人教版八年级数学上学期期中模拟卷01（学生版+教师版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．（3分）（2021秋•天门月考）下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；
B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2．（3分）（2023•柯城区校级一模）已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，则边AC的长可能是（ ）
A．2B．3C．4D．11
解：在△ABC中，AB＝4，BC＝7，
则7﹣4＜AC＜7+4，即3＜AC＜11，
∴边AC的长可能是4，
故选：C．
3．（3分）（2021秋•隆阳区期末）下列运算正确的是（ ）
A．2a•3b＝5abB．a2•a3＝a5C．（2a）3＝6a3D．a6÷a2＝a3
解；A、2a•3b＝6ab，故此选项错误；
B、a2•a3＝a5，故此选项正确；
C、（2a）3＝8a3，故此选项错误；
D、a6÷a2＝a4，故此选项错误；
故选：B．
4．（3分）（2022秋•东莞市校级期中）在△ABC中，若∠A＝28°，∠B＝62°，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
解：在△ABC中，若∠A＝28°，∠B＝62°，
∴∠C＝180﹣28﹣62＝90°，
∴三角形是直角三角形，
故选：B．
5．（3分）（2022春•泉州期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，将△ABC沿直线m翻折．点A落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（ ）
A．αB．2αC．90°﹣αD．45°+α
解：如图，
∵∠1＝∠A+∠AEF，又∠AEF＝∠2+∠D，
∴∠1＝∠A+∠2+∠D，
而根据折叠得∠A＝∠D＝α，
∴∠1＝∠A+∠2+∠D＝2α+∠2，
∴∠1﹣∠2＝2α．
故选：B．
6．（3分）（2021秋•襄都区校级月考）下列各式计算正确的是（ ）
A．a2+a2＝a4
B．2a2×2a2＝2a4
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2
D．（4ab+1）（4ab﹣1）＝16a2b2﹣1
解：a2+a2＝2a2，故选项A错误，不符合题意；
2a2×2a2＝4a4，故选项B错误，不符合题意；
（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项C错误，不符合题意；
（4ab+1）（4ab﹣1）＝16a2b2﹣1，故选项D正确，符合题意；
故选：D．
7．（3分）（2021春•新城区校级期中）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，DE是AB的垂直平分线，分别交线段AB、BC于D，E，线段BC＝12cm，则DE的长度为（ ）
​
A．3cmB．4cmC．2cmD．1cm
解：连接AE，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝30°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△BDE中，BE＝2DE，
在Rt△ABC中，CE＝2AE，
∴CE＝4DE，
∵BC＝BE+CE＝2DE+4DE＝6DE＝12cm，
∴DE＝2cm，
故选：C．
8．（3分）如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D＝160°，点P、R分别在BC、CD上，将△RCP沿PR翻折得到△PRC′，若PC′∥AB，RC′∥AD，则∠C的度数为（ ）
A．80°B．90°C．95°D．100°
解：∵GE∥AB，GF∥AD，
∴∠CBC′＝∠B，∠CRC′＝∠D，
∴∠CPC′+∠CRC′＝∠B+∠D＝160°，
由折叠可得，∠C＝∠C′，
∴四边形CPC′R中，∠C＝[360°﹣（∠CPC′+∠CRC′）]＝100°，
故选：D．
9．（3分）（2023春•新郑市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，若以AC边和BC边向外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCD．记△ACE的面积是S1，△BCD的面积是S2，则S1+S2＝（ ）
A．16B．32C．48D．64
解：设BC＝a，AC＝b，
∵△BCD和△ACE为等腰三角形，且∠CBD＝∠CAE＝90°，
∴AE＝AC＝b，BD＝BC＝b，
∴S1＝AC•AE＝b2，S2＝BC•BD＝a2，
∴S1+S2＝（a2+b2），
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，
∴AC2+BC2＝AB2
∴a2+b2＝82＝64，
∴S1+S2＝×64＝32．
故选：B．
10．（3分）（2020春•渝中区校级月考）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如下的三角形解释（a+b）n的展开式中各项的系数，此三角形称为“杨辉三角”，
即：（a+b）1＝a+b
（a+b）2＝a2+2ab+b2
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3
（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
根据“杨辉三角”计算出（a+b）10的展开式中第三项的系数为（ ）
