【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，
∴
∴，，，
∴，
∴，
即，
∴，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
5．（本题2分）（2022春·八年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，，若点的坐标为，点，在直线上，点在轴的正半轴上，且点的坐标为，则点的坐标为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作于，于，由，，就可以得出，再结合勾股定理就可以得出结论．
【详解】解：如图所示，作于，于，
，
点的坐标为，点，在直线上，
到的距离为，
，，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
点的坐标为，
，
点的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了坐标与图象的性质的运用，垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
6．（本题2分）（2023秋·八年级单元测试）如图，已知中，，，点为的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以相同速度由点向点A运动，一个到达终点后另一个点也停止运动，当与全等时，点运动的时间是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】根据，求出，根据点为的中点，求出，分时，时，两种情况进行讨论，并注意验证当时，不成立，从而可以求出t的值．
【详解】解：∵，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以相同速度由点向点A运动，
∴， ，
当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，解得：，
此时，，
∵，
∴此种情况不成立，
综上分析可知，，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的性质，注意分类讨论．
7．（本题2分）（2022秋·山西忻州·八年级统考期中）如图，，点B和点C是对应顶点，，记，，，当时，与之间的数量关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据全等三角形的性质得到，再根据平行线的性质，得到，利用，即可解答．
【详解】解：，，
，
，，
，，
，
，
化简得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行线的性质，结合图形和题意找到角之间的关系是解题的关键．
8．（本题2分）（2023春·八年级单元测试）如图，边长为5的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连结并延长交于点M．若，则的长为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】D
【分析】过点作于点，设与交与点，利用已知条件和正方形的性质得到为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和平行线分线段成比例定理解答即可得出结论．
【详解】解：过点作于点，设与交与点，如图，
四边形是正方形，
，，
，
．
由题意得：，
，．
．
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
，，
，
，
，
．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，依据题意恰当地添加辅助线是解题的关键．
9．（本题2分）（2022秋·山东德州·八年级校联考期中）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N，与交于点E．下列结论：①∠；②；③；④其中正确结论有 （ ）个

A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】由，，可得，从而得出，判断①正确与否；通过证明，得出，判断②正确与否；先证明是等腰直角三角形，从而得到，判断③正确与否；先证明，再证明，得出，判断④正确与否．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
由①②知，，
∴，
∴，
由②知，，
∴，
∴，
故④正确；
∴正确的有①②③④，
故选D．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，证明三角形全等是解题的关键．
10．（本题2分）（2023春·浙江·八年级期末）赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形（如图所示）．某次课后服务拓展学习上，小浔绘制了一幅赵爽弦图，她将延长交于点．记小正方形的面积为，大正方形的面积为，若，，，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接DG，根据，，得出，根据弦图由四个全等的直角三角形所组成，推出，根据，且，推出，得到，设CG=DH=x，则CH=x+，根据∠CHD=90°，得到，求得，得到DH=EH=GH=，求出DG=EG=，∠GDE=∠GED=45°，推出∠DGE=180°-（∠GDE+∠GED）=90°，推出．
【详解】连接DG，
∵CD=CI+DI=1+2=3，
∴，
∵△ABF≌△BCG≌△CDH≌△DAE，
∴
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∴
设CG=DH=x，则CH=x+，
∵∠CHD=90°，
∴ ，
∴，
解得（舍去），或，
即，
∴DH=EH=GH=，
∴DG=EG=，
∴∠GDE=∠GED=45°，
∴∠DGE=180°-（∠GDE+∠GED）=90°，
∴．
故选A．
,
【点睛】本题主要考查了正方形，全等三角形，勾股定理等，解决问题的关键是添加辅助线，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的性质，勾股定理解直角三角形．
二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.
11．（本题2分）（2023春·广西钦州·八年级校考阶段练习）如图，正方形是由四个全等的直角三角形围成的，若，，则的长为 ．

【答案】
【分析】由全等三角形的性质可得，，，，可得，，可证四边形是正方形，即可求的长．
【详解】解：如图，

∵正方形是由四个全等的三角形围成的，
∴，，，，
∴，，
∴四边形是菱形，且，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的性质，勾股定理，证明四边形是正方形是解题的关键．
12．（本题2分）（2022秋·广东湛江·八年级岭师附中校联考期末）如图，，，则 ．

【答案】1
【分析】根据全等三角形的性质，得到，计算即可．
【详解】∵，，
∴，
∴（）．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
13．（本题2分）（2020秋·广东东莞·八年级统考期中）如图，在三角形纸片中，，，，折叠该纸片，使点A和点B重合，折痕与、分别相交于点D和点E，（如图），则的长为 ．

【答案】8
【分析】利用折叠的性质，等腰三角形的性质和含角的直角三角形的性质解答即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，，．
∵，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了折叠问题，全等三角形的性质，三角形的内角和，含角的直角三角形的性质，熟练这折叠的性质和含角的直角三角形的性质是解题的关键．
14．（本题2分）（2023秋·湖南益阳·八年级校联考期末）如图，在矩形中，cm，cm，点从点B出发，以cm/s的速度沿边向点运动，到达点停止，同时，点从点出发，以cm/s的速度沿边向点运动，到达点停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当为 时，与全等．
【答案】2或
【分析】设运动时间为t，根据题意求出对应线段的长度，然后分两种情况讨论：①当，时；②当，时；利用全等三角形的性质列出方程求解即可．
【详解】解：设点Q从点C出发ts，同时点P从点B出发ts，
①当，时，，
，
，
，
，
解得：，
，
，
解得：；
②当，时，，
解得：，
解得：；
综上所述，当或时，，
故答案为：2或．
【点睛】本题主要考查矩形的性质及全等三角形的性质，一元一次方程的应用，理解题意，进行分类讨论，列出方程是解题关键．
15．（本题2分）（2023春·江苏·八年级统考期末）点是反比例函数（）的图象上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若点在反比例函数的图象上，则 ．

