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专题11等腰三角形的性质和证明(专项培优训练)(学生版+教师版)
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试卷满分:100分 考试时间:120分钟 试卷难度:较难试卷说明:本套试卷结合人教版数学八年级上册同步章节知识点,精选易错,常考,压轴类问题进行专题汇编!题目经典,题型全面,解题模型主要选取热点难点类型!同步复习,考前强化必备!适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。一、选择题:本大题共10小题,每小题2分,共20分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(本题2分)(2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习)如图,在中,,,和的平分线交于点,过点作的平行线交于点,交于点,则的周长为( ) A. B. C. D.【答案】D【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质,及等角对等边可知,,则的周长可求.【详解】解:∵和的角平分线交于点O,∴,∵,∴,∴,∴,∴的周长,故选:D.【点睛】本题通过求三角形的周长考查了角平分线的定义、平行线的性质,及等角对等边的关系.2.(本题2分)(2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习)如图,中,,,为线段上一动点(不与点,重合),连接,作 ,交线段于,以下四个结论:①;②当为中点时,;③当为等腰三角形时,;④当时,.其中正确的结论的个数是( ) A. B. C. D.【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质得到,根据三角形的内角和和平角的定义即可得到;根据等腰三角形的性质得到,根据三角形的内角和即可得到;根据三角形外角的性质得到,求得,根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或;根据全等三角形的性质得到.【详解】解:①,,,,,故①正确;②为中点,,,,,,,,故②正确;③,,,为等腰三角形,,,,;或为等腰三角形,,,,,故③错误;④,,,,,,,,,,故④正确,综上所述正确的有①②④.故选:.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形的内角和,正确的识别图形是解题的关键.3.(本题2分)(2023春·安徽宿州·八年级校考阶段练习)如图,三角形中,的平分线交于点D,过点D作,,垂足分别为E,F,下面四个结论:①;②垂直平分;③;④一定平行.其中正确的是( )A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④【答案】A【分析】根据角平分线的性质,可得,然后利用三角形内角和定理,得到,再根据角平分线的性质,可得,即可判断①结论;根据线段垂直平分线的判定,即可判断②结论;利用三角形的面积公式求解,即可判断③结论,根据平行线的判定即可判断④.【详解】解:①在中,的平分线交于点D,,,,,,即平分,,,故①结论正确;②,,点D在的垂直平分线上,点A在的垂直平分线上,垂直平分,故②结论正确;③,,,,故③结论正确;④不一定等于,不一定平行,故④结论错误,正确的结论有:①②③,故选:A.【点睛】本题考查了角平分线的性质,三角形内角和定理,线段垂直平分线的判定,等腰三角形的性质,平行线的判定.难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.4.(本题2分)(2023春·江西萍乡·八年级统考期末)如图,在中,,为内一点,过点的直线分别交、于点,,若在的垂直平分线上,在的垂直平分线上,则的度数为( ) A. B. C. D.【答案】B【分析】根据三角形的内角和得到,根据线段的垂直平分线的性质得到,,由等腰三角形的性质得到,,由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得,,可得,,推出 ,从而由平角定义得到结论.【详解】解:, .在的中垂线上,在的中垂线上,,.,.,,,. ..故选:B.【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质,熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键.5.(本题2分)(2022秋·广东深圳·八年级深圳市罗湖区翠园东晓中学校考期中)如图,在中,,,若点D为的中点,过点D作,分别交、于点M、N,连接,则下列结论中:①是等腰直角三角形;②的周长有最小值;③四边形的面积为定值8;④的面积有最小值.正确的有( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【答案】B【分析】根据等腰直角三角形的性质可证,得,可知①正确;利用垂线段最短可知,当时,最小,则的周长、面积有最小值,故②④正确;由,得到,计算的面积即可判断③错误,从而得出答案.【详解】解:是等腰直角三角形,D为的中点,,,,,,,在和中,,,,是等腰直角三角形,①结论正确;当时,最小,则的周长、面积有最小值,②④结论正确;,,,,的面积为,的面积为4,四边形的面积为定值4,③结论错误;正确的有①②④,共3个,故选:B.