A．10B．45C．46D．50
解：根据“杨辉三角”（a+b）10的展开式确定第三项的系数为45，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
11．（3分）（2020秋•朝阳区期中）已知点P（m，2）与点Q（﹣4，n）关于x轴对称，则m+n＝ ﹣6 ．
解：∵点P（m，2）与点Q（﹣4，n）关于x轴对称，
∴m＝﹣4，n＝﹣2，
则m+n＝﹣4+（﹣2）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
12．（3分）（2021秋•浉河区期中）如图所示，四边形ABCD中，∠A+∠B＝222°，且∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，则∠COD的度数是 111° ．
解：∵∠A+∠B＝222°，
∴∠ADC+∠BCD＝360°﹣222°＝138°，
∵∠ADC、∠DCB的平分线相交于点O，
∴∠ODC＝∠ADC，∠OCD＝∠BCD，
∴∠ODC+∠OCD＝×138°＝69°，
∴∠COD＝180°﹣69°＝111°，
故答案为：111°．
13．（3分）（2021秋•南通期中）若a﹣b＝8，ab＝﹣15，那么a2+b2的值为 34 ．
解：∵a﹣b＝8，ab＝﹣15，
∴a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝64﹣30＝34．
故答案为：34．
14．（3分）（2023春•通许县期末）如图，AD⊥BC，BE是△ABC的角平分线，BE，AD相交于点F，已知∠BAD＝44°，则∠BFD＝ 67° ．
解：由题意可知，
∠ABF＝∠EBC＝∠ABC＝（90°﹣∠BAD）＝23°，
∠BFD＝90°﹣∠EBC＝90°﹣23°＝67°．
故答案为：67°．
15．（3分）（2020秋•中山区期中）如图，∠B＝∠C，∠1＝∠2，图中共有全等三角形 2 对．
解：如图，
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS）．
∴BE＝CD，
∴BE+ED＝CD+ED，即BD＝CE，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）．
综上所述，图中共有全等三角形2对，它们分别是△ABE≌△ACD，△ABD≌△ACE．
故答案为：2．
16．（3分）（2020秋•建邺区期末）如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠AOC＝90°，∠A＝13°，则∠C＝ 32 °．
解：如图，连接OB，
∵OD垂直平分AB，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠A＝13°，
∴∠AOB＝180°﹣13°﹣13°＝154°，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC＝360°，
∴∠BOC＝360°﹣90°﹣154°＝116°，
∵OE垂直平分BC，
∴∠C＝∠OBC＝（180°﹣116°）＝32°．
故答案为：32．
三、解答题（本大题8小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）（2022秋•三河市校级期末）计算：
（1）（9x3﹣12x2+6x）÷3x；
（2）（x+3）（x﹣3）+（2x﹣1）（x+5）．
解：（1）原式＝3x2﹣4x+2；
（2）原式＝x2﹣9+2x2+10x﹣x﹣5
＝3x2+9x﹣14．
18．（8分）（2022秋•青川县期末）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）请判断BD、CE有何大小、位置关系，并证明．
证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE；
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE．
19．（10分）如图，三角板是我们学习数学的好帮手，将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，求CD的长度．
解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝20，
∴BC＝＝＝10，
∵AB∥CF，
∴∠BCM＝∠ABC＝30°，
∴BM＝BC＝5，
在Rt△BCM中，
CM＝＝15，
在△DEF中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝90°﹣∠E＝45°，
在△BDM中，∠BMD＝90°，∠BDM＝45°，
∴∠DBM＝90°﹣∠BDM＝45°，
∴∠BDM＝∠DBM，
∴MD＝BM＝5，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣5．
20．（8分）（2021•道外区三模）如图，在6×3的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在小正方形的顶点上，请按要求画出图形并计算．
（1）画出△ABC，使得∠ABC＝45°，点C在小正方形的顶点上，且△ABC的面积为7.5；
（2）画出点D，点D在小正方形的顶点上，且CD＝AC，并直接写出AD边的长．
解：（1）如图，△ABC即为所求．
（2）如图，线段CD即为所求，AD＝＝．
21．（8分）（2021秋•长沙期末）如图，射线AD平分∠CAB，点F是AD上一点，FG垂直平分BC于点G，FH⊥AB于点H，连接FC，若AB＝10，BH＝2，求AC．
解：连接FB，过F作FI⊥AC，垂足为I，
