人教B版高中数学必修第三册第8章8-2-2第1课时两角和与差的正弦学案

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8.2.2　两角和与差的正弦、正切第1课时　两角和与差的正弦问题　(1)由诱导公式及两角和与差的余弦公式如何推导两角和的正弦公式？(2)用类比的方法，由sin(α＋β)能推导出sin(α－β)吗？[提示]　(1)sin(α＋β)＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α＋β))＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))－β))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))·cos β＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))·sin β＝sin αcos β＋cos αsin β．(2)sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos (－β)＋cos α·sin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β．知识点1　两角和与差的正弦公式1．对照识记两角和与差的余弦公式的方法，你能总结一下识记两角和与差的正弦公式的方法吗？[提示]　可简单记为“正余余正，符号同”，展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；展开前两角间的符号与展开后两项间的符号相同．1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的． (　　)(2)存在α，β∈R，使得sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (　　)(3)sin 56°cos 26°－cos 56°sin 26°＝sin 30°． (　　)[提示]　(1)√．根据公式的推导过程可得．(2)√．当α＝30°，β＝0°时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β．(3)√．因为sin 56°cos 26°－cos 56°sin 26°＝sin(56°－26°)＝sin 30°，故原式正确．[答案]　(1)√　(2)√　(3)√2．cos 17°sin 13°＋sin 17°cos 13°的值为(　　)A．eq \f(1,2)　　　　　 B．eq \f(\r(2),2)C．eq \f(\r(3),2) D．以上都不对A　[原式＝sin(13°＋17°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)．]知识点2　辅助角公式asin x＋bcos x＝eq \r(a2＋b2)·sin(x＋φ)(或asin x＋bcos x＝eq \r(a2＋b2)·cos(x－φ))，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cos φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2))(或cos φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，sin φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)))．3．函数y＝sin x－cos x的最小正周期是(　　)A．eq \f(π,2) B．πC．2π D．4πC　[y＝sin x－cos x＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sin x－\f(\r(2),2)cos x))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))，所以函数的最小正周期为T＝2π．] 类型1　利用公式化简求值【例1】　(1)eq \f(sin 47°－sin 17°cos 30°,cos 17°)＝(　　)A．－eq \f(\r(3),2)　　　B．－eq \f(1,2)　　　C．eq \f(1,2)　　　D．eq \f(\r(3),2)(2)求sin 157°cos 67°＋cos 23°sin 67°的值．(3)求sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－eq \r(3)cos(θ＋15°)的值．(1)C　[eq \f(sin 47°－sin 17°cos 30°,cos 17°)＝eq \f(sin17°＋30°－sin 17°cos 30°,cos 17°)＝eq \f(sin 17°cos 30°＋cos 17°sin 30°－sin 17°cos 30°,cos 17°)＝eq \f(cos 17°sin 30°,cos 17°)＝sin 30°＝eq \f(1,2)．](2)[解]　原式＝sin(180°－23°)cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin 23°cos 67°＋cos 23°sin 67°＝sin(23°＋67°)＝sin 90°＝1．(3)[解]　sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－eq \r(3)cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°＋60°)＋cos(θ＋15°＋30°)－eq \r(3)cos(θ＋15°)＝sin(θ＋15°)cos 60°＋cos(θ＋15°)sin 60°＋cos(θ＋15°)·cos 30°－sin(θ＋15°)sin 30°－eq \r(3)cos(θ＋15°)＝eq \f(1,2)sin(θ＋15°)＋eq \f(\r(3),2)cos(θ＋15°)＋eq \f(\r(3),2)cos(θ＋15°)－eq \f(1,2)sin(θ＋15°)－eq \r(3)cos(θ＋15°)＝0．解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式，要想利用两角和与差的正弦、余弦公式求出具体数值，一般有以下三种途径：①化为特殊角的三角函数值；②化为正负相消的项，消去，求值；③化为分子、分母形式，进行约分再求值．(2)在进行求值过程的变换中，一定要本着先整体后局部的基本原则，先整体分析三角函数式的特点，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则进行各局部的变换．