【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,垂线段最短,三角形的面积等知识,证明是解题的关键.6.(本题2分)(2023秋·八年级单元测试)如图,,,,是延长线上一点,,垂足为,下列结论:①;②;③四边形的面积等于;④;其中正确的是( )A.①② B.②③ C.①②③ D.①②③④【答案】C【分析】证明,得出,故①正确;由,得出,,得出,进而得出为等腰直角三角形,故②正确;由得出故③正确;由不能确定,故④不正确,即可得出答案.【详解】解:,,,,,,在和中,,,,故①正确;,,,,,,故②正确;,,故③正确;,不能确定,故④不正确.故选:C.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识,证明三角形全等是解题的关键.7.(本题2分)(2022秋·辽宁抚顺·八年级统考期末)如图,在中,,于点D,平分,且于点E,与相交于点F,H是边的中点,连接与相交于G,下列结论:①;②;③;④;⑤是等腰三角形.其中正确的有( )A.5个 B.2个 C.4个 D.3个【答案】C【分析】只要证明、,即可判断①②正确,根据角平分线的定义利用即可判断③;过G作于点M,根据角平分线定理,结合,可得,又可得,即可判断④错误,证明可判断⑤正确.【详解】①,,,又,,,,又,,∴是等腰直角三角形,,在和中,,,.故①正确;②平分,,,,在和中,,,,,又,,即:,故②正确;③,平分,,,,,故③正确;④如图所示,过G作于点M,为等腰直角斜边BC的中点,,即,又平分,,,又,,又,,,,故④错误;⑤,,,,又,,为等腰三角形,故⑤正确.正确的为①②③⑤,共计4个,故选:C.【点睛】此题是三角形综合题,考查了等腰三角形的性质,直角三角形的性质,全等三角形的性质和判定,三角形的面积等知识点的综合运用,第四个问题难度比较大,添加辅助线是解题关键.8.(本题2分)(2023秋·重庆永川·八年级统考期末)如图,在等腰中,,F是AB边上的中点,点D、E分别在AC、BC边上运动,且保持.连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中,下列结论:①;②是等腰直角三角形;③四边形CDFE的面积随D、E的运动而变化;④面积的最小值为4;⑤面积的最大值为8.其中正确的结论是( )A.①③⑤ B.①②⑤ C.②③④ D.②④⑤【答案】B【分析】通过证明全等三角形得到角等和边等,进而等量代换出直角,即可判断①②③;证明全等后即可证明四边形CDFE为三角形面积的一半,即可判断④⑤⑥.【详解】(1)连接CF,在等腰中,F是AB边上的中点,在和中(故①正确.(2)由(1)可知,,是等腰直角三角形故②正确.(3)四边形CDFE的面积是定值故③错误.(4)最小时,面积有最小值.当时,此时故④错误.(5)由(3)可知由(4)可知故⑤正确.故选:B【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定,解题技巧是作辅助线构造全等三角形,解题关键是面积最小值可转化成三角形边长的最小值.9.(本题2分)(2022秋·四川资阳·八年级统考期末)如图,已知在中,,,直角的顶点P是的中点,两边、分别交、于点E、F.以下四个结论:①;②是等腰直角三角形;③;④.其中正确的是( )A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④【答案】A【分析】根据等腰三角形的性质可得,,,可得,根据直角三角形斜边中线的性质可得,根据角的和差关系可得,证明,根据全等三角形的性质可得,,由,可得是等腰直角三角形,可判定①②正确;根据全等三角形的性质可知,可得,由可判定③正确;只有当为的中位线时,,可判定④错误【详解】∵,,∴,∵P是的中点,∴,,,∴,∵,,∴,在和中,,∴,∴,,故①正确,∵,∴是等腰直角三角形,故②正确,∵,∴,∴,∵,∴,∴,故③正确,只有当为的中位线时,,故④错误;综上所述:正确的结论有①②③故选:A.【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定,熟练掌握三角形全等的性质和判定是关键10.(本题2分)(2023春·八年级单元测试)如图,中,,,.则为( )A. B. C. D.【答案】B【分析】可过C作于E,因为,则可得,可过C作于E,依据题意可得,进而得到,得到,再利用等腰三角形的判定可得,即可求得.【详解】如图,可过C作于E,可过C作于E.∵,∴,∴,∵,,∴,∴,,且∴,∴,且∴,且,∴,∴,∴∴故选:B.【点睛】本题主要考查了全等直角三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,能够熟练运用其性质进行解题是关键.二、填空题:本大题共10小题,每小题2分,共20分.11.(本题2分)(2023春·四川达州·八年级统考期末)已知:如图,为的角平分线,且,E为延长线上的一点,,过E作,F为垂足.下列结论:①;②;③;④.其中正确的是 .(只填序号) 【答案】①②③④【分析】根据全等三角形的判定定理得到,由全等三角形的性质得到,,再根据角平分线的性质可求得,即,于是得到结论.【详解】解:①为的角平分线,,在和中,,,故①正确;②为的角平分线,,,,,,,,,,故②正确;③,,,,,为等腰三角形,,,,,故③正确;④过作于点, 是上的点,,在和中,,,,在和中,,,,,故④正确.故答案为:①②③④.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质,本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键.12.