高中数学人教B版 (2019)必修 第三册第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.1 向量的数量积8.1.2 向量数量积的运算律学案

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没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存．初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数量积又满足哪些运算律呢？
问题 向量数量积的运算律在解题过程中有怎样的作用？
[提示] 若所求形式比较复杂，则应先运用数量积运算律展开、化简，再确定向量的模和夹角，最后根据定义求出数量积．
知识点1 两个向量数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)．
(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
1．“若a·b＝a·c，则b＝c”成立吗？为什么？
[提示] 不成立，如a⊥b，a⊥c时，a·b＝a·c，但b与c不一定相等．
1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
(2)(a·b)2＝a2·b2．( )
(3)a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0．( )
[提示] (1)×．向量(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，故不正确．
(2)×．(a·b)2＝(|a||b|·cs θ)2＝a2b2cs2θ．
(3)√．a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)·(a·b)＝0．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知|a|＝1，|b|＝1，|c|＝eq \r(2)，a与b的夹角为90°，b与c的夹角为45°，则a·(b·c)的化简结果是( )
A．0 B．a C．b D．c
B [b·c＝|b||c|cs 45°＝1．
所以a·(b·c)＝a．]
知识点2 重要公式
2．根据实数的乘法公式，得到向量数量积的公式：
(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__________；
向量数量积公式：(a＋b)(a－b)＝________．
(2)完全平方公式：(a±b)2＝__________；
向量数量积公式：(a±b)2＝__________．
[提示] (1)a2－b2 ；a2－b2
(2)a2±2ab＋b2；a2±2a·b＋b2
3．已知平面向量m，n均为单位向量，若向量m，n的夹角为eq \f(2π,3)，则|2m＋3n|＝( )
A．25B．7
C．5D．eq \r(7)
D [因为|m|＝|n|＝1，且向量m，n的夹角为eq \f(2π,3)，
所以|2m＋3n|2＝4m2＋12m·n＋9n2＝13＋12cs eq \f(2π,3)＝7，
所以|2m＋3n|＝eq \r(7)．]
类型1 向量数量积的运算律的应用
【例1】 已知两个单位向量e1与e2的夹角为60°，求：
(1)e1·e2；
(2)(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)；
(3)(e1＋e2)2．
[解] (1)e1·e2＝|e1||e2|cs 60°＝eq \f(1,2)．
(2)由(1)可知e1·e2＝eq \f(1,2)，|e1|＝|e2|＝1，
所以(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)
＝－6eeq \\al(2,1)＋3e2·e1＋4e1·e2－2eeq \\al(2,2)
＝－6|e1|2＋3×eq \f(1,2)＋4×eq \f(1,2)－2|e2|2
＝－6＋eq \f(7,2)－2＝－eq \f(9,2)．
(3)(e1＋e2)2＝(e1＋e2)·(e1＋e2)
＝eeq \\al(2,1)＋e1·e2＋e2·e1＋eeq \\al(2,2)
＝eeq \\al(2,1)＋2e1·e2＋eeq \\al(2,2)＝1＋1＋1＝3．
向量的数量积在运算中的常用结论
(1)a2＝|a|2；
(2)(xa＋yb)·(mc＋nd)＝xma·c＋xna·d＋ymb·c＋ynb·d，其中x，y，m，n∈R，类似于多项式的乘法法则；
(3)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；
(4)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c．
同时还要注意几何性质的应用，将向量适当转化，转化的目的是用上已知条件．
eq \([跟进训练])
1．(1)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
(2)已知向量|a＋b|＝|a－b|，且|a|＝|b|＝2，则|2a－b|＝( )
A．2eq \r(2)B．2
C．2eq \r(5)D．eq \r(10)
(1)B (2)C [(1)a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3．
(2)因为向量|a＋b|＝|a－b|，所以a·b＝0，又|a|＝|b|＝2，
所以|2a－b|＝eq \r(4a2－4a·b＋b2)＝2eq \r(5)．]
类型2 向量的夹角与垂直问题
【例2】 (1)设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝eq \r(7)，则a，b的夹角为( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,6) C．eq \f(π,4) D．eq \f(2π,3)
(2)已知|a|＝2，|b|＝1，向量a，b的夹角为60°，c＝a＋5b，d＝ma－2b，求m为何值时，c与d垂直．
(1)A [设a与b的夹角为θ，
由题意得(3a－2b)2＝7，
所以9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，
又|a|＝|b|＝1，所以a·b＝eq \f(1,2)，
所以|a||b|cs θ＝eq \f(1,2)，即cs θ＝eq \f(1,2)．
又θ∈[0，π]，所以a，b的夹角为eq \f(π,3)．]
(2)[解] 由已知得a·b＝2×1×cs 60°＝1．
若c⊥d，则c·d＝0．
所以c·d＝(a＋5b)·(ma－2b)
＝ma2＋(5m－2)a·b－10b2
＝4m＋5m－2－10＝9m－12＝0，所以m＝eq \f(4,3)．
故当m＝eq \f(4,3)时，c与d垂直．
1．求向量夹角问题一般有两种思路
(1)数量积a·b与模积|a||b|好求解，直接用变形公式cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求值定角．
(2)a·b与|a||b|不好求，可采用寻求两者关系，再用变形公式cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)求值定角．
2．两个向量的夹角与其数量积的关系
(1)向量a，b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线．
(2)a，b夹角为钝角的等价条件是a·b