eq \o([跟进训练])1．化简下列各式：(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))－eq \r(3)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－x))；(2)eq \f(sin2α＋β,sin α)－2cos(α＋β)．[解]　(1)原式＝sin xcos eq \f(π,3)＋cos xsin eq \f(π,3)＋2sin xcos eq \f(π,3)－2cos xsin eq \f(π,3)－eq \r(3)cos eq \f(2π,3)cos x－eq \r(3)sin eq \f(2π,3)sin x＝eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cos x＋sin x－eq \r(3)cos x＋eq \f(\r(3),2)cos x－eq \f(3,2)sin x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1－\f(3,2)))sin x＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\r(3)＋\f(\r(3),2)))cos x＝0．(2)原式＝eq \f(sin[α＋β＋α]－2cosα＋βsin α,sin α)＝eq \f(sinα＋βcos α－cosα＋βsin α,sin α)＝eq \f(sin[α＋β－α],sin α)＝eq \f(sin β,sin α)． 类型2　给值(式)求值【例2】　设α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，若cos α＝－eq \f(1,2)，sin β＝－eq \f(\r(3),2)，求sin(α＋β)的值．[解]　因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，cos α＝－eq \f(1,2)，所以sin α＝eq \f(\r(3),2)，因为β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，sin β＝－eq \f(\r(3),2)，所以cos β＝eq \f(1,2)．所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝eq \f(\r(3),2)．[母题探究]1．(变条件)若将角β的条件改为第三象限，其他条件不变，则结果如何？[解]　因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，cos α＝－eq \f(1,2)，所以sin α＝eq \f(\r(3),2)．因为β为第三象限，所以cos β＝－eq \f(1,2)．所以sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝－eq \f(\r(3),4)＋eq \f(\r(3),4)＝0．2．(变结论)若条件不变，试求sin(α－β)＋cos(α－β)的值．[解]　由例题解析得sin(α－β)＋cos(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＋cos αcos β＋sin αsin β＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(1,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝eq \f(\r(3),4)－eq \f(\r(3),4)－eq \f(1,4)－eq \f(3,4)＝－1．给值求值的解题策略(1)在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：①当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差；②当条件中只有一个已知角时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角．(2)此类问题中，角的范围不容忽视，解题时往往需要根据三角函数值缩小角的范围． 类型3　辅助角公式的应用【例3】　设函数f(x) ＝sin x＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))．(1)求f(x) 的最小值，并求使f(x) 取得最小值的x的集合；(2)不画图，说明函数y＝f(x) 的图像可由y＝sin x的图像经过怎样的变化得到．1．函数f(x) ＝sin x＋cos x(x∈Z)的最大值为2对吗？为什么？[提示]　不对．因为sin x＋cos x＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)sin x＋\f(\r(2),2) cos x))＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin x·cos \f(π,4)＋cos x·sin \f(π,4)))＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，所以函数的最大值为eq \r(2)．2．函数f(x) ＝3sin x＋4cos x的最大值等于多少？[提示]　因为f(x) ＝3sin x＋4cos x＝5eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)sin x＋\f(4,5)cos x))，令cos φ＝eq \f(3,5)，sin φ＝eq \f(4,5)，则f(x) ＝5(sin xcos φ＋cos xsin φ)＝5sin(x＋φ)，所以函数的最大值为5．[解]　(1)f(x) ＝sin x＋sin xcos eq \f(π,3)＋cos xsin eq \f(π,3)＝sin x＋eq \f(1,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cos x＝eq \f(3,2)sin x＋eq \f(\r(3),2)cos x＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin xcos \f(π,6)＋cos xsin \f(π,6)))＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝－1时，f(x) min＝－eq \r(3)，此时x＋eq \f(π,6)＝eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，所以x＝eq \f(4π,3)＋2kπ(k∈Z)．