(本题2分)(2023·浙江·八年级假期作业)如图,在平面直角坐标系中,以为顶点作等腰直角(其中,且点C落在第一象限内),则点C的坐标为 (用t的代数式表示).【答案】【分析】过点C作轴,垂足为E,根据垂直定义可得,从而可得,再根据平角定义可得,从而可得,然后利用证明,从而可得,,进而可得,即可解答.【详解】解:过点C作轴,垂足为E,∴,∴,∵,∴,∴,∵,∴,∵,∴,∴,,∴,∴点C的坐标为,故答案为:.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握一线三等角构造全等模型是解题的关键.13.(本题2分)(2023·江苏·八年级假期作业)在中,分别为边上的高,相交于点F,连接.下列结论:(1);②;③:,④若,则的周长等于的长.正确的是 (填序号). 【答案】①③④【分析】首先在中,分别为边上的高,相交于点F,根据三角形面积公式和它们有一条公共边可以得到③;由及垂直关系可以得到,接着得到,又和都是的余角,所以可以证明,根据全等三角形的性质可以得到,进一步得到①;若,则由,推出,显然不可能,故②错误;若,根据①可以得到E是的中点,然后可以推出是的垂直平分线,最后由线段垂直平分线的性质即可得到④.【详解】解:∵中,分别为边上的高,又,而和有一条公共边,∴,∴③正确;∵,,∴和都是的余角,∴而,∴,∴,∴,∴①正确;若,∵,∴,显然不一定,故②错误,若,根据①得,∴,即E为的中点,∴为线段的垂直平分线,∴,∴,即周长等于的长,∴④正确.故答案为①③④【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定,线段的垂直平分线的性质与判定,等腰三角形的判定与性质,三角形的周长公式等知识,综合性比较强,对学生的能力要求比较高.14.(本题2分)(2022秋·内蒙古乌海·八年级校考阶段练习)如图,在中,平分,平分,经过点与相交于点,且,,,的周长为 .【答案】22【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形,从而得到,,然后利用等量代换可得到的周长为,进行计算即可解答.【详解】解:平分,平分,,,,,,的周长为:,故答案为:22.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质,熟练掌握角平分线的性质、平行线的性质证等腰三角形是解题的关键.15.(本题2分)(2023春·山东青岛·八年级山东省青岛第五十九中学校考期中)如图,中,,的平分线和的外角平分线相交于点,分别交和的延长线于,.过作交的延长线于点,交的延长线于点,连接交于点.则下列结论:①;②;③;④.其中正确的是 .【答案】①②③【分析】①根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出,再根据角平分线的定义 然后利用三角形的内角和定理整理即可得解;②证明得出,,即可判断②③再利用角角边证明全等,然后根据全等三角形对应边相等得到,从而得解;④根据,,可得,然后求出,再根据等角对等边可得,再根据等腰直角三角形两腰相等可得,然后求出,根据直角三角形斜边大于直角边,,从而得出④错误.【详解】解:①的角平分线和的外角平分线, 在中 ,故①正确;,,为的角平分线,,在和中,,;故②正确;③,, ,,, 在与中, ,,,,,故③正确;④ , ,,,, , , ,与都是等腰直角三角形,,,,,不成立,故④错误,综上所述①②③正确.故答案为:①②③.【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定,三角形内角和定理,直角三角形的性质,角平分线的定义,全等三角形的判定与性质,掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.16.(本题2分)(2023春·全国·八年级专题练习)如图,,分别是与它的邻补角的平分线,,垂足为点E,,垂足为点F,分别交边,于点M和N.若,,则的长为 .【答案】【分析】根据角平分线的定义可得,,从而可得,再根据垂直定义可得,从而可得四边形是矩形,然后利用矩形的性质可得,,,从而可得,进而可得,最后利用平行线的判定可得,从而可得是的中位线,进而可得,再利用线段的和差关系进行计算即可解答.【详解】解:∵,分别是与它的邻补角的平分线,∴,,∵,∴,∵,,∴,∴四边形是矩形,∴,,,∴,∴,∴,∵,∴,∴是的中位线,∴,∴,故答案为:.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键.17.(本题2分)(2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期中)如图,中,,,的平分线与的垂直平分线交于点,将沿在上,在上折叠,点与点恰好重合,则为 度. 【答案】【分析】连接、,根据角平分线的定义求出,根据等腰三角形两底角相等求出,再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得,根据等边对等角可得,再求出,证明 ,再根据等边对等角求出,根据翻折的性质可得,然后根据等边对等角求出,再利用三角形的内角和定理列式计算即可.【详解】解:如图,连接、, ,为的平分线,,又,,是的垂直平分线,,,,为的平分线,,点在的垂直平分线上,,,将沿在上,在上)折叠,点与点恰好重合,,,
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