【答案】
【分析】设，过作轴于，过A作轴于，得到，，根据全等三角形的性质得到，，再利用点在第二象限于是得到结论.
【详解】解：设，点是反比例函数（）图象上的一个点，
，，，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
.
过作轴于，过A作轴于，

.
，，
，
.
在与中
，
，.
点在第二象限，
∴,
，
故答案为：.
【点睛】本题考查了坐标与图形变化一旋转，反比例函数图形上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键.
16．（本题2分）（2023春·全国·八年级专题练习）如图，在长方形中，．延长到点E，使，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为 时，和全等．
【答案】1秒或10秒
【分析】由题意知，分在，，上三种情况求解．
【详解】解：由题意知，分在，，上三种情况求解：
①当在上时，由题意知，，
∵和全等，
∴，即，
解得；
②当在上时，由题意知，，，
∴此时和不全等，
③当在上时，由题意知，，
∵和全等，
∴，即，
解得；
综上所述，和全等时，为1秒或10秒，
故答案为：1秒或10秒．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质及矩形的性质，解决本题的关键在于分情况求解．
17．（本题2分）（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，A、B两点分别在x轴、y轴上，，，连接．点P在第一象限，若以点P、A、B为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 ．

【答案】或
【分析】由条件可知为两三角形的公共边，且为直角三角形，当和全等时，则可知为直角三角形，再分两种情况进行讨论，可得出P点的坐标．
【详解】解：如图所示：

①若，
∴
∴四边形是平行四边形，
又
∴四边形是矩形，
∴；
②若，则有
连接，交于点，过点E作于点F，
∴是的垂直平分线，点E是的中点，
∵，
由勾股定理得，
又，即：,
∴
在中，，
又，即，
解得，，
由勾股定理得，
∴
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质及坐标与图形的性质，勾股定理以及面积法等知识，做这种题要求对全等三角形的判定方法熟练掌握．
18．（本题2分）（2021秋·安徽六安·八年级校考期中）如图，中，，，．点P从A点出发沿路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作于 E、 作于F， 当点P运动 秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．
【答案】或或6
【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，解方程即可．
【详解】解：设点运动秒时，以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，分为五种情况：
①如图1，P在上，Q在上，则，，
，，
，
，
，，
，
，
，
即，
；
②如图2，P在上，Q在上，则，，
由①知：，
，
；
因为此时，所以此种情况不符合题意；
③当P、Q都在上时，如图3，
，
；
④当Q到A点停止，P在上时，，时，解得．
⑤因为P的速度是每秒1，Q的速度是每秒3， P和Q都在上的情况不存在；
综上，点P运动或或6秒时，以P、E、C为顶点的三角形上以Q、F、C为顶点的三角形全等．
故答案为：或或6．
【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．
19．（本题2分）（2022秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）如图，在中，，，，，现有一动点，从点出发沿着三角形的边运动回到点停止，速度为，设运动时间为．
（1）如上图，当 时，的面积等于面积的一半；
（2）如图，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点出发，沿着边运动回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，则点Q的运动速度是 ．
【答案】 或 或或或
【分析】（1）根据三角形中线的性质，分点运动到边上时和点运动到边上时两种情况分别讨论即可；
（2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可．
【详解】解：∵的面积等于面积的一半，
∴P点运动到BC的中点，
此时，
当P点运动到AC边上时，
此时，
∴此时P点在AC边的中点，
此时，
综上所述，当或时，的面积等于面积的一半；
（2）设点的运动速度为，
①当点在上，点在上，时，
，
∴
解得；
②当点在上，点在上，时，
，
∴，
解得；
③当点P在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴
解得；
④当点P在上，点Q在上，时
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴
解得；
∴运动的速度为或或或．
故答案为：或或或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
20．（本题2分）（2022秋·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，三角形ABC中，BD平分，若，则 ．
【答案】8
【分析】延长AD交BC与点E，证可得，由可得，进而即可求解；
【详解】解：如图，延长AD交BC与点E，
∵BD平分
∴
∵BD=BD
∴
∴AB=BE
∴
∵
∴
∴
∵AD=DE，
∴
∴
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查三角形的全等证明、角平分线的性质，掌握相关知识并正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，21-25题每小题8分，26-27题每小题10分，共60分．
21．（本题8分）（2022秋·山西阳泉·八年级校联考期中）如图，线段，于点，，射线于点，点从点向点运动，每秒走，点从点沿方向运动，每秒走．若点，同时从点出发，当出发秒后，在线段上有一点，使以点，，为顶点的三角形与全等，求的值．

【答案】5秒
【分析】分两种情况考虑：当≌时与当≌时，根据全等三角形的性质即可确定出时间．
【详解】解：当时，，即，解得：；
当时，，此时所用时间为10秒，，与点C在线段上矛盾，不合题意，舍去；
综上，出发5秒后，在线段上有一点，使以点，，为顶点的三角形与全等．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解本题的关键．
22．（本题8分）（2022秋·山西大同·八年级大同一中校考阶段练习）综合与探究
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题．
【直接应用】（1）若，，求的值．
【类比应用】（2）若，则___________．
【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．