∵AD平分∠CAB，FI⊥AC，FH⊥AB，
∴FH＝FI，
又FG垂直平分BC，
∴FC＝FB，
在Rt△FIC与Rt△FHB中，
，
∴Rt△FIC≌Rt△FHB（HL），
∴CI＝BH，
在Rt△FIA与Rt△FHA中，
，
∴Rt△FIA≌Rt△FHA（HL），
∴AI＝AH，
∴AB＝AH+HB＝AI+BH＝AC+CI+HB＝AC+2BH，
∵AB＝10，BH＝2，
∴AC＝6．
22．（10分）（2019秋•卢龙县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若AF平分∠DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明．
解：（1）如图，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，
又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，
∴∠1＝∠2，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）BD2+FC2＝DF2，
理由如下：
连接FE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠3＝45°，
由（1）知△ABD≌△ACE，
∴∠4＝∠B＝45°，BD＝CE，
∴∠FCE＝∠3+∠4＝45°+45°＝90°，
∴BD2+FC2＝FE2，
∵AF平分∠DAE，
∴∠DAF＝∠EAF，
在△DAF和△EAF中，
∴△DAF≌△EAF（SAS），
∴DF＝FE，
∴BD2+FC2＝DF2．
23．（10分）（2020秋•恩平市期中）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝m，且60°＜m＜120°．P为△ABC内部一点，且PC＝AC，∠PCA＝120°﹣m．
（1）用含m的代数式表示∠APC，得∠APC＝ 30°+m ；
（2）求证：∠BAP＝∠PCB；
（3）在CB上截取CE使CE＝AP，连接PE，则∠PEB的度数是 30° ．
（1）解：∵AB＝AC，∠BAC＝m，PC＝AC，
∴∠CPA＝∠CAP，∠BCA＝∠ABC，
∵∠CAP+∠CPA+∠ACP＝180°，
∴∠CPA＝∠CAP＝（180°﹣∠ACP）÷2＝（60°+m）÷2＝30°+m，
故答案为：30°+m；
（2）证明：∵∠BAP＝∠BAC﹣∠CAP，∠BAC＝m，∠CAP＝30°+m，
∴∠BAP＝∠BAC﹣∠CAP＝m﹣（30°+m）＝m﹣30°，
∴∠BCA＝∠ABC＝（180﹣m）÷2＝90°﹣m，
∴∠PCB＝∠BCA﹣∠ACP＝90°﹣m﹣（120°﹣m）＝m﹣30°，
∴∠BAP＝∠PCB，
（3）解：如图，过点C作CK⊥PA于K，过点P作PH⊥BC于H，过点B作BT⊥AP交AP的延长线于T，AT交BC于J．
∵AB＝AC＝PC，∠T＝∠PHC＝90°，∠BAT＝∠PCH，
∴△ABT≌△CPH（AAS），
∴AT＝CH，BT＝PH，
∵∠T＝∠PHJ＝90°，∠PJH＝∠BJT，
∴△BJT≌△PJH（AAS），
∴TJ＝HJ，BJ＝PJ，
∴∠JBP＝∠JPB，
∵∠PCH＝m﹣30°，∠PCK＝60°﹣m，
∴∠PCH+∠PCK＝30°，
∵∠PHC＝∠PKC＝90°，
∴∠KCH+∠HPK＝180°，
∵∠JPH+∠APH＝180°，
∴∠JPH＝∠HCK＝30°，
∴∠PJH＝60°，
∵∠PJH＝∠JBP+∠JPB，
∴∠JPB＝∠PBC＝30°，
∵PT＝AT﹣AP＝CH﹣AP，
∵CE＝AP，
∴PT＝CH﹣CE＝HE，
在△PTB和△EHP中，
，
∴△PTB≌△EHP（SAS），
∴∠PEB＝∠BPT＝30°，
故答案为：30°．
24．（10分）（2023•宝鸡一模）在等边△ABC中，点D是直线BC上的一个点（不与点B、C重合），以AD为边在AD右侧作等边△ADE，连接CE．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BD＝CE；
（2）如图2，当点D在线段BC的反向延长线上时，若∠BAE＝α，求∠DEC的度数；（用含α的代数式表示）
（3）如图3，当点D在线段BC的延长线上时，若BD⊥DE，且S△ABC＝4，求△ACF的面积．
（1）证明：如图1中，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD＝CE．
（2）解：如图2中，设AE交CD于O．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴∠ACE＝120°，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACB＝60°
∵∠AOC＝∠DOE，∠ACO＝∠DEO＝60°，
∴∠EDC＝∠CAO＝60°﹣α，
∴∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠ECD＝180°﹣（60°﹣α）﹣60°＝60°+α．
（3）解：如图3中，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴∠ACB＝∠B＝∠ADE＝60°，AC＝BC，
∵ED⊥BD，
∴∠EDB＝90°，
∴∠ADB＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝90°，
∵∠ACB＝∠CAD+∠CDA＝60°，
∴∠CDA＝∠CAD＝30°，
∴CA＝CD，
∴CB＝CD，
∴S△ACD＝S△ABC＝4，
∵EA＝ED，CA＝CD，
∴CE垂直平分线段AD，
∴AF＝DF，
∴S△ACF＝S△ACD＝2．