人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算导学案

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册8.1.3 向量数量积的坐标运算导学案，共11页。

本节讲解平面向量数量积的坐标表示，它使平面向量的数量积同时具有几何形式和代数形式的“双重身份”，从而可以使几何问题数量化，把“定性”研究推向“定量”研究．
问题 在平面直角坐标系中，设i，j分别是x轴和y轴方向上的单位向量，a＝(3,2)，b＝(2,1)，则a·b的值为多少？a·b的值与a，b的坐标有怎样的关系？若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b为多少？
[提示] 由题意知，a＝3i＋2j，b＝2i＋j，
则a·b＝(3i＋2j)·(2i＋j)＝6i2＋7i·j＋2j2．
由于i2＝i·i＝1，j2＝j·j＝1，i·j＝0，
故a·b＝8．
8＝3×2＋2×1；a·b＝x1x2＋y1y2．
知识点1 两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示
已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
1．向量数量积的坐标表示公式有什么特点？应用时应注意什么？
[提示] 公式的特点是“对应坐标相乘后再求和”，在解题时要注意坐标的顺序．
1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若a＝(m,0)，则|a|＝m．( )
(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b⇔x1x2－y1y2＝0．( )
(3)a·b≠0，则a与b不垂直．( )
[提示] (1)×．若a＝(m,0)，则|a|＝|m|．
(2)×．a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0．
(3)√．a·b≠0⇔a与b不垂直．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知a＝(1，－1)，b＝(2,3)，则a·b＝( )
A．5 B．4 C．－2 D．－1
D [a·b＝(1，－1)·(2,3)＝1×2＋(－1)×3＝－1．]
知识点2 三个重要公式
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)向量的模：a2＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)⇔|a|＝eq \r(,x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))．
(2)两点间的距离公式：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|eq \(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(,x1－x22＋y1－y22)．
(3)向量的夹角公式：
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(,x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(,x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))．
2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a与b夹角θ的范围与坐标运算的数量积的关系式是什么？
[提示] (1)θ为锐角或零角⇔x1x2＋y1y2>0；
(2)θ为直角⇔x1x2＋y1y2＝0；
(3)θ为钝角或平角⇔x1x2＋y1y20，且a与b不能共线，建立不等式求λ的取值范围．
(1)D [因为a＝(1,2)，b＝(2，x)，a与b垂直，所以a·b＝0，即1×2＋2x＝0，解得x＝－1．故选D．]
(2)[解] ①由于a＝(1,3)，b＝(2，λ)，则
a·b＝2＋3λ，当θ＝120°时，cs 120°＝eq \f(a·b,|a||b|)＝－eq \f(1,2)，
得eq \f(2＋3λ,\r(10)×\r(4＋λ2))＝－eq \f(1,2)，平方整理得13λ2＋24λ－12＝0，
解得λ＝eq \f(－12±10\r(3),13)，由于a·b＝2＋3λ0，即1×2＋3λ>0，解得λ>－eq \f(2,3)．若a∥b，则1×λ－2×3＝0，即λ＝6．
但若a∥b，则θ＝0或θ＝π，这与θ为锐角相矛盾，所以λ≠6．综上所述，λ>－eq \f(2,3)且λ≠6．
利用向量法求夹角的方法技巧
(1)若求向量a与b的夹角，利用公式cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(,x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(,x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))，当向量的夹角为特殊角时，再求出这个角．
(2)非零向量a与b的夹角θ与向量的数量积的关系：
①若θ为直角，则充要条件为向量a⊥b，则转化为a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．
②若θ为锐角，则充要条件为a·b>0，且a与b的夹角不能为0(即a与b的方向不能相同)．
③若θ为钝角，则充要条件为a·b