所以f(x) 的最小值为－eq \r(3)，取得最小值时x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(4π,3)＋2kπ，k∈Z))))．(2)将y＝sin x的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的eq \r(3)倍，得y＝eq \r(3)sin x的图像；然后将y＝eq \r(3)sin x的图像上所有的点向左平移eq \f(π,6)个单位，得f(x) ＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的图像． 辅助角公式asin x＋bcos x＝eq \r(a2＋b2)·sin(x＋φ)可以把含sin x，cos x的一次式化为Asin(ωx＋φ)的形式，其中φ所在象限由点(a，b)决定，大小由tan φ＝eq \f(b,a)确定．研究形如f(x) ＝asin x＋bcos x的性质都要用到该公式．eq \o([跟进训练])2．求y＝eq \r(3)sin x－cos x的最小正周期、最值及单调递增区间．[解]　原式＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin x－\f(1,2)cos x))＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin xcos\f(π,6)－cos xsin\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))．所以此函数的最小正周期为2π，ymax＝2，ymin＝－2．令2kπ－eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，得2kπ－eq \f(π,3)≤x≤2kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z．所以y＝eq \r(3)sin x－cos x的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(2π,3)))，k∈Z．1．eq \f(2sin 40°＋sin 20°,cos 20°)的值是(　　)A．eq \r(3)　　　　B．eq \f(\r(6),2)　　　　C．1　　　　D．eq \f(1,2)A　[原式＝eq \f(2sin60°－20°＋sin 20°,cos 20°)＝eq \f(2sin 60°cos 20°－2cos 60°sin 20°＋sin 20°,cos 20°)＝eq \f(2×\f(\r(3),2)cos 20°－2×\f(1,2)sin 20°＋sin 20°,cos 20°)＝eq \f(\r(3)cos 20°－sin 20°＋sin 20°,cos 20°)＝eq \r(3)．]2．若cos α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝(　　)A．－eq \f(7\r(2),10) B．eq \f(7\r(2),10)C．－eq \f(\r(2),10) D．eq \f(\r(2),10)A　[因为cos α＝－eq \f(4,5)，α为第三象限角，所以sin α＝－eq \f(3,5)，由两角和的正弦公式得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝sin αcos eq \f(π,4)＋cos αsin eq \f(π,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10)．]3．函数f(x) ＝sin x－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的值域为(　　)A．[－2,2] B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\r(3)))C．[－1,1] D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))B　[f(x) ＝sin x－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝sin x－eq \f(\r(3),2)cos x＋eq \f(1,2)sin x＝eq \f(3,2)sin x－eq \f(\r(3),2)cos x＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，所以函数f(x) 的值域为[－eq \r(3)，eq \r(3)]．故选B．]4．已知α为锐角，sin α＝eq \f(3,5)，β是第四象限角，cos(π＋β)＝－eq \f(4,5)，则sin(α＋β)＝________．0　[因为α为锐角，且sin α＝eq \f(3,5)，所以cos α＝eq \f(4,5)．又β为第四象限角，且cos(π＋β)＝－cos β＝－eq \f(4,5)，所以cos β＝eq \f(4,5)，sin β＝－eq \f(3,5)．所以sin(α＋β)＝eq \f(3,5)×eq \f(4,5)＋eq \f(4,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝0．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．两角和与差的正弦公式如何表示？有何结构特点？[提示]　sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β．特点：(1)公式中的α，β均为任意角．(2)两角和与差的正弦公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成是两角和与差的正弦公式的特例．2．两角和与差的正弦、余弦公式有何内在联系？[提示]　两角和与差的正弦、余弦公式的内在联系1．能利用两角和与差的余弦公式及诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正弦公式．(难点)2．能利用公式解决简单的化简求值问题．(重点)1．通过两角和与差的正弦公式及辅助角公式的推导，培养学生逻辑推理的核心素养．2．借助两角和与差的正弦公式、辅助角公式的应用，提升学生的逻辑推理和数学运算的核心素养．名称简记符号公式使用条件两角和的正弦Sα＋βsin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin βα，β∈R两角差的正弦Sα－βsin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin βα，β∈R